1、4.解析几何1.如图，已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，且过点 P(2，1).x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 Q 在椭圆 C 上，且 PQ 与 x 轴平行，过点 P 作两条直线分别交椭圆 C 于 A(x1， y1)，B(x2， y2)两点，若直线 PQ 平分 APB，求证：直线 AB 的斜率是定值，并求出这个定值.解 (1)由 e ，得 a b c21 ，ca 32 3椭圆 C 的方程为 1.x24b2 y2b2把 P(2，1)代入，得 b22，所以椭圆 C 的方程是 1.x28 y22(2)由已知得 PA， PB 的斜率存在，且互为相反数.设直线 P
2、A 的方程为 y1 k(x2)，其中 k0.由Error! 消去 y，得 x24 kx(2 k1) 28，即(14 k2)x28 k(2k1) x4(2 k1) 280，因为该方程的两根为 2， xA，所以 2xA ，42k 12 81 4k2即 xA ，8k2 8k 21 4k2从而 yA .4k2 4k 14k2 1把 k 换成 k，得 xB ， yB .8k2 8k 21 4k2 4k2 4k 14k2 1故 kAB ，是定值.yB yAxB xA 8k 16k 122.已知椭圆 C： 1( ab0)的短轴长为 2 ，且离心率 e .x2a2 y2b2 3 22(1)求椭圆 C 的方程；
3、(2)是否存在定圆 E，使得过圆 E 上的任意一点都可以作两条互相垂直的直线 l1， l2，且l1， l2与椭圆 C 都只有一个公共点？若存在，求出圆 E 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)由椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 得， a c，x2a2 y2b2 22 2又短轴长为 2 ，所以 2b2 ， b .3 3 3又 b2 c2 a2，得 a ， b c ，6 3所以椭圆 C 的方程为 1.x26 y23(2)假设满足条件的圆 E 存在，则可设 P(x0， x0)是圆 E 上的任意一点，当过 P 的直线 l 的斜率为 k 时，其方程为 y k(x x0) y0，代入 1，得 1.
4、 x26 y23 x26 kx kx0 y023即(12 k2)x24 k(y0 kx0)x2( y0 kx0)260. 若直线 l 与椭圆 C 的公共点只有一个，则中判别式 0，即 16k2(y0 kx0)28(12 k2)(y0 kx0)230.整理得关于 k 的方程(6 x )k22 x0y0k y 30， 20 20要使过圆 E 上任意一点都可以作两条互相垂直的直线 l1， l2，且 l1， l2与椭圆 C 都只有一个公共点，则方程必须有两根，且两根之积为1，故 1，即 x y 9，满足中的判别式 0. y20 36 x20 20 20又对于点( ， )，( ， )，( ， )，( ，
5、 )，直线 l1， l2中有一条的斜6 3 6 3 6 3 6 3率不存在，另一条的斜率为 0，显然成立，故满足条件的圆 E 存在，方程为 x2 y29.3.已知中心在坐标原点的椭圆 E 的一个焦点为 F2(1,0)，且该椭圆过定点 M .(1，22)(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点 Q(2,0)，过点 F2作直线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，且 ，若F2A F2B 2，1，以 QA， QB 为邻边作平行四边形 QACB，求对角线 QC 的长度的最小值.解 (1)设椭圆 E 的标准方程为 1( ab0)，易知 c1.x2a2 y2b2因为椭圆 E 过定点 M ，所以 1，(1
6、，22) 1a2 12b2结合 c2 a2 b2可得 a ， b1，2所以椭圆 E 的标准方程为 y21.x22(2)由题意可设 l： x ky1，由Error!得( k22) y22 ky10，则 4 k24( k22)8( k21)0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，因为 y1,2 ， 2k8k2 12k2 2 k2k2 1k2 2所以Error!由 2得 2 2 ，y1y2 y2y1 4k2k2 2 1 4k2k2 2由 2，1得 20 0，解得 0 k2 .12 1 12 4k2k2 2 27( x12， y1)， ( x22， y2)， ( x1 x24， y1 y2)
7、，QA QB QA QB x1 x24 k(y1 y2)2 ，4k2 1k2 2QC2| |2( x1 x24) 2( y1 y2)2 16 .QA QB 16k2 12k2 22 4k2k2 22 28k2 2 8k2 22令 t ，则 t ， QC28 t228 t168 2 .1k2 2 716， 12 (t 74) 172所以当 t 时，( QC)min2.124.已知 A， F 分别是椭圆 C： 1( ab0)的左顶点、右焦点，点 P 为椭圆 C 上一动点，x2a2 y2b2当 PF x 轴时， AF2 PF.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若椭圆 C 上存在点 Q，使得四边形 A
8、OPQ 是平行四边形(点 P 在第一象限)，求直线 AP 与OQ 的斜率之积；(3)记圆 O： x2 y2 为椭圆 C 的“关联圆”. 若 b ，过点 P 作椭圆 C 的“关联圆”aba2 b2 3的两条切线，切点为 M， N，直线 MN 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 m， n，求证： 为定3m2 4n2值.(1)解 由 PF x 轴，知 xP c，代入椭圆 C 的方程，得 1，解得 yP .c2a2 y2Pb2 b2a又 AF2 PF，所以 a c ，所以 a2 ac2 b2，2b2a即 a22 c2 ac0，所以 2e2 e10，由 0b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 在
9、椭圆上(异于椭圆 C 的左、x2a2 y2b2右顶点)，过右焦点 F2作 F1PF2的外角平分线 L 的垂线 F2Q，交 L 于点 Q，且 OQ2( O 为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为 4 .3(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l： x my4( mR)与椭圆 C 交于 A， B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 A，直线 A B 交 x 轴于点 D，求当 ADB 的面积最大时，直线 l 的方程.解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为 4 ab4 ，得 ab2 .12 3 3延长 F2Q 交直线 F1P 于点 R，因为 F2Q 为 F1PF2的外角平
10、分线的垂线，所以 PF2 PR， Q 为 F2R 的中点，所以 OQ a，F1R2 F1P PR2 F1P PF22所以 a2， b ，所以椭圆 C 的方程为 1. 3x24 y23(2)联立Error!消去 x，得(3 m24) y224 my360， 所以 (24 m)2436(3 m24)144( m24)0，即 m24. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A( x1， y1)，解得 y1,2 ， 12m6m2 43m2 4则 y1 y2 ， y1y2 ， 24m3m2 4 363m2 4直线 A B 的斜率 k ，y2 y1x2 x1 y2 y1x2 x1所以直线 A
11、B 的方程为 y y1 (x x1)，y1 y2x2 x1令 y0，得 xD 4，x1y2 x2y1y1 y2 my1 4y2 y1my2 4y1 y2 2my1y2y1 y2故 xD1，所以点 D 到直线 l 的距离 d ，31 m2所以 S ADB ABd d12 12 x1 x22 y1 y22 |y1 y2|3218 .m2 43m2 4令 t (t0)，则 S ADB18 ，m2 4t3t2 16 183t 16t 182316 334当且仅当 3t ，即 t2 m24，即 m2 4， m 时， ADB 的面积最大，16t 163 283 2213所以直线 l 的方程为3x2 y120 或 3x2 y120.21 21