1、2018-2019 学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ）A BC D2500 米口径球面射电望远镜，简称 FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”2018 年 4 月 18 日，FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为 0.00519 秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一将 0.00519 用科学记数法表示应为（ ）A0.51910 2 B5.1910
2、3 C51.910 4 D51910 63在ABC 中，AB 3，AC 5，第三边 BC 的取值范围是（ ）A10BC13 B4BC 12 C3BC 8 D2BC84如图，1+2+ 3+4+5 等于（ ）A360 B540 C720 D9005对于一次函数 y（k 3）x +2，y 随 x 的增大而增大，k 的取值范围是（ ）Ak0 Bk0 Ck3 Dk 36下列各式中，正确的是（ ）A B C D 7如图，已知ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ABC 全等的是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁8小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程 75km，线路二全程90km，
3、汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的 1.8 倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）A + B C + D 9如图，ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时， CPE 的度数是（ ）A30 B45 C60 D9010如图，线段 AB6cm，动点 P 以 2cm/s 的速度从 A BA 在线段 AB 上运动，到达点 A 后，停止运动；动点 Q 以 1cm/s 的速度从 BA 在线段 AB 上运动，到达点 A 后，停止运动
4、若动点P，Q 同时出发，设点 Q 的运动时间是 t（单位：s）时，两个动点之间的距离为 s（单位：cm ），则能表示 s 与 t 的函数关系的是（ ）A BC D二、填空题（本题共 18 分，第 1116 题，每小题 2 分，第 17 题 3 分，第 18 题 3 分）11若分式 的值为零，则 x 的值为 12在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是 13计算：2 0+22 14如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD若 AC7，BC5，则BDC 的周长是 15如图，边长为 acm 的正方形，将它的边长增加 bcm，根据图形写一个等式
5、 16如图，在ABC 中，CD 是它的角平分线，DEAC 于点 E若 BC6cm ，DE2cm，则BCD 的面积为 cm 217如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（4，3），且 OA5，在 x 轴上确定一点P，使 AOP 为等腰三角形（1）写出一个符合题意的点 P 的坐标 ；（2）请在图中画出所有符合条件的AOP18（1）如图，MAB30，AB 2cm 点 C 在射线 AM 上，利用图 1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题你画图时，选取的 BC 的长约为 cm（精确到 0.1cm）（2）MAB 为锐角， ABa ，点 C 在射线 AM 上
6、，点 B 到射线 AM 的距离为 d，BCx，若ABC的形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是 三、解答题（本题共 30 分，每小题 6 分）19（1）分解因式 x（x a）+y （ax）（2）分解因式 x3y10x 2y+25xy20计算： +21解方程： + 122如图，点 A，B，C，D 在一条直线上，且 ABCD，若12，ECFB求证：E F23在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：y3x 与直线 l2：y kx+b 交于点 A（a，3），点B（2， 4）在直线 l2 上（1）求 a 的值；（2）求直线 l2 的解析式；（3）直接写出关于 x 的不等式 3xkx+b 的解集四
7、、解答题（本题共 12 分，第 24 题 7 分，第 25 题 5 分）24在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的两个顶点的坐标分别为 A（2，0），D（2，4），顶点 B 在 x 轴的正半轴上（1）写出点 B，C 的坐标；（2）直线 y5x +5 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F求EFC 的面积25阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于 60的直角三角形”的尺规作图过程已知：线段 AB（如图 1）求作：ABC，使CAB90，ABC60作法：如图 2，（1）分别以点 A，点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 BD（2）连接 BD 并延长，使得 CDB
8、D ；（3）连接 ACABC 就是所求的直角三角形证明：连接 AD由作图可知，ADBDAB ， CDBDABD 是等边三角形（等边三角形定义）1B60（等边三角形每个内角都等于 60）CDAD2C（等边对等角）在ABC 中，1+2+ B +C180（三角形的内角和等于 180）2C301+290（三角形的内角和等于 180），即CAB90ABC 就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图 3 再设计一种“作一个角等于 60的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据五、解答题（本题 8 分）26在ABC 中，AB AC，在 ABC 的外部作等边三
9、角形 ACD，E 为 AC 的中点，连接 DE 并延长交 BC 于点 F，连接 BD（1）如图 1，若BAC100，求BDF 的度数；（2）如图 2，ACB 的平分线交 AB 于点 M，交 EF 于点 N，连接 BN补全图 2；若 BNDN，求证：MB MN2018-2019 学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形的概念解答【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；
10、C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：A【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合2500 米口径球面射电望远镜，简称 FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”2018 年 4 月 18 日，FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为 0.00519 秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一将 0.00519 用科学记数法表示应为（ ）A0.51910 2 B5.1910 3 C51.910 4 D51910 6【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为
11、a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.005195.1910 3 故选：B【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中 1|a| 10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3在ABC 中，AB 3，AC 5，第三边 BC 的取值范围是（ ）A10BC13 B4BC 12 C3BC 8 D2BC8【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围【解答】解：第三边 BC 的取值范围是 53BC 5+3，即
12、2BC8故选：D【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和4如图，1+2+ 3+4+5 等于（ ）A360 B540 C720 D900【分析】多边形内角和定理：（n2）180（n3）且 n 为整数），依此即可求解【解答】解：（n2）180（52）1803180540故1+2+3+4+ 5 等于 540故选：B【点评】考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握多边形内角和定理：（n2）180 （n3）且 n 为整数）5对于一次函数 y（k 3）x +2，y 随 x 的增大而增大，k 的取值范围是（ ）Ak0 Bk0 Ck3 Dk 3【分析】
13、一次函数 ykx+b，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大据此列式解答即可【解答】解：根据一次函数的性质，对于 y（k3）x +2，当 k30 时，即 k3 时，y 随 x 的增大而增大故选：D【点评】本题考查了一次函数的性质一次函数 ykx+b，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；当k0 时，y 随 x 的增大而减小6下列各式中，正确的是（ ）A B C D 【分析】根据分式的基本性质解答即可【解答】解：A、 ，故错误；B、 + ，故错误；C、 ，故正确；D、 ，故错误；故选：C【点评】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键7如图，已知ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三
14、角形中，与ABC 全等的是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可【解答】解：AABC 和甲所示三角形根据 SA 无法判定它们全等，故本选项错误；BABC 和乙所示三角形根据 SAS 可判定它们全等，故本选项正确；CABC 和丙所示三角形根据 SA 无法判定它们全等，故本选项错误；DABC 和丁所示三角形根据 AA 无法判定它们全等，故本选项错误；故选：B【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对
15、应相等时，角必须是两边的夹角8小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程 75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的 1.8 倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）A + B C + D 【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为 1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得： + ，
16、故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程9如图，ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时， CPE 的度数是（ ）A30 B45 C60 D90【分析】连接 BE，则 BE 的长度即为 PE 与 PC 和的最小值再利用等边三角形的性质可得PBC PCB30，即可解决问题；【解答】解：如连接 BE，与 AD 交于点 P，此时 PE+PC 最小，ABC 是等边三角形，ADBC，PCPB，PE+PCPB+PEBE ，即 BE 就是 P
17、E+PC 的最小值，ABC 是等边三角形，BCE60，BABC，AEEC，BEAC，BEC90，EBC30，PBPC，PCBPBC30，CPEPBC+PCB 60，故选：C【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键10如图，线段 AB6cm，动点 P 以 2cm/s 的速度从 A BA 在线段 AB 上运动，到达点 A 后，停止运动；动点 Q 以 1cm/s 的速度从 BA 在线段 AB 上运动，到达点 A 后，停止运动若动点P，Q 同时出发，设点 Q 的运动时间是 t（单位：s）时，两个动点之间的距离为 s（单位：cm ），则能表示 s 与
18、 t 的函数关系的是（ ）A BC D【分析】根据题意可以得到点 P 运动的慢，点 Q 运动的快，可以算出动点 P 和 Q 相遇时用的时间和点 Q 到达终点时的时间，从而可以解答本题【解答】解：设点 Q 的运动时间是 t（单位：s）时，两个动点之间的距离为 s（单位：cm），62t+t解得，t2此时，点 P 离点 B 的距离为：6222cm，点 Q 离点 A 的距离为：624cm，相遇后，点 P 到达 B 点用的时间为：221s，此时两个动点之间的距离为 3cm，由上可得，刚开始 P 和 Q 两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为 0，此时用的时间为 2s；相遇后，在第 3s 时
19、点 P 到达 B 点，从相遇到点 P 到达 B 点它们的距离在变大，1s 后 P 点从 B 点返回，点 P 继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到 A 点故选：D【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象二、填空题（本题共 18 分，第 1116 题，每小题 2 分，第 17 题 3 分，第 18 题 3 分）11若分式 的值为零，则 x 的值为 1 【分析】分式的值为 0 的条件是分子为 0，分母不能为 0，据此可以解答本题【解答】解： ，则 x10，x+10，解得 x1故若分式 的值为零，则 x 的值为 1【点评】本题考查分式的值为 0 的条
20、件，注意分式为 0，分母不能为 0 这一条件12在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是 （1，2） 【分析】根据关于 x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案【解答】解：点 P（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标，利用关于 x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键13计算：2 0+22 【分析】根据零指数幂和负指数幂的知识点进行解答【解答】解：原式1+ 故答案为 【点评】本题主要考查了幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非 0
21、 数的 0 次幂等于 1，比较简单14如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD若 AC7，BC5，则BDC 的周长是 12 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DADB ，根据三角形的周长公式计算即可【解答】解：NM 是 AB 的垂直平分线，DADB ，BDC 的周长BD+CD+ BCAD +CD+BCAC +BC12，故答案为：12【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键15如图，边长为 acm 的正方形，将它的边长增加 bcm，根据图形写一个等式 a2+2ab+b2（a+b） 2 【
22、分析】依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式【解答】解：由题可得，大正方形的面积a 2+2ab+b2；大正方形的面积（a+b） 2；a 2+2ab+b2（a+b） 2，故答案为：a 2+2ab+b2（a+b） 2【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释16如图，在ABC 中，CD 是它的角平分线，DEAC 于点 E若 BC6cm ，DE2cm，则BCD 的面积为 6 cm 2【分析】作 DFBC 于 F，根据角平分线的性质求出 DF，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：作 DF
23、BC 于 F，CD 是它的角平分线，DE AC，DFBC，DFDE 2，BCD 的面积 BCDF6（cm 2），故答案为：6【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（4，3），且 OA5，在 x 轴上确定一点P，使 AOP 为等腰三角形（1）写出一个符合题意的点 P 的坐标 答案不唯一，如：（5，0） ；（2）请在图中画出所有符合条件的AOP【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）可分三种情况：AO AP；AOPO ；AP PO；解答出即可【解答】解：（1）一个符合题意的点 P 的
24、坐标答案不唯一，如：（5，0）；（2）如图所示：故答案为：答案不唯一，如：（5，0）【点评】本题主要考查了作图复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不要遗漏18（1）如图，MAB30，AB 2cm 点 C 在射线 AM 上，利用图 1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题你画图时，选取的 BC 的长约为 答案不唯一如：BC1.2cm cm（精确到 0.1cm）（2）MAB 为锐角， ABa ，点 C 在射线 AM 上，点 B 到射线 AM 的距离为 d，BCx，若ABC的形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是 xd 或 xa 【分
25、析】（1）答案不唯一，可以取 BC1.2cm（1cmBC2cm ）；（2）当 xd 或 xa 时，三角形是唯一确定的；【解答】解：（1）取 BC1.2 cm，如图在ABC 和ABC中满足 SSA，两个三角形不全等故答案为：答案不唯一如：BC 1.2cm（2）若ABC 的形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是 xd 或 xa，故答案为 xd 或 xa【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本题共 30 分，每小题 6 分）19（1）分解因式 x（x a）+y （ax）（2）分解因式 x3y10x 2y+25xy【分
26、析】（1）直接提取公因式（xa）分解因式即可（2）先提取公因式 xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解【解答】（1）解：x（x a）+y （ax）x（ xa ）y （ xa ）（ xa ）（ xy ）；（2）解：x 3y10x 2y+25xyxy（ x210x +25）xy（ x5） 2【点评】考查了因式分解提公因式法当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的20计算： +【分析】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值【解答】解：原式 + + + 【点评】此题考查了分式的混合
27、运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键21解方程： + 1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：方程两边乘 （x3）（x+3），得 x（x+3）+6 （x 3）x 29，解得：x1，检验：当 x1 时，（x 3）（x +3）0，所以，原分式方程的解为 x1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验22如图，点 A，B，C，D 在一条直线上，且 ABCD，若12，ECFB求证：E F【分析】求出DBFACE，AC DB，根据 SAS 推出ACEDBF，根据全等三角形的性质得出即可【解答】证明：1+DBF
28、180，2+ACE 180 又12，DBFACE，ABCD，AB+BCCD+ BC，即 ACDB，在ACE 和DBF 中，ACEDBF（SAS），EF 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出ACEDBF 是解此题的关键23在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：y3x 与直线 l2：y kx+b 交于点 A（a，3），点B（2， 4）在直线 l2 上（1）求 a 的值；（2）求直线 l2 的解析式；（3）直接写出关于 x 的不等式 3xkx+b 的解集【分析】（1）把 A（a，3）代入 y3x 可求出 a 的值；（2）利用待定系数法求直线 l2 的解析式；（3）写出直线 l2：y
29、kx+b 在直线 l1：y3x 上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：（1）直线 l1： y3x 与直线 l2：y kx+ b 交于点 A（a，3），所以 3a3解得 a1（2）由（1）得点 A（1，3），直线 l2：ykx+b 过点 A（1 ，3），点 B （ 2，4 ），所以 ，解得所以直线 l2 的解析式为 yx+2.4 分（3）不等式 3xkx+b 的解集为 x1【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 ykx +b的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 ykx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横
30、坐标所构成的集合四、解答题（本题共 12 分，第 24 题 7 分，第 25 题 5 分）24在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的两个顶点的坐标分别为 A（2，0），D（2，4），顶点 B 在 x 轴的正半轴上（1）写出点 B，C 的坐标；（2）直线 y5x +5 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F求EFC 的面积【分析】（1）根据正方形的性质以及 A、D 、B 的位置即可求得；（2）求得 E、F 点的坐标，进而求得 OB2，BC4，OF5，OE 1，EB3，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式求得即可【解答】解：（1）如图，正方形 ABCD 的两个顶点的坐标分别为 A（
31、2，0），D（2，4），顶点 B 在 x 轴的正半轴上，B（2，0），C（2，4）；（2）直线 y5x +5 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，E（1，0），F（0，5），B（2，0），C（2，4），OB2，BC4，OF5， OE1，EB 3，S 梯形 OBCF （OF+BC）OB （5+4 ）29，SOEF OEOF 255，SEBC EBBC 346，S EFC S 梯形 OBCF+SOEF S EBC 9+568【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键25阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于 60的直角三角形”的尺
32、规作图过程已知：线段 AB（如图 1）求作：ABC，使CAB90，ABC60作法：如图 2，（1）分别以点 A，点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 BD（2）连接 BD 并延长，使得 CDBD ；（3）连接 ACABC 就是所求的直角三角形证明：连接 AD由作图可知，ADBDAB ， CDBDABD 是等边三角形（等边三角形定义）1B60（等边三角形每个内角都等于 60）CDAD2C（等边对等角）在ABC 中，1+2+ B +C180（三角形的内角和等于 180）2C301+290（三角形的内角和等于 180），即CAB90ABC 就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解
33、决问题的方式，利用图 3 再设计一种“作一个角等于 60的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据【分析】根据题意设计“作一个角等于 60的直角三角形”的尺规作图过程，连接 DC得到DBC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到B60，根据等腰三角形的性质证明【解答】解：作法：（1）延长 BA 至 D，使 ADAB ；（2）分别以点 B，点 D 为圆心， BD 长为半径画弧，两弧交于点 C；（3）连接 AC，BC则ABC 就是所求的直角三角形，证明：连接 DC由作图可知，BCBDDC，DBC 是等边三角形，B60，CDCB，ADAB，ACBD，ABC 就是所求作
34、的直角三角形【点评】本题考查的是等边三角形的性质，基本尺规作图，掌握等边三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的三线合一是解题的关键五、解答题（本题 8 分）26在ABC 中，AB AC，在 ABC 的外部作等边三角形 ACD，E 为 AC 的中点，连接 DE 并延长交 BC 于点 F，连接 BD（1）如图 1，若BAC100，求BDF 的度数；（2）如图 2，ACB 的平分线交 AB 于点 M，交 EF 于点 N，连接 BN补全图 2；若 BNDN，求证：MB MN【分析】（1）分别求出ADF，ADB，根据BDF ADFADB 计算即可；（2） 根据要求画出图形即可；设 ACM BCM ，由
35、 ABAC ，推出ABC ACB2，可得NACNCA ，DAN60+，由ABN ADN（SSS），推出ABNADN30，BAN DAN60+ ，BAC 60+2 ，在ABC 中，根据BAC+ACB+ABC180，构建方程求出 ，再证明MNBMBN 即可解决问题；【解答】（1）解：如图 1 中，在等边三角形ACD 中，CADADC60，ADACE 为 AC 的中点，ADE ADC30，ABAC，ADAB，BADBAC+ CAD160，ADBABD10，BDFADFADB 20（2） 补全图形，如图所示证明：连接 ANCM 平分ACB，设ACMBCM，ABAC，ABCACB2 在等边三角形 ACD 中，E 为 AC 的中点，DNAC，NANC，NAC NCA，DAN60+，在ABN 和ADN 中，ABNADN（SSS），ABNADN30，BAN DAN60+，BAC60+2，在ABC 中，BAC+ACB+ ABC180，60+2+2+2 180，20，NBC ABCABN 10，MNBNBC+ NCB 30，MNBMBN，MBMN【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型