1、2019 年春人教版九年级上册数学第 22 章二次函数单元测试题一选择题（共 10 小题）1下列函数中，二次函数是（ ）Ay4x+5 Byx（2x3）Cy（ x+4） 2x 2 Dy2抛物线 yx 2+1 的对称轴是（ ）A直线 x1 B直线 x1 C直线 x0 D直线 y13二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的对称轴是（ ）Ax3 Bx2 Cx1 Dx 04将抛物线 yx 2+2x3 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）Ay（x1） 21 By（x+3） 21 Cy（x1） 2
2、7 Dy （x+3） 275已知二次函数 yx 25x +m 的图象与 x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（ 1，0），则另一个交点的坐标为（ ）A（1，0） B（4，0） C（5，0） D（6，0）6如图，在矩形 ABCD 中，ABa，BCb， a3b，AEAH CF CG，则四边形 EFGH 的面积的最大值是（ ）A B C D7已知二次函数 y（2a） ，在其图象对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，则 a 的值为（ ）A B C D08如图，抛物线 y2x 2+4x 与 x 轴交于点 O、A，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记为 C1，将C1 以 y 铀为对称轴作轴对称得到 C
3、2，C 2 与 x 轴交于点 B，若直线 yx +m 与 C1，C 2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ）A0m B m C0m Dm 或 m9已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m ）与飞行时间 t（s）满足函数表达式ht 2+24t+1则下列说法中正确的是（ ）A点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同B点火后 24s 火箭落于地面C点火后 10s 的升空高度为 139mD火箭升空的最大高度为 145m10当 a1xa 时，函数 yx 22x+1 的最小值为 1，则 a 的值为（ ）A1 B2 C1 或 2 D0 或 3二填空题（共 8 小题）11将二次函数
4、y x2+3x 化为 ya（x h） 2+k 的形式，其结果是 12由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象过点（1，0），求证：这个二次函数的图象关于直线 x+2 对称，根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：过点（ 3，0）； 顶点（2，2 ）； 在 x 轴上截得的线段的长是2；与 y 轴的交点是（0，3），其中正确的是 （填序号）13如图，这是二次函数 yx 22x 3 的图象，根据图象可知，函数值小于 0 时 x 的取值范围为 14某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价 1 元
5、，每星期可多卖出 20 件设每件商品降价 x 元后，每星期售出商品的总销售额为 y元，则 y 与 x 的关系式为 15二次函数 yx 28x 的最低点的坐标是 16二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：abc0；4acb 2；2a+b0；其顶点坐标为（ ，2）； 当 x 时，y 随 x 的增大而减小；a+b+c0 中，正确的有 （只填序号）17已知二次函数 y2x 2+2018，当 x 分别取 x1，x 2（x 1 x2）时，函数值相等，则当 x 取 2x1+2x2时，函数值为 18函数 yax 22ax +m（a0）的图象过点（2，0），那么使函数值 y0 成立的 x 的
6、取值范围是 三解答题（共 7 小题）19已知二次函数 yax 2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x 1 0 1 2 4 y 10 1 2 1 25 （1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标20当 k 分别取 0，1 时，函数 y（1k ）x 24x+5k 都有最小值吗？写出你的判断，并说明理由21抛物线 yax 2+2ax+c 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 右边），且 ab4，求点 A、B 的坐标22已知抛物线的顶点为（0，4），与 x 轴交于点（2，0），求抛物线的解析式23某超市销售一种水果，迸价为每箱 40 元，规定售价
7、不低于进价现在的售价为每箱 72 元，每月可销售 60 箱经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低 2 元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱水果降价 x 元（x 为偶数），每月的销量为 y 箱（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用 500 元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？24晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围成已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米（1）若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与
8、 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围；（2）设这个苗圃园的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系25某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的 A 处安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高 0.8m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示根据设计图纸已知：如图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m ）之间的函数关系式是 yx 2+2x+ （1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？2019 年春人教版九年级上册数学第 22 章 二次函
9、数单元测试题参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1下列函数中，二次函数是（ ）Ay4x+5 Byx（2x3）Cy（ x+4） 2x 2 Dy【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论【解答】解：A、y 4x +5 为一次函数；B、y x（2x3）2x 23x 为二次函数；C、y（ x+4） 2x 28x+16 为一次函数；D、y 不是二次函数故选：B【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键2抛物线 yx 2+1 的对称轴是（ ）A直线 x1 B直线 x1 C直线 x0 D直线 y1【分析】由抛物线解析式可直接求得答案【解答】解：抛物线 yx 2+1
10、，抛物线对称轴为直线 x0，即 y 轴，故选：C【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 ya（xh）2+k 中，对称轴为 xh，顶点坐标为（h，k ）3二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的对称轴是（ ）Ax3 Bx2 Cx1 Dx 0【分析】由当 x3 与 x1 时 y 值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出二次函数图象的对称轴为直线 x2，此题得解【解答】解：当 x3 与 x1 时，y 值相等，二次函数图象的对称轴为直线 x 2故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象
11、的对称性找出其对称轴是解题的关键4将抛物线 yx 2+2x3 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）Ay（x1） 21 By（x+3） 21 Cy（x1） 27 Dy （x+3） 27【分析】根据图象平移规律，可得答案【解答】解：函数化为一般式为 y（x+1） 24，yx 2+2x3 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得y（x+3） 2 1，故选：B【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键5已知二次函数 yx 25x +m 的图象与 x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（ 1，0），
12、则另一个交点的坐标为（ ）A（1，0） B（4，0） C（5，0） D（6，0）【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数图象与 x 轴的两交点关于对称轴对称，即可求出抛物线与 x 轴的另一交点坐标，此题得解【解答】解：二次函数 yx 25x +m 的图象的对称轴为直线 x 该二次函数图象与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），另一交点坐标为（ 21，0），即（4，0）故选：B【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线与 x 轴的两交点关于对称轴对称是解题的关键6如图，在矩形 ABCD 中，ABa，BCb， a3b，AEA
13、H CF CG，则四边形 EFGH 的面积的最大值是（ ）A B C D【分析】先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可【解答】解：设 AEAH CFCGx，则 BEDGax，BFDHbx，设四边形 EFGH 的面积为 y，依题意，得 yabx 2（ax ）（bx），即：y2x 2+（a+ b）x ，20，抛物线开口向下，x 时，有最大值， ，0xa，函数有最大值为 （a+ b） 2故选：B【点评】根据面积的和差关系，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题7已知二次函数 y（2a） ，在其图象对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，则 a 的值为（
14、）A B C D0【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解则可其图象对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小就说明图象开口向上，2a0【解答】解：由二次函数定义可知 a232 且 2a0，解得 a 故选：C【点评】本题考查二次函数的定义及图象8如图，抛物线 y2x 2+4x 与 x 轴交于点 O、A，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记为 C1，将C1 以 y 铀为对称轴作轴对称得到 C2，C 2 与 x 轴交于点 B，若直线 yx +m 与 C1，C 2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ）A0m B m C0m Dm 或 m【分析】首先求出点 A 和点 B 的坐标，然后求出 C
15、2 解析式，分别求出直线 yx+m 与抛物线 C2 相切时 m 的值以及直线 y x+m 过原点时 m 的值，结合图形即可得到答案【解答】解：令 y2x 2+4x0，解得：x0 或 x2，则点 A（2，0），B（2，0），C 1 与 C2 关于 y 铀对称，C 1：y 2x 2+4x2（x1 ） 2+2，C 2 解析式为 y2（x+1 ） 2+22x 24x（2x0），当 yx+m 与 C2 相切时，如图所示：令 yx+my2x 2+4x，即 2x23x+m0，8m+9 0，解得：m ，当 yx+m 过原点时，m0，当 0m 时直线 yx+ m 与 C1、C 2 共有 3 个不同的交点，故选：
16、A【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度9已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m ）与飞行时间 t（s）满足函数表达式ht 2+24t+1则下列说法中正确的是（ ）A点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同B点火后 24s 火箭落于地面C点火后 10s 的升空高度为 139mD火箭升空的最大高度为 145m【分析】分别求出 t9、13、 24、10 时 h 的值可判断 A、B、C 三个选项，将解析式配方成顶点式可判断 D 选项【解答】解：A、当 t9 时，h136；当 t13
17、 时，h144；所以点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度不相同，此选项错误；B、当 t24 时 h10，所以点火后 24s 火箭离地面的高度为 1m，此选项错误；C、当 t10 时 h141m，此选项错误；D、由 ht 2+24t+1（t 12） 2+145 知火箭升空的最大高度为 145m，此选项正确；故选：D【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质10当 a1xa 时，函数 yx 22x+1 的最小值为 1，则 a 的值为（ ）A1 B2 C1 或 2 D0 或 3【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当 y1 时 x 的值，结合当 a1xa 时函数
18、有最小值 1，即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：当 y1 时，有 x22x +11，解得：x 10，x 22当 a1xa 时，函数有最小值 1，a12 或 a0，a3 或 a0，故选：D【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当 y1 时 x 的值是解题的关键二填空题（共 8 小题）11将二次函数 y x2+3x 化为 ya（x h） 2+k 的形式，其结果是 y （x+3） 27 【分析】直接利用配方法表示出二次函数的顶点坐标进而得出答案【解答】解：y x2+3x （x 2+6x） （x+3） 2 （x+3
19、） 27故答案为：y （x +3） 27【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确运用配方法是解题关键12由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象过点（1，0），求证：这个二次函数的图象关于直线 x+2 对称，根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：过点（ 3，0）； 顶点（2，2 ）； 在 x 轴上截得的线段的长是2；与 y 轴的交点是（0，3），其中正确的是 （填序号）【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），从而得到抛物线在x 轴上截得的线段的长，利用（1，0）和对称轴方程不能确定顶点的纵坐标和 c
20、 的值【解答】解：二次函数 yax 2+bx+c 的图象过点（1，0），对称轴为直线 x2，抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），抛物线在 x 轴上截得的线段的长是 2故答案为 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标13如图，这是二次函数 yx 22x 3 的图象，根据图象可知，函数值小于 0 时 x 的取值范围为 1x 3 【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以直接写出函数值小于 0 时 x 的取值范围【解答】解：由图象可知，抛物线与 x 轴的两个
21、交点时（1，0），（3，0），抛物线开口向上，函数值小于 0 时 x 的取值范围为1x3，故答案为：1x3【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答14某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件设每件商品降价 x 元后，每星期售出商品的总销售额为 y元，则 y 与 x 的关系式为 y （60x）（300+20x） 【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决【解答】解：由题意可得，y（60x）（300+20 x），故答案为：y（60x
22、）（300+20x ）【点评】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式15二次函数 yx 28x 的最低点的坐标是 （4，16） 【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，由此即可找出该函数图象的最低点的坐标【解答】解：yx 28x （ x4） 216，a10，二次函数图象开口向上，二次函数 yx 28x 的最低点的坐标是（ 4，16）故答案为：（4，16）【点评】本题考查了二次函数的最值，利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式是解题的关键16二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：abc0；4acb 2；2a+
23、b0；其顶点坐标为（ ，2）； 当 x 时，y 随 x 的增大而减小；a+b+c0 中，正确的有 （只填序号）【分析】根据图象可判断，由 x1 时，y 0，可判断【解答】解由图象可得，a0，c0，b0，b 24ac0，对称轴为 xabc0，4acb 2，当 x 时，y 随 x 的增大而减小故正确 12a+b0故正确由图象可得顶点纵坐标小于2，则错误当 x1 时，ya+b+ c0故错误故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，利用函数图象解决问题是本题的关键17已知二次函数 y2x 2+2018，当 x 分别取 x1，x 2（x 1 x2）时，函数值相等，则当 x 取 2x1+2x2时，
24、函数值为 2018 【分析】先判断出二次函数 y2x 2+2018 的对称轴为 y 轴，然后根据二次函数的对称性确定出x1+x20，然后代入函数解析式计算即可得解【解答】解：二次函数 y2x 2+2018 的对称轴为 y 轴， x 分别取 x1，x 2 时函数值相等，x 1+x20，当 x 取 2x1+2x2 时，函数值 y2018，故答案为：2018【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质并求出 x1+x20 是解题的关键18函数 yax 22ax +m（a0）的图象过点（2，0），那么使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是
25、0x2 【分析】根据函数 yax 22ax +m（a0）的图象过点（2，0），可以求得 m 的值，然后即可求得当 y0 时 x 的值，再根据二次函数的性质即可解答本题【解答】解：函数 yax 22ax +m（a0）的图象过点（2，0），0a2 22a2+m，化简，得 m0，yax 22ax ax（x2），当 y0 时，x0 或 x2，a0，使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是 0x 2，故答案为：0x2【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答三解答题（共 7 小题）19已知二次函数 yax 2+bx
26、+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x 1 0 1 2 4 y 10 1 2 1 25 （1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）把（1）中解析式配成顶点式可得到这个二次函数图象的顶点坐标【解答】解：（1）把（0，1），（1，2），（2，1）代入 yax 2+bx+c 得 ，解得，所以抛物线解析式为 y3x 26x +1；（2）y3（x 22x ）+13（x 22x+11）+13（x1） 22，所以抛物线的顶点坐标为（1，2）【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关
27、系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解20当 k 分别取 0，1 时，函数 y（1k ）x 24x+5k 都有最小值吗？写出你的判断，并说明理由【分析】代入 k 的值，得出解析式，根据函数的性质即可判定【解答】解：当 k0 时，y x 24x+5（x2） 2+1，所以当 k0 时，函数有最小值 1；当 k1 时，y4x +4，所以无最小值【点评】本题考查了一次
28、函数和二次函数的性质，以及二次函数的最值，熟练掌握函数的性质是解题的关键21抛物线 yax 2+2ax+c 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 右边），且 ab4，求点 A、B 的坐标【分析】首先求出抛物线的对称轴，进而得出 A，B 点坐标【解答】解：抛物线 yax 2+2ax+c，抛物线的对称轴为：直线 x1，A 在 B 右边，且 AB4，B（3，0），A（1，0）【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，得出其对称轴是解题关键22已知抛物线的顶点为（0，4），与 x 轴交于点（2，0），求抛物线的解析式【分析】由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，结合抛物线与 x 轴的交点坐标，
29、利用待定系数法即可求出抛物线的解析式【解答】解：抛物线的顶点为（0，4），设抛物线的解析式为 yax 2+4将（2，0）代入 yax 2+4，得：04a+4，解得：a1，抛物线的解析式为 yx 2+4【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的三种形式以及待定系数法求二次函数解析式，巧设二次函数的顶点式是解题的关键23某超市销售一种水果，迸价为每箱 40 元，规定售价不低于进价现在的售价为每箱 72 元，每月可销售 60 箱经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低 2 元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱水果降价 x 元（x 为偶数），每月的销量为 y 箱（1）写出 y 与 x 之间
30、的函数关系式和自变量 x 的取值范围（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用 500 元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据价格每降低 2 元，平均每月多销售 10 箱，由每箱降价 x 元，多卖 5x，据此可以列出函数关系式；（2）由利润（售价成本）销售量每月其他支出列出函数关系式，求出最大值【解答】解：（1）根据题意知 y60+5x，（0x 32，且 x 为偶数）；（2）设每月销售水果的利润为 w，则 w（72x 40）（5x+60）5005x 2+100x+14205（x10） 2+1920，当 x10 时，w 取得最大值，最大值为 1920
31、元，答：当售价为 62 元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是 1920 元【点评】本题主要考查二次函数的应用，由利润（售价成本）销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键24晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围成已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米（1）若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围；（2）设这个苗圃园的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系【分析】（1）由总长度垂直于墙的两边的长度平行于墙的这边的长度，根据墙的
32、长度就可以求出 x 的取值范围；（2）由长方形的面积公式建立二次函数即可【解答】解：（1）y302x，（6x 15）；（2）设矩形苗圃的面积为 SSxyx（302x ）2（ x7.5） 2+112.5【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题解题的关键是根据题意构建二次函数模型25某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的 A 处安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高 0.8m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示根据设计图纸已知：如图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m ）之间的函数关系式是 yx 2+2x+ （1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？【分析】（1）根据题意列函数关系式即可得到结论；（2）列方程即可得到结论【解答】解：（1）yx 2+2x+ （x1） 2+1.8答：喷出的水流距水面的最大高度为 1.8 米（2）当 y0 时，x 2+2x+ 0，即（x1） 21.8，解得 x11+ ，x 21 0（舍去）答：水池半径至少为（1+ ）米【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题