1、6.数 列1.已知从数列 an中取出部分项，并按原来的顺序组成一个新的数列 1na， 2， 3n，称为数列 an的一个子数列，若该子数列为等比数列，则称为数列 an的等比子数列.(1)设数列 an是一个公差不为 0 的等差数列，若 a11， a36，且a1， a3， 1， 2， 3n， kna为数列 an的等比子数列，求数列 nk的通项公式；(2)是否存在一个等差数列 an，使得 bn是数列 an的一个等比子数列？其中数列 bn的公比为 q，同时满足 b1 a ， b2 a ， b3 a (a10.由题意得 a (a12 d)2( a1 d)4，21化简得 2a 4 a1d d20，21所以
2、d(2 )a1，而2 m2)，使得 S2， Sm S2， Sn Sm成等比数列？若存在，求出所有的 m， n；若不存在，请说明理由.解 (1)设数列 an的公差为 d.因为 2a5 a313， S416，所以Error! 解得Error!所以 an2 n1， Sn n2.(2)当 n 为偶数时，设 n2 k， kN *，则 T2k( a2 a1)( a4 a3)( a2k a2k1 )2 k.代入不等式 T n4 k.因为 kN *，所以4 k的最大值为4，所以 4.综上， 的取值范围为(4,2).(3)假设存在正整数 m， n(nm2)，使得 S2， Sm S2， Sn Sm成等比数列，则(
3、 Sm S2)2 S2(Sn Sm)，即( m24) 24( n2 m2)，所以 4n2( m22) 212，即 4n2( m22) 212，即(2 n m22)(2 n m22)12.因为 nm2，所以 n4， m3，所以 2n m2215.因为 2n m22 是整数，所以等式(2 n m22)(2 n m22)12 不成立，故不存在正整数 m， n(nm2)，使得 S2， Sm S2， Sn Sm成等比数列.6.(2018南京模拟)若数列 满足：对于任意 nN *， an 均为数列 中an |an 1 an 2| an的项，则称数列 为“ T 数列”.an(1)若数列 的前 n 项和 Sn
4、2 n2， nN *，求证：数列 为“ T 数列” ；an an(2)若公差为 d 的等差数列 为“ T 数列” ，求 d 的取值范围；an(3)若数列 为“ T 数列” ， a11，且对于任意 nN *，均有 ana a an1 ，求数列an 2n 1 2n的通项公式.an(1)证明 当 n2 时， an Sn Sn1 2 n22( n1) 24 n2，又 a1 S12412，所以 an4 n2.所以 an| an1 an2 |4 n244( n1)2 为数列 an的第 n1 项，因此数列 an为“T 数列”.(2)解 因为数列 an是公差为 d 的等差数列，所以 an| an1 an2 |
5、 a1( n1) d| d|.因为数列 an为“ T 数列” ，所以任意 nN *，存在 mN *，使得 a1( n1) d| d| am，即有( m n)d| d|. 若 d0，则存在 m n1N *，使得( m n)d| d|，若 d0，则 m n1.此时，当 n1 时， m0 不为正整数，所以 d0 不符合题意. 综上， d0.(3)解 因为 an an1 ，所以 an| an1 an2 | an an2 an1 ，又因为 an an an2 an1 an2 ( an1 an) an2 ，且数列 an为“ T 数列” ，所以 an an2 an1 an1 ，即 an an2 2 an1
6、，所以数列 an为等差数列.设数列 an的公差为 t(t0)，则有 an1( n1) t，由 an a a an1 ，2n 1 2n得 1( n1) t t2(2 n1) t1 nt，整理得 n(2t2 t) t23 t1， n(t2 t2)2 t t21. 若 2t2 t0，取正整数 N0 ，t2 3t 12t2 t则当 n N0时， n(2t2 t)(2 t2 t)N0 t23 t1，与式对于任意 nN *恒成立相矛盾，因此 2t2 t0.同样根据式可得 t2 t20，所以 2t2 t0.又 t0，所以 t .12经检验当 t 时，两式对于任意 nN *恒成立，12所以数列 an的通项公式为 an1 (n1) .12 n 12