1、3.应用题1.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC(如图).设计要求彩门的面积为 S(单位：m 2)，高为 h(单位：m)( S， h 为常数).彩门的下底 BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为 ，不锈钢支架的长度之和记为 l.(1)请将 l 表示成关于 的函数 l f( )；(2)问：当 为何值时 l 最小，并求最小值.解 (1)过 D 作 DH BC 于点 H，则 DCB ， DH h，设 AD x. (0 2)则 DC ， CH ， BC x .hsin htan 2htan 因为 S h，12(x x 2htan )则
2、x ，Sh htan 则 l f( )2 DC AD h .Sh ( 2sin 1tan )(0 2)(2)f( ) h h ，( 2cos sin2 1sin2 ) 1 2cos sin2令 f( ) h 0，得 .1 2cos sin2 3当 变化时， f( )， f( )的变化情况如下表： (0， 3) 3 ( 3， 2)f( ) 0 f( ) 极小值 所以 lmin f h .( 3) 3 Sh答 当 时， l 取最小值 h (m). 3 3 Sh2.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为 1 m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的 9 个区域，其中四边形 ABCD
3、为中心在圆心的矩形，现计划将矩形 ABCD 区域设计为可推拉的窗口.(1)若窗口 ABCD 为正方形，且面积大于 m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范14围；(2)若四根木条总长为 6 m，求窗口 ABCD 面积的最大值.解 (1)设一根木条长为 x m，则正方形的边长为 2 m.1 (x2)2 4 x2因为 S 四边形 ABCD ，所以 4 x2 ，即 x .14 14 152又因为四根木条将圆分成 9 个区域，所以 x ，2所以 4 4 x2 .2 15答 四根木条总长的取值范围为(4 ，2 ).2 15(2)方法一 设 AB 所在的木条长为 a m，则 BC 所在的木条长为(
4、3 a)m.因为 a(0,2)，3 a(0,2)，所以 a(1,2).窗口 ABCD 的面积 S4 1 a24 1 3 a24 4 a2 4 3 a2 ，a4 6a3 a2 24a 20设 f(a) a46 a3 a224 a20，则 f( a)4 a318 a22 a242( a1)(2 a3)( a4)，令 f( a)0，得 a 或 a1(舍去)或 a4(舍去).32当 a 变化时， f( a)， f(a)的变化情况如下表：a (1， 32) 32 (32， 2)f( a) 0 f(a) 极大值 所以当 a 时， f(a)max f ，即 Smax .32 (32) 4916 74答 窗口
5、 ABCD 面积的最大值为 m2.74方法二 设 AB 所在的木条长为 a m， BC 所在的木条长为 b m.由条件知，2 a2 b6，即 a b3.因为 a， b(0,2)，所以 b3 a(0,2)，从而 a， b(1,2).由于 AB2 ， BC2 ，1 b24 1 a24S 矩形 ABCD4 ，1 b24 1 a24 4 b24 a2因为 ，4 b24 a28 a2 b22 8 a b222 74当且仅当 a b (1,2)时，32S 矩形 ABCD 为最大值.74答 窗口 ABCD 面积的最大值为 m2.743.(2018江苏省启东中学模拟)为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江
6、苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为 2 百米，圆心角为 的扇形展示区的平面示意图.点 C 是半径 OB 上一点(异于 3O， B 两点)，点 D 是圆弧 AB 上一点，且 CD OA.为了实现“以展养展” ，现在决定：在线段OC、线段 CD 及圆弧 DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段 OC 处每百米为 2a 元，线段 CD 及圆弧 DB 处每百米均为 a 元.设 AOD x 弧度，广告位出租的总收入为 y 元.(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问 x 为何值时，广告位出租
7、的总收入最大，并求出其最大值.解 (1)因为 CD OA，所以 ODC AOD x 弧度，在 OCD 中， OCD ， COD x， OD2 百米，23 3由正弦定理得 ，OCsin x CDsin( 3 x) 2sin 23 433得 OC sin x 百米，433CD sin 百米.433 ( 3 x)又圆弧 DB 长为 2 百米.( 3 x)所以 y2 a sin x a433 433sin( 3 x) 2( 3 x)2 a ， x .(3sin x cos x x 3) (0， 3)(2)记 f(x)2 a ，(3sin x cos x x 3)则 f( x)2 a( cosxsin
8、x1)32 a ， x .2cos(x 6) 1 (0， 3)令 f( x)0，得 x . 6当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化如下表：x (0， 6) 6 ( 6， 3)f( x) 0 f(x) 极大值 所以 f(x)在 x 处取得极大值，这个极大值就是最大值，即 f 2 a. 6 ( 6) (3 6)所以当 x 时广告位出租的总收入最大，最大值为 2 a 元. 6 (3 6)4.(2018连云港质检)如图(1)是一直角墙角， AOB90，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直. ABCD 是一块长 AB 为 6 米，宽 BC 为 2 米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷
9、物. (1)若按如图(1)放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？(2)由于墙面使用受限， OA 面只能使用 2 米， OB 面只能使用 4 米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间，如图(2)，如何折叠板材才能使这个空间最大？解 (1)设 OA x， OB y， x， y(0,6)，且 x2 y236，因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大. AOB90， S AOB xy 9，12 x2 y24当且仅当 x y3 时取到等号.2即板材放置时，使得板材与墙面 OA 成 45角.(2)因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又 S AOB为定值，只需寻找 SAPB的最
10、大值.又在 APB 中， AB2 ，只需寻找 AB 边上高的最大值即可.5如图，作 PH AB 于点 H，设 PA x， x(0,6)， AH y， y(0,2 )，则5PB6 x， HB2 y，5PH2 x2 y2(6 x)2(2 y)2，53 x y4，5PH ，x2 y2 4y2 85y 169当 y 时， PH 最大，此时 x3，5即板材放置时，沿中间折叠，使得 PA PB.5.在我国某海域 O 处有一海警执法舰发现位于北偏西 60的 A 处有一艘走私船，并测得O， A 两点相距 12 海里，且走私船行驶速度是海警执法舰行驶速度的一半.现以点 O 为坐标原点，东西方向为 x 轴，建立如
11、图所示的平面直角坐标系.(1)若两者均沿直线匀速行驶，求走私船能被海警执法舰截获的路径的曲线方程；(2)若满足 x y402)倍，此时有 t ，x2 y2 x 632 y 62化简得( t21) x2( t21) y212 t2x12 t2y144 t20，3其圆心坐标为 ，半径为 .(63t2t2 1， 6t2t2 1) 12tt2 1由 和 t2，得 2t23 t50，| 63t2t2 13 6t2t2 1 40|2 12tt2 1所以 t ，52故巡逻艇的速度至少应为走私船速度的 2.5 倍才能在我国领海内截获走私船.6.(2018常熟调研)如图所示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是等腰梯形，其中 AB 为2 米，梯形的高为 1 米， CD 为 3 米，上部 ACmD是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点. MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和 CD 平行.当 MN 位于 CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形 MNGH(阴影部分均不通风).(1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将通风窗的通风面积 S(平方米)(0 x2，94 94 S(x)的最大值为 .94答 当 MN 与 AB 之间的距离为 米时，通风窗的通风面积 S 取得最大值.(324 1)