1、第 5 讲 四边形【2018西城二模】1. 如图，在矩形 ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH. 若 AB=8，AD=6，则四边形 EFGH 的周长等于 【答案】20【2018 昌平二模】2.如图，已知 ACB 中，ACB=90，CE 是ACB 的中线，分别过点A、点 C 作 CE 和 AB 的平行线，交于点 D（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；（2 ）若 CE=4，且DAE=60 ，求ACB 的面积DECBA【答案】(1)证明：AD/CE，CD/AE 四边形 AECD 为平行四边形 1 分ACB=90，CE 是ACB 的中线CE=AE 2 分四边形 ADCE 是菱形（2
2、）解：CE=4，AE= CE=EB AB=8，AE=4 四边形 ADCE 是菱形,DAE=60CAE=30 3 分在 RtABC 中，ACB=90，CAB=30， AB=8， 3cos2ACB14BADECBAAC = 4 分43 5 分1832ABCS【2018 朝阳二模】3.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CD到 E，使 DE=CD，连接 AE（1）求证：四边形 ABDE 是平行四边形；（2）连接 OE，若ABC=60，且 AD=DE=4，求 OE 的长【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD，AB CD .DE CD，AB D
3、E.四边形 ABDE 是平行四边形. 2 分（2 ）解：AD DE4，ADAB4. ABCD 是菱形. 3 分AB BC，ACBD ，BO ，ABO .BD21ABC21又ABC 60，ABO 30.在 Rt ABO 中， .2sinABO32cosABOBD .34四边形 ABDE 是平行四边形，AEBD， .34BDAE又ACBD ，ACAE.在 Rt AOE 中， . 5 分1322AOE【2018 东城二模】4如图，在菱形 ABCD 中， ，点 E 在对角线 BD 上. 将线BD段 CE 绕点 C 顺时针旋转 ，得到 CF，连接 DF. （1 ）求证：BE =DF；（2 ）连接 AC，
4、 若 EB=EC ，求证： . ACF【答案】(1) 证明：四边形 ABCD 是菱形， ， .=BCDABCD ，EF . .线段 由线段 绕点 顺时针旋转得到， CC .=EF在 和 中，B DCEF， ， . B SA -2 分=.D(2) 解：四边形 ABCD 是菱形， ， .AC CBD .+90BE ，= .由（1）可知， ， =EBCDF .+90AEBCA .90 . -5 分 【2018 房山二模】5. 已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AD=CD，E 是对角线BD 上一点，且 EA=EC（1 ）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2 ）如果BDC=30，DE=2，EC
5、 =3，求 CD 的长A DCB E【答案】解：（1）AD= CD,EA=EC,DE=DEADECDEADE=CDEADBCADB=DBCDBC=BDCBC=CDAD=BC又ADBC四边形 ABCD 是平行四边形2AD=CD四边形 ABCD 是菱形3（2）作 EFCD 于 FBDC=30，DE=2EF=1,DF = 43CE=3CF=2 2CD=2 + 52 3【2018 丰台二模】6如图，BD 是ABC 的角平分线，过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，DFAB 交 BC 于点 F（1）求证：四边形 BEDF 为菱形；（2）如果A = 90，C = 30 ，BD = 12，求菱形 BE
6、DF 的面积 FDE CBA【答案】 （1）证明：DEBC，DFAB，四边形 BEDF 为平行四边形1 分1= 3.BD 是 ABC 的角平分线，1=2.2= 3. BF=DF.四边形 BEDF 为菱形.2 分（2）解：过点 D 作 DGBC 于点 G，则BGD =90.A=90，C=30 ，ABC =60.由（1）知，BF=DF，2=30，DF AB ，DFG =ABC=60.BD=12，在 RtBDG 中，DG= 6.在 RtFDG 中，DF= . 4 分43BF= DF= . S 菱形 BEDF . 5 分2BFDG（其他证法相应给分）【2018海淀二模】7如图，在四边形 中， ， 交
7、于 ， 是ACBDACGE的中点，连接 并延长，交 于点 ， 恰好是 的中点.BDAE（1 ）求 的值；G（2 ）若 ，求证：四边形 是矩形. CBFEGFAB CD【答案】 （1）解：G321AB CEDF ABCD， EGFAB CD ABE =EDC . BEA =DEF， ABE FDE. .ABEDF E 是 BD 的中点， BE=DE. AB=DF. F 是 CD 的中点， CF=FD. CD=2AB. ABE =EDC ，AGB=CGD， ABGCDG. . 12BGADC（2）证明： ABCF，AB= CF， 四边形 ABCF 是平行四边形. CE=BE，BE=DE， CE=E
8、D. CF=FD， EF 垂直平分 CD. CFA=90. 四边形 是矩形. ABCF【2018 石景山二模】8如图， 在四边形 中， ， ， 是ABCD45CDBE边的垂直平分线，连接 E（1 ）求证： ；D（2 ）若 ， ，求 的长8AB10CCDEBA【答案】 （1）证明： 是 边的垂直平分线，A ， ， 1 分D4E ，45 ，B又 ， ，C . E . 2 分45（2）解：过点 作 于点 ，HA可得， ，设 ，则 ，xBx在 中，RtC， 3 分22即 ，(4)10解之， ， （不合题意，舍） ， 4 分13x2即 .EH . 5 分C【2018西城二模】9. 如图，在 RtABC
9、中， ，CDAB 于点 D，BEAB90AB于点 B，B E=CD，连接 CE，DE（1）求证：四边形 CDBE 为矩形；（2）若 AC=2， ，求 DE 的长1tan2A【答案】（1）证明：如图 2. CDAB 于点 D，BE AB 于点 B， 90ABE CDBE 1 分HCDEBA又 BE=CD， 四边形 CDBE 为平行四边形2 分又 ，90 四边形 CDBE 为矩形 3 分（2）解：DE=BC=4【2018海淀二模】10如图，四边形 中， ， 平分 ，ABD90CBDAC， 为 上一点， ， ，求 的长3AEB5EDCBA【答案】 证明： ， ， ，3A4E5 . 22ADE . 90 . B . C . D 平分 ，A . ，3 .CD图 2