1、填空题满分练(4)1.(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)已知复数 z1 ai， z234i，其中 i为虚数单位，若 为纯虚数，则实数 a的值为_.z1z2答案 43解析 复数 z1 ai， z234i， ，z1z2 a i3 4i a i3 4i3 4i3 4i 3a 4 4a 3i25 为纯虚数，z1z23 a40 且 4a30，即 a .432.已知全集 UR，集合 A x|x1|0， b0)的左、右顶点分别为 A， B， P为双曲线左支上一点，x2a2 y2b2ABP为等腰三角形且外接圆的半径为 a，则双曲线的离心率为_.5答案 153解析 由题意知在等腰 ABP中， AB AP2
2、a，设 ABP APB ， F1为双曲线的左焦点，则 F1AP2 ，其中 必为锐角. ABP外接圆的半径为 a，52 a ，52asin sin ，cos ，55 255sin 2 2 ，55 255 45cos 2 2 21 .(255) 35设点 P的坐标为( x， y)，则 x a APcos 2 ，11a5y APsin 2 ，8a5故点 P的坐标为 .(11a5， 8a5)由点 P在双曲线上，得 1，( 11a5)2a2(8a5)2b2整理得 ，b2a2 23 e .ca 1 b2a2 15312.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的
3、小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是_.答案 316解析 由七巧板的构造可知， BIC GOH，故黑色部分的面积与梯形 EFOH的面积相等，则 SEFOH S DOF SABDF SABDF，34 34 14 316所求的概率为 P .SEFOHSABDF 31613.在数列 an中， a11， an1 Sn3 n(nN *， n1)，则数列 Sn的通项公式为_.答案 Sn3 n2 n解析 an1 Sn3 n Sn1 Sn， Sn1 2 Sn3 n， ，Sn 13n 1 23 Sn3
4、n 13 1 ，Sn 13n 1 23(Sn3n 1)又 1 1 ，S13 13 23数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，Sn3n 1 23 23 1 n1 n，Sn3n 23 (23) (23) Sn3 n2 n.14.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19 世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”： y f(x)Error!其中 R为实数集，Q 为有理数集.则关于函数 f(x)有如下四个命题： f(f(x)0；函数 f(x)是偶函数；任取一个不为零的有理数 T， f(x T) f(x)对任意的 xR 恒成立；存在三个点 A(x1， f(x1)
5、， B(x2， f(x2)， C(x3， f(x3)，使得 ABC为等边三角形.其中真命题的个数是_.答案 3解析 当 x为有理数时， f(x)1；当 x为无理数时， f(x)0，当 x为有理数时， f(f(x) f(1)1；当 x为无理数时， f(f(x) f(0)1，无论 x是有理数还是无理数，均有f(f(x)1，故不正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意 xR，都有 f( x) f(x)，故正确；当 TQ 时，若 x是有理数，则 x T也是有理数；若 x是无理数，则 x T也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T， f(x T) f(x)对 xR 恒成立，故正确；取 x1 ， x20， x3 ， f(x1)33 330， f(x2)1， f(x3)0， A ， B(0,1)， C ， ABC恰好为等边三角形，(33， 0) ( 33， 0)故正确.