1、2018-2019 学年广东省广州市越秀区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（ ）A BC D2一个三角形的两边长为 3 和 8，第三边长为奇数，则第三边长为（ ）A5 或 7 B7 或 9 C7 D93到三角形三边的距离相等的点是（ ）A三角形三条高的交点B三角形三条中线的交点C三角形三条角平分线的交点D不存在这个点4如图所示，已知12，若添加一个条件使ABCADC，则添加错误的是（ ）AABAD BBD CBCA
2、DCA DBCDC5如图，把一个含 30角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果120，那么2的度数为（ ）A20 B50 C60 D706点（5，2）关于 x 轴的对称点是（ ）A（5，2） B（5，2） C（5，2） D（52）7如图，在ABC 中，BDC110，点 D 是ABC 和ACB 角平分线的交点，则A（ ）A40 B50 C60 D708点 P 在AOB 的平分线上，点 P 到 OA 边的距离等于 6，点 Q 是 OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）APQ6 BPQ 6 CPQ 6 DPQ 69如图，等边ABC 的边长为 1cm，D 、E 分别 AB、AC 是上的
3、点，将ADE 沿直线 DE 折叠，点A 落在点 A处，且点 A在ABC 外部，则阴影部分的周长为（ ）cmA1 B2 C3 D410如图，已知 RtABC 中，C90，A30，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的 P 点有（ ）A5 个 B6 个 C7 个 D8 个二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11如图，已知OABOCD ，A30，AOB105，则D 12一个正多边形的每个内角都等于 140，那么它是正 边形13等腰三角形中，已知两边的长分别是 9 和 6，则周长为 14如图：EAF15，ABBCCD ，则ECD 等于 15
4、如图所示，点 P 为AOB 内一点，分别作出点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P 2连接 P1P2交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P26，则PMN 的周长为 16如图，在ABC 中，ABC，ACB 的平分线交于点 O，ODBC 于 D，如果AB 25cm，BC20cm ，AC 15cm，且 SABC 150cm 2，那么 OD cm三、解答题（本大题共有 8 小题，满分 72 分，解答要写出文字说明，证明过程或计算步骤）17（6 分）一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 180，求这个多边形的边数18（6 分）如图，M，N 分别是正五边形 ABCDE 的边 BC，CD
5、 上的点，且 BMCN，AM 交 BN于点 P求证： ABMBCN 19（8 分）如图：（1）画出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1；（2）在 y 轴上画出点 P，使 PA+PC 最小；（3）求ABC 的面积20（8 分）如图所示，在ABC 中，ABAC CD，ADDB，求BAC 的度数21（8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F求证：AF 平分BAC 22（10 分）如图，在ABC 中，ABAC ，BAC120 （1）作线段 AC 的垂直平分线，分别交 BC、AC 于点 D、 E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接
6、AD，若 DE2cm，求 BC 的长23（12 分）如图，在ABC 中，AD 、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F（1）求证：EFA90 B；（2）若B60，求证：EFDF24（14 分）已知：在等腰三角形 ABC 中，ABAC ，ADBC 于点 D，以 AC 为边作等边三角形ACE，直线 BE 交直线 AD 于点 F，连接 FC（1）如图 1，120BAC180，ACE 与ABC 在直线 AC 的异侧，且 FC 交 AE 于点 M求证： FEAFCA；猜想线段 FE，AD，FD 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）当 60BAC120，且ACE 与ABC 在直线
7、 AC 的异侧时，利用图 2 画出图形探究线段 FE，AD，FD 之间的数量关系，并直接写出你的结论2018-2019 学年广东省广州市越秀区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故正确故选：D【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关
8、键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合2一个三角形的两边长为 3 和 8，第三边长为奇数，则第三边长为（ ）A5 或 7 B7 或 9 C7 D9【分析】首先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边又是奇数得到答案【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于 835，而小于两边之和 8+311又第三边应是奇数，则第三边等于 7 或 9故选：B【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可3到三角形三边的距离相等的点是（ ）A三角形三条高的交点B三角形三条中线的交点C三角形三条角平分线的交点D不存在这个点【分析】根据角平
9、分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答【解答】解：到三角形三边的距离相等的点是：三角形三条角平分线的交点故选：C【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键4如图所示，已知12，若添加一个条件使ABCADC，则添加错误的是（ ）AABAD BBD CBCA DCA DBCDC【分析】本题是开放题，要使ABCADC，已知12，AC 是公共边，具备了一组边和一组角对应相等，再结合选项一一论证即可【解答】解：A、添加 ABAD，能根据 SAS 判定ABCADC，故选项正确；B、添加B D，能根据 ASA 判定ABC ADC，故选项正确；C、添加BCADCA，
10、能根据 ASA 判定ABCADC ，故选项正确；D、添加 BCDC，SSA 不能判定ABCADC，故选项错误故选：D【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角5如图，把一个含 30角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果120，那么2的度数为（ ）A20 B50 C60 D70【分析】根据三角形的外角性质得出2A+1，代入求出即可【解答】解：2A+ 130+20 50，故选：B【点评】本题考查了三角形
11、的外角性质，能根据三角形的外角性质得出2A+1 是解此题的关键6点（5，2）关于 x 轴的对称点是（ ）A（5，2） B（5，2） C（5，2） D（52）【分析】关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数【解答】解：（5，2）关于 x 轴的对称点为（5，2），故选：B【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律7如图，在ABC 中，BDC110，点 D 是ABC 和ACB 角平分线的交点，则A（ ）A40 B50 C60 D70【分析】根据三角形内角和定理得到DBC+DCB70，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可【解答】解：BDC11
12、0，DBC+DCB18011070，点 D 是ABC 和ACB 角平分线的交点，ABC2DBC，ACB2DCB，ABC+ ACB2（DBC+2DCB）140，A18014040，故选：A【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于 180是解题的关键8点 P 在AOB 的平分线上，点 P 到 OA 边的距离等于 6，点 Q 是 OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）APQ6 BPQ 6 CPQ 6 DPQ 6【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点 P 到 OB 的距离为 6，再根据垂线段最短解答【解答】解：点 P 在AOB 的平分线上，点 P 到 OA 边的距
13、离等于 6，点 P 到 OB 的距离为 6，点 Q 是 OB 边上的任意一点，PQ6故选：B【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键9如图，等边ABC 的边长为 1cm，D 、E 分别 AB、AC 是上的点，将ADE 沿直线 DE 折叠，点A 落在点 A处，且点 A在ABC 外部，则阴影部分的周长为（ ）cmA1 B2 C3 D4【分析】由题意得 AEA E ，ADAD，故阴影部分的周长可以转化为三角形 ABC 的周长【解答】解：将ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A处，所以 ADA D，AE AE则阴影部分图形的周长等于 BC
14、+BD+CE+AD+ AE，BC+BD+CE+AD+AE，BC+AB+AC，3cm故选：C【点评】此题考查翻折问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系10如图，已知 RtABC 中，C90，A30，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的 P 点有（ ）A5 个 B6 个 C7 个 D8 个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论【解答】解：如图，第 1 个点在 CA 延长线上，取一点 P，使 BAAP；第 2 个点在 CB 延长线上，取一点 P，使 ABPB；第 3 个点在 AC 延长线上，取一点 P，使 AB
15、PB；第 4 个点在 BC 延长线上，取一点 P，使 ABPA；第 5 个点在 AC 延长线上，取一点 P，使 ABAP；第 6 个点在 AC 上，取一点 P，使PBA PAB；符合条件的点 P 有 6 个点故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11如图，已知OABOCD ，A30，AOB105，则D 45 【分析】根据三角形内角和定理求出B，根据全等三角形的对应角相等解答【解答】解：B180AAOB45，OABOCD，DB45，故答案为：45【点评】
16、本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键12一个正多边形的每个内角都等于 140，那么它是正 九 边形【分析】首先根据多边形的内角与相邻的外角互补可得外角为 18014040，再利用外角和 360除以外角的度数可得边数【解答】解：正多边形的每个内角都等于 140，多边形的外角为 18014040，多边形的边数为 360409，故答案为：九【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握外角和 360除以外角的度数可得边数13等腰三角形中，已知两边的长分别是 9 和 6，则周长为 21 或 24 【分析】分 9 是底和腰两种情况进行讨论，利用三角
17、形的三边关系来判断，再计算其周长即可【解答】解：当边长为 9 的边为底时，三角形的三边长为：9、6、6，满足三角形的三边关系，此时其周长为 21；当边长为 9 的边为腰时，三角形的三边长为：9、9、6，满足三角形的三边关系，此时其周长为24故答案为：21 或 24【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意分两种情况进行讨论是解题的关键14如图：EAF15，ABBCCD ，则ECD 等于 45 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：ABBC，BACBCA15，CBDA+BCA30 ，CBCD，CBDCDB30，ECDA+CDB15+3045
18、，故答案为 45【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型15如图所示，点 P 为AOB 内一点，分别作出点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P 2连接 P1P2交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P26，则PMN 的周长为 6 【分析】根据轴对称的性质可得 P1MPM，PNP 2N，然后求出PMN 的周长P 1P2【解答】解：点 P 关于 OA 的对称点 P1，OA 是 PP1 的中垂线，P 1MPM，同理可得：P 2NPN，PMN 的周长PM +PN+MN，PMN 的周长P 1M+MN+P2NP 1P26
19、，故答案为：6【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等16如图，在ABC 中，ABC，ACB 的平分线交于点 O，ODBC 于 D，如果AB 25cm，BC20cm ，AC 15cm，且 SABC 150cm 2，那么 OD 5 cm【分析】先连接 OA，过点 O 分别作 AC，AB 的垂线，垂足分别为 E、F，由角平分线的性质可知ODOE OF ，再根据 SABC S AOB +SBOC +SAOC 进行解答即可【解答】解：连接 OA，过点 O 分别作 AC，A
20、B 的垂线，垂足分别为 E、F，ABC，ACB 的平分线交于点 O，ODBC 于 D，ODOE OF ，S ABC S AOB +SBOC +SAOC ABOF+ BCOD+ ACOE OD（AB+BC +AC） OD（25+20+15 ） 150，解得 OD5cm故答案为：5【点评】本题考查的是三角形的面积及角平分线的性质，根据题意作出辅助线，把ABC 的面积分为 SAOB +SBOC +SAOC 是解答此题的关键三、解答题（本大题共有 8 小题，满分 72 分，解答要写出文字说明，证明过程或计算步骤）17（6 分）一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 180，求这个多边形的边数【分析
21、】多边形的外角和是 360 度，根据多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 180，即可得到多边形的内角和的度数根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数【解答】解：设这个多边形的边数是 n，依题意得（n2）1803360180，n261，n7这个多边形的边数是 7【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是 360，与边数无关18（6 分）如图，M，N 分别是正五边形 ABCDE 的边 BC，CD 上的点，且 BMCN，AM 交 BN于点 P求证： ABMBCN 【分析】利用正五边形的性质得出 ABBC，ABMC，再利用全等三角形的判定即可证明ABMBCN【解答】证明
22、：五边形 ABCDE 是正五边形，ABBC， ABMC，在ABM 和 BCN 中，ABM BCN（SAS ）【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键19（8 分）如图：（1）画出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1；（2）在 y 轴上画出点 P，使 PA+PC 最小；（3）求ABC 的面积【分析】（1）分别作出点 A、B、C 关于 y 轴对称的点 A1，B 1，C 1，然后顺次连接，并写出坐标（2）连接 AC1 交 y 轴于点 P，则 PA+PC 最小，点 P 即为所求（3）利用ABC 所在梯形面积减去周围三角形面积，进而得出答
23、案【解答】解：（1）如图所示，A 1B1C1 即为所求；（2）如图所示，点 P 即为所求；（3）如图所示，S ABC S 梯形 BCDES ACD S ABE 122.536.5【点评】本题考查轴对称变换、三角形的面积、两点之间线段最短等知识，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接20（8 分）如图所示，在ABC 中，ABAC CD，ADDB，求BAC 的度数【分析】ABACCD，ADBD 可得BCBAD，CDACAD，且利用外角可得CDA2B2C，在ACD 中利用三角形内角和可求得 C ，进一步可求得CAC，再利用角的和差求得BAC【解答】解：ABAC，DADB，BCBA
24、D ，CACD，CDACAD，又CDAB+BAD2B2C ，CAD2C，在ACD 中，C+ CDA+CAD180，2C+2C +C180，C36，BAD36，CAD2C 72，BACBAD+ CAD36+72 108【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及外角性质、三角形内角和定理，由条件得到2C+2 C +C180求出C 是解题的关键，注意外角性质及三角形内角和定理的应用21（8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F求证：AF 平分BAC 【分析】先根据 ABAC，可得ABC ACB，再由垂直，可得 90的角，在BCE 和BCD 中，利
25、用内角和为 180，可分别求BCE 和DBC，利用等量减等量差相等，可得 FBFC，再易证ABFACF，从而证出 AF 平分BAC 【解答】证明：ABAC（已知），ABCACB（等边对等角）BD、CE 分别是高，BDAC，CEAB （高的定义）CEBBDC90ECB90ABC，DBC90ACBECBDBC（等量代换）FBFC（等角对等边），在ABF 和ACF 中，ABF ACF（SSS），BAF CAF（全等三角形对应角相等），AF 平分BAC【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的关键22（10 分）如图，在ABC 中，ABAC ，BAC12
26、0 （1）作线段 AC 的垂直平分线，分别交 BC、AC 于点 D、 E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接 AD，若 DE2cm，求 BC 的长【分析】（1）利用尺规作出线段 AC 的垂直平分线即可；（2）先求出 ADCD，得出 DACC30，求出 ADCD2DE 10，再证BAD90，得出 BD2AD20，即可求出 BC 的长【解答】解：（1）线段 AC 的垂直平分线如图所示：（2）ABAC ，BAC 120 ，CB30，DE 是 AC 的垂直平分线，ADCD，DACC30，ADCD2DE224cm，BAD1203090，BD2AD 8cm，BCBD+ CD8+4 12（cm）【
27、点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及含 30的直角三角形的性质；利用线段垂直平分线得出线段相等、角相等是解题的关键23（12 分）如图，在ABC 中，AD 、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F（1）求证：EFA90 B；（2）若B60，求证：EFDF【分析】（1）由FAC BAC，FCA BCA，推出FAC+FCA （ABC +ACB） （180B）90 B；（2）过点 F 作 FGBC 于 G，作 FHAB 于 H，作 FMAC 于，构造全等三角形解决问题即可；【解答】证明：（1）BAC+ BCA180B，又AD、CE 分别是BAC、BCA
28、的平分线，FAC BAC，FCA BCA，FAC+ FCA （180B）90 B，EFA FAC+ FCA ，EFA 90 B（2）如图，过点 F 作 FG BC 于 G，作 FHAB 于 H，作 FMAC 于 MAD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，FGFH FM，EFH+DFH120，DFG +DFH36090260120，EFHDFG，在EFH 和DFG 中，EFHDFG（AAS），EFDF 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型24（14 分）已知：在等腰三角形 ABC 中，ABAC
29、，ADBC 于点 D，以 AC 为边作等边三角形ACE，直线 BE 交直线 AD 于点 F，连接 FC（1）如图 1，120BAC180，ACE 与ABC 在直线 AC 的异侧，且 FC 交 AE 于点 M求证： FEAFCA；猜想线段 FE，AD，FD 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）当 60BAC120，且ACE 与ABC 在直线 AC 的异侧时，利用图 2 画出图形探究线段 FE，AD，FD 之间的数量关系，并直接写出你的结论【分析】（1）由题意可得 ABAC AE ，即可求ABFAEF，由 AD 是 BC 的中垂线可得BF CF，可证 ABFACF，可得ABFACF ，则结论可得
30、；延长 AD 使 DPAD，连接 CP，由题意可得 ACCPCE，ACDPCD，即可证ECF FCP，则可证 ECFFCP ，可得 EFFP FD +AD；（2）连接 CF，延长 AD 使 FDDP ，连接 CP，由题意可得ABFACFAEF，FCP 是等边三角形，可证ACPECF，即可得 EFAD+DPAD+DF 【解答】证明：（1）AEC 是等边三角形EACACE60，CE ACAE，且 ABACABAEABF AEFABAC，ADBCAD 是 BC 的垂直平分线BFFC，且 AFAF，ABACABF ACF（SSS）ABF ACFACFAEFEF FD+AD延长 AD 使 DPAD ，连
31、接 CPADDP ，ADCPDC，CDCDADCPDC（SAS）ACCPCE，ACDPCDACFAEF，且AMCFMEEFCEAC60BFCF，且 EFC 60FCD30FCAFCDACDFCA30ACDECFECAFCAECF30+ACDFCPFCD+DCPFCP30+ACDECFFCP，且 FC FC，CPCEECFFCP（SAS ）EFFPEFFD +AD（2）连接 CF，延长 AD 使 FDDP ，连接 CPAEC 是等边三角形EACACE60，CE ACAE，且 ABACABAEABF AEFABAC，ADBCAD 是 BC 的垂直平分线BFFC，且 AFAF，ABACABF ACF（SSS）ABF ACFACFAEF 且AME CMFEACEFC60BFCF， EFC60FCB30FDDP ，FDCPDC，CDCDFDCPDC（SAS）FCCP，FCDPCD30FCP60ACEACPFCE 且 CFCP，ACCEACPECF（SAS ）EFAPEFAD +DPAD +DF【点评】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键