1、第五章 相交线与平行线51 相交线5.1.1 相交线关键问答邻补角的特征是什么？对顶角的特征是什么？在两直线相交的图中，常用的求角的推理依据是什么？1 下列选项中，1 与2 是邻补角的是( )图 5112 下列图形中，1 与2 是对顶角的是( )图 5123 如图 513，直线 AB 与 CD 相交于点 O，AOCAOD 12.求BOD 的度数图 513命题点 1 邻补角的识别与计算 热度：86%4 如图 514 所示，1 的邻补角是( )图 514ABOC BBOE 或AOFCAOF DBOE 或AOF 或DOFBOC易错警示邻补角是有一定位置关系和数量关系的两个角5 下列说法正确的是( )
2、A直角没有邻补角B互补的两个角一定是邻补角C一个角的邻补角大于这个角D一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角易错警示互为邻补角的两个角一定互补，而互补的两个角不一定是邻补角6 若AOB 和BOC 互为邻补角，且AOB 比BOC 大 18，则AOB 的度数是( )A54 B81 C99 D162方法点拨本题可以通过列一元一次方程解决7.如图 515，直线 AB，CD 相交于点 O，若1 2，则2_.27图 515命题点 2 对顶角的识别与计算 热度：88%8. 如图 516，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，则123 的度数等于( )图 516A90 B150 C180 D210解题突破本题利
3、用“对顶角相等” 把三个角的和转化成一个平角9 如图 517，直线 AB，CD 相交于点 O，已知AOD3x，BOC2x40，则BOC_.图 517易错警示解出 x 后，还需求 2x40.10图 518 是一个对顶角量角器，用它测量角的原理是_图 518命题点 3 邻补角与对顶角的综合 热度：90%11. 如图 519，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 是AOC 的平分线，BOC130，BOF140，则EOF 的度数为( )图 519A95 B65 C50 D40解题突破求EOF 的度数可以转化成求两个角的和或差，再利用对顶角相等或邻补角互补进行求解.12如图 5110，AOC 和BOC
4、互为邻补角，OD， OE 分别是AOC，BOC的平分线，则DOE_.图 511013. 如图 5111，直线 AB，CD 相交于点 O，作DOEBOD，OF 平分AOE.若AOC28 ，则EOF _.图 5111模型建立互为邻补角的两个角的平分线的夹角是直角.14如图 5112，直线 AB，CD 相交于点 O，EOB 90，OC 平分AOF，AOF40，求EOD 的度数图 511215.已知：如图 5113，直线 AB，CD 相交于点 O， 140，BOE 与BOC互补，OM 平分 BOE，且CONNOM 23.求COM 和NOE 的度数图 5113方法点拨求角时，常用到：1将未知角转化成两个
5、已知角的和或差；2对顶角相等或邻补角互补；3等角(或同角)的余角( 或补角) 相等；4角平分线的性质；5有关比例问题常用方程解决.16图 5114 是某墙角的示意图，为了测量底面内角ABC 的大小，采用了在院外画线，测量后得到其大小的方法请你设计两种测量方案图 511417.观察图 5115 中的图形，寻找对顶角(不含平角) ：(1)两条直线相交(如图)，图中共有_对对顶角；(2)三条直线相交于一点(如图 )，图中共有_对对顶角；(3)四条直线相交于一点(如图 )，图中共有_对对顶角；(4)研究(1)(3) 小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有 n 条直线相交于一点，则可构成_对对顶角
6、；(5)若有 2019 条直线相交于一点，则可构成_对对顶角图 5115解题突破本题可通过平移的方法，把 n 条直线相交于一点构成的对顶角问题转化为 n 条直线相交最多有多少个交点的问题( 即 n 条直线两两相交) 因为每个交点处有两对对顶角，所以对顶角的对数是交点个数的 2 倍.18.两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”( 如图5116) 现在平面上有若干条直线，它们两两相交并且“夹角” 只能是 30，60或 90，问：平面上最多有多少条直线？当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是多少？图 5116解题突破将若干条直线两两相交的图形先转化成若干条直线交于一点的
7、图形，按“夹角”定义看能画出多少条直线.典题讲评与答案详析1D 2.C3解：由邻补角的性质，得AOCAOD180.由AOCAOD12，得 AOD 2AOC，AOC 2AOC180，解得AOC60. 由对顶角相等，得BODAOC60.4B 解析1 是直线 AB，EF 相交于点 O 形成的角，所以它的邻补角与直线 CD无关，即它的邻补角是BOE 或AOF.5D 解析 把直角的一边反向延长，可得这个直角的邻补角互补的两个角不一定是邻补角，但邻补角一定互补若一个角是锐角，则它的邻补角是钝角且大于这个锐角；若一个角是直角，则它的邻补角等于它本身；若一个角是钝角，则它的邻补角是锐角且小于这个钝角6C 解析
8、 设AOBx ，则BOC180x. 又因为 AOB 比BOC 大 18，所以AOBBOC 18，即 x(180x)18 ，解得 x99.7140 解析 由题意，得2 2180 ，解得2140.278C 解析 由对顶角相等，可知 123 正好是一个平角的度数9120 解析 由对顶角相等，可得 2x403x ，解得 x40，所以BOC120.10对顶角相等11B 解析 因为BOF140，所以AOF180 14040.因为BOC130，所以AOC50.因为 OE 是AOC 的平分线，所以AOEEOC25，所以EOFAOE AOF65.1290 解析 因为 OD，OE 分别是AOC，BOC 的平分线，
9、所以COD AOC，COE BOC.因为BOCAOC180，所以COECOD 12 12(BOC AOC)90.121362 解析 由AOE BOE 180，OF 平分AOE，DOEBOD ，可得DOF COF 90.又因为AOC28，所以BODDOEAOC28，所以EOFAOF62.14解：因为 OC 平分AOF，AOF40 ，所以AOC AOF20，所以 BOD 90.12因为EOB90，所以EODEOBBOD70.15解：如图，因为140，所以 640.因为6BOC180，BOE 与BOC 互补，所以6BOE40，所以BOC140，所以COE100.因为 OM 平分 BOE，所以2320
10、，所以COM120.因为CONNOM23，所以NOM120 72，35所以NOE7220 52.16解：方案一：如图所示，延长 AB，量出CBD 的度数由邻补角的定义，可得ABC 180CBD(也可延长 CB)方案二：如图所示，分别延长 AB，CB，量出DBE 的度数，由对顶角相等，可得ABC DBE .17(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n1) (5)4074342解析 图中有两条直线，共有 2 对对顶角；图中有三条直线，我们可以把直线通过平移，得到右图，三条直线相交最多有 3 个交点，故共有 6 对对顶角；以此类推，图中有四条直线相交，最多有 6( 个)交点，故共有 12 对对顶
11、角n 条直线相交，最多342有 个交点，故共有 n(n1) 对对顶角故若有 2019 条直线相交于一点，则可构成n（ n 1）2201920184074342( 对)对顶角18解：因为“夹角” 只能是 30，60或 90，其均为 30的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转 30画下一条直线，这样就能够保证每两条直线的“夹角”为 30的倍数，即为30， 60或 90.因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现两条直线平行的情况，在画出 6 条直线时，直线旋转了 5 次，530150，若再画出第 7 条直线，则旋转 6 次，630180，这样第 7 条直线就与第 1 条直线平行或重合如图：所以平
12、面上最多有六条直线第 2 条至第 6 条直线与第 1 条直线的“夹角”的和是 30 60906030270，第 3 条至第 6 条直线与第 2 条直线的“夹角”的和是 270 30240；第 4 条至第 6 条直线与第 3 条直线的“夹角”的和是 270 3060180；第 5 条和第 6 条直线与第 4 条直线的“夹角”的和是 60 3090；第 6 条直线与第 5 条直线的“夹角”的和是 30，则 270 2401809030810.即当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是 810.【关键问答】(1)有公共顶点；(2) 其中一边为公共边，另一边互为反向延长线；(3)两个邻补角的和为 180.(1)有公共顶点；(2) 角的两边分别互为反向延长线；(3)对顶角相等(1)互为邻补角的两个角的和为 180；(2)对顶角相等