1、5.函数与导数1.设函数 f(x) xln x ax， aR.(1)当 a1 时，求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)求函数 y f(x)在 上的最小值；1e， e(3)若 g(x) f(x) ax2(2 a1) x，求证： a0 是函数 y g(x)在 x(1,2)时单调递增的12充分不必要条件.(1)解 由 f(x) xln x ax，得 f( x)ln x a1.当 a1 时， f( x)ln x2， f(1)1， f(1)2，求得切线方程为 y2 x1.(2)解 令 f( x)0，得 xe ( a1).当 e( a1) ，即 a0 时， x 时 f( x)0 恒
2、成立， f(x)单调递增，1e 1e， e此时 f(x)min f .(1e) a 1e当 e( a1) e，即 a2 时， x 时 f( x)0 恒成立， f(x)单调递减，此时 f(x)1e， emin f(e) aee.当 0， f(x)单调递增，此时 f(x)min f(e( a1) )e ( a1).(3)证明 g( x) f( x) ax(2 a1)ln x ax aln x a(x1)，当 a0 时， x(1,2)时，ln x0， a(x1)0，g( x)0 恒成立，函数 y g(x)在 x(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当 a 时，代入 g( x)ln x a(x1)12
3、ln x x .12 12设 h(x) g( x)ln x x ， x(1,2)，12 12则 h( x) 0(x(1,2)恒成立，1x 12 2 x2x当 x(1,2)时， h(x)单调递增.又 h(1)0，当 x(1,2)时， h(x)0 恒成立.而 h(x) g( x)，当 x(1,2)时， g( x)0 恒成立，函数 y g(x)单调递增，必要条件不成立.综上， a0 是函数 y g(x)在 x(1,2)时单调递增的充分不必要条件.2.已知函数 f(x)ln x 1， aR.ax(1)若关于 x 的不等式 f(x) x1 在1，)上恒成立，求 a 的取值范围；(2)设函数 g(x) ，
4、证明：当 a 时， g(x)在1，e 2上不存在极值.fxx e2(1)解 由 f(x) x1，得 ln x 1 x1.ax即 a xln x x22 x 在1，)上恒成立.设 m(x) xln x x22 x， x1，则 m( x)ln x2 x1. x1，)，ln x0，2 x11，即 a 的取值范围是(1，).(2)证明 g(x) ， x .ln xx 1x ax2 1， e2 g( x) .1 ln xx2 1x2 2ax3 2x xln x 2ax3设 h(x)2 x xln x2 a， x1，e 2，则 h( x)2(1ln x)1ln x.令 h( x)0，得 xe.当 1 x0
5、；当 e0 得 01；(x) (x)若 0 时，由 g 0 得 x1 或 01，即 00 得 x 或 0 时，函数 g 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.12 (x) (0， 12a) (12a， 1) (1， )4.已知函数 f(x) xln x， g(x)( x2 ax3)e x(a 为实数).(1)当 a5 时，求函数 g(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间 t， t2( t0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数 x1， x2 ，使方程 g(x)2e xf(x)成立，求实数 a 的取值范围.1e， e解 (1)当 a5 时， g(x)( x25 x
6、3)e x， g(1)e， g( x)( x23 x2)e x，故切线的斜率为 g(1)4e，所以切线方程为 ye4e( x1)，即 4ex y3e0.(2)函数 f(x)的定义域为(0，).因为 f( x)ln x1，所以在(0，)上，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0， 1e) 1e (1e， )f( x) 0 f(x) 极小值(最小值) 当 t 时，在区间 t， t2上， f(x)为增函数，所以 f(x)min f(t) tln t；当 00，3x 3x则 h( x)1 .2x 3x2 x 3x 1x2当 x 变化时， h( x)， h(x)的变化情况如下
7、表：x (1e， 1) 1 (1，e)h( x) 0 h(x) 极小值(最小值) 因为 h 3e2， h(e) e2， h(1)4，(1e) 1e 3e所以 h(e) h 42e 0，即 a1 时，令 h( x)0， x0， x1 a，令 h( x)0，00 恒成立， h(x)的单调递增区间为(0，).当 a1e，即 ae1 时， h(x)在1，e上单调递减， h(x)min h(e)e a0，1 ae a ， e1， a ；e2 1e 1 e2 1e 1 e2 1e 1当 a11，即 a0 时， h(x)在1，e上单调递增， h(x)min h(1)11 a0， a2；当 12，此时不存在 x，使 h(x)0 成立.综上，实数 a 的取值范围为(，2 .e2 1e 1， )6.已知函数 f(x) x3 ax2 a2x2， aR.(1)若 a0，所以 00， f(x)单调递增.(a3， 1)所以当 x 时， f(x)有最小值 f a32.a3 (a3) 527从而条件转化为Error!由得 a0，所以 g(a)为增函数.1027 109又 g(2) 0，所以当 a 时， g(a)0 恒成立，即成立.127 (0， 335)所以 a 的取值范围为 .(0， 335)