1、课时训练(三十三) 弧长和扇形面积(限时:40 分钟)|考场过关 |1.在圆心角为 120的扇形 AOB 中,半径 OA=6 cm,则扇形 AOB 的面积是 ( )A.6 cm2 B.8 cm2 C.12 cm2 D.24 cm22.如图 K33-1,AB 为O 的直径,点 C 在O 上,若OCA=50,AB=4,则弧 BC 的长为 ( )图 K33-1A. B. C. D.103 109 59 5183.2017淄博 如图 K33-2,半圆的直径 BC 恰与等腰直角三角形 ABC 的一条直角边完全重合,若 BC=4,则图中阴影部分的面积是 ( )图 K33-2A.2+ B.2+2 C.4+
2、D.2+44.2018益阳 如图 K33-3,正方形 ABCD 内接于圆 O,AB=4,则图中阴影部分的面积是 ( )图 K33-3A.4-16 B.8-16C.16-32 D.32-165.2017安顺 如图 K33-4,一块含有 30角的直角三角板 ABC,在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 ABC的位置,若 BC=12 cm,则顶点 A 从开始到结束所经过的路径长为 cm. 图 K33-46.2018青岛 如图 K33-5,RtABC 中,B=90,C=30,O 为 AC 上一点,OA=2,以 O 为圆心,OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E,与 AB 相交于点 F,连接 OE,
3、OF,则图中阴影部分的面积是 . 图 K33-57.2017新疆生产建设兵团 如图 K33-6,AC 为O 的直径,B 为O 上一点,ACB= 30,延长 CB 至点 D,使得 CB=BD,过点 D 作 DEAC,垂足 E 在 CA 的延长线上,连接 BE.(1)求证:BE 是O 的切线;(2)当 BE=3 时,求图中阴影部分的面积.图 K33-6|能力提升 |8.2017资阳 如图 K33-7,在 RtABC 中,ACB= 90,AC=4,BC=3,将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 30后得到ADE,则图中阴影部分的面积为 ( )图 K33-7A. B. C. D. 1312 34 43
4、 25129.如图 K33-8,在平面直角坐标系 xOy 中,以点 O 为圆心的圆分别交 x 轴的正半轴 于点 M,交 y 轴的正半轴于点 N,劣弧的长为 ,直线 y=- x+4 与 x轴、y 轴分别交于点 A,B. 65 43(1)求证:直线 AB 与O 相切;(2)求图中所示的阴影部分的面积( 结果用 表示).图 K33-8|思维拓展 |10.2018扬州 如图 K33-9,在 ABC 中,AB=AC,AOBC 于点 O,OEAB 于点 E,以点 O 为圆心,OE 为半径作半圆,交AO 于点 F.(1)求证:AC 是 O 的切线;(2)若点 F 是 AO 的中点,OE=3,求图中阴影部分的
5、面积;(3)在(2)的条件下,点 P 是 BC 边上的动点,当 PE+PF 取最小值时 ,直接写出 BP 的长.图 K33-9参考答案1.C 2.B3.A 解析 如图 ,设半圆圆心为 O,AB 与半圆 O 交于点 D.连接 DO.ABC 为等腰直角三角形,CBA=45.DOC= 90.利用分割的方法,得到阴影部分的面积由三角形 BOD 的面积和扇形 COD 的面积组成,所以阴影部分的面积= 22+ 22=2+.12 903604.B 解析 如图,连接 OA,OB.四边形 ABCD 为正方形,AOB= 90.设 OA=OB=r,则 r2+r2=42.解得:r=2 (负值已舍 ).2S 阴影 =S
6、O -S 正方形 ABCD=(2 )2-442=8-16.故选择 B.5.16 解析 本题主要考查旋转的性质及弧长公式,熟练掌握旋转的性质得出点 A 所经过的路径即为以点 C 为圆心、CA 为半径的圆中圆心角为 120所对的弧是解题的关键.BAC=30,ABC=90, 且 BC=12,ACA= BAC+ ABC=120,AC= 2BC=24 cm,由题意知点 A 所经过的路径是以点 C 为圆心、CA 为半径的圆中圆心角为 120所对的弧,其路径长为 =16(cm).120241806. - 解析 如图,作 OGAB 于 G, B=90,C=30,A=60.OA=OF,OAF 是等边三角形,73
7、243AF=OA=2,AG= 1,AOF= 60,OG= .BC 是O 的切线,OEBC,四边形 OEBG 是矩形.3BG=OE=2,AB=3.tan C= ,即 = ,BC=3 .S 阴影 = 33 - 2 - = - .333 3 12 312 312022360732437.解析 (1)连接 OB,由AOB 是等边三角形可得OBA=60,由 BE 是直角三角形斜边上的中线,可得ABE=30,从而可得 OBBE.(2)ABC 是直角三角形,阴影部分的面积=S 半圆 ABC-SABC.解:(1)证明:连接 OB,ACB=30,AOB= 2ACB=60,又OA=OB, AOB 是等边三角形,O
8、AB= OBA=60 .DEAC,DEC=90,在 RtEDC 中,CB=BD,EB= DC=CB,BEC=ACB=30 .12OAB 是AEB 的外角,OAB= BEC+ ABE,ABE=OAB-BEC=30,OBA+ ABE=90, 即 OBBE,BE 是O 的切线 .(2)AC 为O 的直径,ABC=90 .在 RtABC 中,BC=BE=3,tan C= ,AB=BCtanC=3 = ,AC= = =2 ,33 3 2+2 12 3阴影部分的面积=S 半圆 ABC-SABC= 2- ABBC= - = (- ).12 2 12 3232332 38.D 解析 由勾股定理,得 AB= =
9、5.由旋转的性质可知 ABCADE,且DAB=30.S 阴影 =SABC+S 扇形2+2ADB-SADE=S 扇形 ADB= = .故选 D.305236025129.解:(1)证明:作 OCAB 于点 C. = = ,9018065r= .125对于直线 y=- x+4,43当 x=0 时,y= 4,则 OB=4.当 y=0 时,x= 3,则 OA=3.在 RtAOB 中,AB= =5.32+42S AOB= OC5= 34,OC= ,12 12 125OC=r,直线 AB 与O 相切.(2)S AOB= 34=6,12S 扇形 MON= 2= ,90360125 3625S 阴影 =6-
10、.362510.解:(1)证明:作 OHA C 于 H,如图.AB=AC,AO BC 于点 O,AO 平分BAC.OEAB,OHAC,OH=OE,AC 是O 的切线.(2)点 F 是 AO 的中点,AO=2OF=6,而 OE=3,AEO=90,OAE= 30,AOE=60, AE= OE=3 .3 3图中阴影部分的面积=S AOE-S 扇形 EOF= 33 - = .12 3603236093-32(3) .提示:作 点 F 关于 BC 的对称点 F,连接 EF交 BC 于 P,如图.3PF=PF,PE+PF=PE+PF=EF,此时 EP+FP 最小.OF=OF=OE,F=OEF,而AOE= F+OEF= 60,F=30,F=EAF,EF=EA=3 ,即 PE+PF 的最小值为 3 .3 3在 RtOPF中,OP= OF= .33 3在 RtABO 中,OB= OA= 6=2 .33 33 3BP=2 - = ,即当 PE+PF 取最小值 时,BP 的长为 .3 3 3 3