1、第 6 讲 圆1、 选填题【2018 昌平二模】1.如图，在圆 O 的内接四边形 ABCD 中，AB=3 ，AD =5，BAD =60，点 C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是 ODCBA【答案】 83【2018 朝阳二模】2如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点 D 在圆 O 上，弧BD=弧 CD，AB= 10，AC=6 ，连接 OD 交 BC 于点 E，DE= 【答案】2【2018 房山二模】3. 如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，连结 OC，若OC=5，CD=8，则 AE= .OA BCDE【答案】2 ;【2018海淀二模】4如图，圆 的弦 ， ， ，
2、中最短的是OGHEFCDABA . B. GHC. D. CDABOHG FE DC BA【答案】A【2018 石景山二模】5如图， O 的半径为 2，切线 AB 的长为 ，23点 P 是O 上的动点，则 AP 的长的取值范围是_ABO【答案】 26P【2018西城二模】6. 如图，AB 为O 的直径，AC 与O 相切于点 A，弦 BDOC.若，则DOC= 3C【答案】54【2018 东城二模】7. 如图，在ABC 中，AB=AC ，BC=8. 是ABC 的外接圆，其Oe半径为 5. 若点 A 在优弧 BC 上，则 的值为_. tanABC【答案】2 【2018海淀二模】8如图， 是 的直径，
3、 是 上一点， ，ABOC6OA，则图中阴影部分的面积为 30BOC BA【答案】 6【2018西城二模】9. 如图，等边三角形 ABC 内接于O，若O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积等于 【答案】 34【2018 朝阳二模】10.O 是一个正 n 边形的外接圆，若O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，则 n 的值为（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】D【2018 东城二模】11. 在平面直角坐标系 中，若点 在 内，则 的半xOy3,4POe径 的取值范围是rA. B. C. D. 0 3r 40r 5r 5【答案】D2、 解答题【2018 昌平二模】1. 如图， 是 的直径
4、，弦 于点 ，过点 的切线ABOCDABEC交 的延长线于点 ，连接 DFABF（1 ）求证：DF 是 的切线； （2 ）连接 ，若 =30， ，求 的长C2DFCEOBA【答案】（1）证明：连接 ODCF 是O 的切线OCF=90 1 分OCD+ DCF= 90直径 AB弦 CD o(sup5( )o(sup5( )CE=ED ， 即 OF 为 CD 的垂直平分线 CF=DFCDF=DCF 2 分EOCBA FDOC=OD，CDO= OCDCDO + CDB= OCD+DCF= 90ODDFDF 是O 的切线3 分（2）解：连接 ODOCF=90, BCF=30OCB=60OC=OBOCB
5、为等边三角形，COB=604 分CFO=30FO=2OC=2OBFB=OB= OC =25 分在直角三角形 OCE 中，CEO= 90COE= 603sin2CEOCF CD=2 CF 6 分3【2018 朝阳二模】2. AB 为 O 直径，C 为O 上的一点，过点 C 的切线与 AB 的延长线相交于点 D，CA=CD.（1）连接 BC，求证：BC=OB；（2）E 是 AB 中点，连接 CE，BE，若 BE=2，求 CE 的长.【答案】 （1）证明：连接 OC.AB 为 O 直径，ACB90. 1 分CD 为O 切线OCD90 . 2 分ACODCB90 OCBCA=CD，CADD.COBCB
6、O.OC= BC.OB= BC. 3 分（2 ）解：连接 AE，过点 B 作 BFCE 于点 F.E 是 AB 中点AE=BE=2. AB 为 O 直径，AEB90 .ECB BAE= 45， .2AB .21CB .F .3E .5 分1C【2018 东城二模】3 如图， AB 为 的直径，直线 于点 .点 C 在 上，OABMAOA分别连接 ， ，且 的延长线交 于点 . 为 的切线交 于点 F.BDCFB（1 ）求证： ；CFD（2 ）连接 . 若 ， ，O106BC求线段 的长.【答案】（1）证明： 是 的直径，ABO . 90C .D .F 是 的直径， ，ABMBAMB 是 的切线
7、. O 是 的切线，C .F .=B ,90FCBD .= . -3 分 （2）由（1）可知， 是直角三角形，在 中， ， ，ABC RtABC =106BC根据勾股定理求得 .8在 和 中，Rt tDAB， ， . tC t .D .108A .25由（1）知， ， ，=CFDB . ，AO 是 的中位线. -5 分 1254FD【2018 房山二模】 4. 如图， ABC内接于O，AB=AC，CO 的延长线交AB于点D（1）求证：AO 平分BAC；（2）若 BC=6，sin BAC= ，求 AC 和 CD 的长35备 用 图DCDCO OAB AB【答案】解：（1）证明：如图，延长 AO
8、交 BC 于 H，连接 BO.AB= AC,OB=OCA、O 在线段 BC 的中垂线上AO BC又AB= ACAO 平分BAC 2（2）如图，过点 D 作 DKAO 于 K由（1）知 AOBC，OB =OC,BC=6BH=CH= ,COH=12BC=3 12 BOCBAC=12 BOCCOH=BAC在 RtCOH 中，OHC=90，sin COH=HCCOCH=3sinCOH =3CO= 35CO=AO =53CH=3, 24HAH=AO+ OH=9,tanC OH= tanD OK=34在 RtACH 中， AHC=90，AH=9,CH=3tanCAH= , 4CHAH= 13 2310由（
9、1）知COH= B OH, tanBAH= tanCAH=13设 DK=3a，在 RtADK 中，tanBAH= ,在 RtDOK 中，tan D OK=13 34OK=4 a, DO=5 a, AK=9 aOA=13 a =5a = ,DO= ,CD=OC+OD= 5513 2513 9013AC=3 , CD=109013【2018 丰台二模】5如图，O 中，AB 是O 的直径，G 为弦 AE 的中点，连接OG 并延长交O 于点 D，连接 BD 交 AE 于点 F，延长 AE 至点 C，使得 FC = BC，连接 BC. （1）求证：BC 是O 的切线；（2）O 的半径为 5， ，求 FD
10、 的长3tan4ADEGOFA CB【答案】（1）证明：G 为弦 AE 的中点，ODAE. .1 分DGC=90.D +DFG =90.FC =BC，12. DFG =1，DFG2.OD=OB，D3.321DEGOFA CB3 +2=90. ABC 90.即 CBAB.BC 是O 的切线. .2 分（2 ）解：OA=5，tanA= ， 34在 RtAGO 中，AGO90，OG =3，AG =4.OD=5，DG=2.AB =2OA=10，在 RtABC 中，ABC90，BC = ，AC= .152FC =BC= . .在 RtDGF 中，FD= . 152GFAC55 分（其他证法或解法相应给分
11、.）【2018海淀二模】6如图， 是 的直径， 是 的中点，弦 于点ABOeMACDAB，过点 作 交 的延长线于点 .MDECE（1）连接 ，则 = ；A（2）求证： 与 相切；e（3）点 在 上， ， 交 于点 .若 ，求 的长.FB45FDABN3DEFN【答案】23解：（1） 60 ； （2）连接 ，OD ， 是 的直径，CABe . M 是 的中点，ONMF EDCBAONMFEDCBA .AMO又 ，CD . . .AO ，DEC .90 .1890 .O 与 相切 DE（3）连接 ， ，CFN 于 ，AM 是 中点. .D ，45CF .N .90 .由（1）可知 .6AOD .
12、302C在 中， ， ， ，Rt E930ECD .6sin在 中， ， ， ，t ND45N6 . i4532C由（1）知 ，10AO .806FC在 中， ， ， ，Rt N9F6N32C tan60ONMFEDCBA【2018 石景山二模】7如图，在 中， ，点 是 边上一点，以ABC90DAB为直径的 与边 相切于点 ，与边 交于点 ，过点 作 BDOEFEH于点 ，连接 AH（1）求证： ；E（2）若 ， ，求 的长4BC2sin3ADFHCEODBA【答案】 （1）证明:连接 E 与边 相切AC O 90 1 分EB C ， O BE HA 2 分CFHEODBA（2）解：在 Rt
13、 中， ， ，AC42sin3BCA 3 分6B OEBC ，即 A64OB解得, 4 分125 5 分65ADB【2018西城二模】8如图， AB 是O 的直径，C 是圆上一点，弦 CDAB 于点 E，且DC=AD过点 A 作O 的切线，过点 C 作 DA 的平行线，两直线交于点 F，FC 的延长线交 AB 的延长线于点 G.（1）求证：FG 与O 相切；（2）连接 EF，求 的值.tanEF【答案】（1）证明：如图 6，连接 OC，AC . AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E， CE=DE，AD=AC. DC=AD， DC=AD= AC . ACD 为等边三角形 D =DCA=DAC =60 1=30 FGDA ， 180CFDCF=120OCF=90图 6 FGOC FG 与O 相切 3分（2）解：如图 6，作 EHFG 于点 H设 CE= a，则 DE= a，AD=2a AF 与O 相切， AFAG 又 DCAG，可得 AFDC又 FGDA， 四边形 AFCD 为平行四边形 DC =AD ，AD= 2a， 四边形 AFCD 为菱形 AF=FC=AD=2 a，AFC=D = 60由（1）得DCG= 60 ， ，3sin602EHCacos602CHE 52FHCa 在 RtEFH 中，EHF= 90 ， 5 分3tan52EFa