1、课时训练(三十) 正方形(限时:50 分钟)|考场过关 |1.不能判定四边形是正方形的是 ( )A.对角线互相垂直且相等的四边形 B.对角线互相垂直的矩形C.对角线相等的菱形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形2.如图 K30-1,正方形 ABCD 的边长为 6,以 CD 为一边作等边三角形 DCE,点 E 在正方形内部,则点 E 到 CD 的距离是 ( )图 K30-1A.6 B.3 C.2 D.23 33.如图 K30-2,边长分别为 4 和 8 的两个正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一起,连接 BD 并延长交 FG 于点 P,则 DP 等于( )图 K30-2A.2 B.4 C
2、.2 D.12 24.2017泰安 如图 K30-3,正方形 ABCD 中,M 为 BC 上一点,MEAM,ME 交 AD 的延长线于点 E.若 AB=12,BM=5,则DE 的长为 ( )图 K30-3A.18 B.1095C. D.965 2535.2017毕节 如图 K30-4,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,CD 上,且EAF=45,将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90,使点 E 落在点 E处,则下列判断不正确的是 ( )图 K30-4A.AEE是等腰直角三角形 B.AF 垂直平分 EEC.EECFAD D.AEF 是等腰三角形6.2017黔东南州 如图 K30-5,
3、正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点,FE AB,AF= 2AE,FC 交 BD 于 O,则 DOC 的度数为 ( )图 K30-5A.60 B.67.5 C.75 D.547.如图 K30-6,BD 为正方形 ABCD 的对角线,BE 平分DBC,交 DC 于点 E,将BCE 绕点 C 顺时针旋转 90得到DCF.若 CE=1 cm,则 BF= cm. 图 K30-68.2017天津 如图 K30-7,正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1,点 F,G 分别在边 BC,CD 上,P 为 AE 的中点,连接 PG,则 PG 的长为 . 图 K30-79.如图 K30
4、-8,点 E 是正方形 ABCD 外一点,点 F 是线段 AE 上一点,EBF 是等腰直角三角形,其中EBF=90 ,连接CE,CF.(1)求证:ABFCBE;(2)判断CEF 的形状,并说明理由.图 K30-8|能力提升 |10.2018桂林 如图 K30-9,在正方形 ABCD 中,AB=3,点 M 在 CD 边上,且 DM=1,AEM 与ADM 关于 AM 所在的直线对称,将ADM 绕点 A 按顺时针方向旋转 90得到ABF,连接 EF,则线段 EF 的长为 ( )图 K30-9A.3 B.2 C. D.3 13 1511.2018青岛 如图 K30-10,已知正方形 ABCD 的边长为
5、 5,点 E,F 分别在 AD,DC 上,AE=DF=2,BE 与 AF 相交于点 G,点 H 为 BF 的中点 ,连接 GH,则 GH 的长为 . 图 K30-10|思维拓展 |12.2017贵港 如图 K30-11,在正方形 ABCD 中,O 是对角线 AC 与 BD 的交点,M 是 BC 边上的动点(点 M 不与 B,C 重合),CNDM,CN 与 AB 交于点 N,连接 OM,ON,MN.下列五个结论: CNBDMC;CON DOM; OMNOAD; AN2+CM2=MN2;若 AB=2,则 SOMN 的最小值是 ,其中正确结论的个数是 ( )12图 K30-11A.2 B.3 C.4
6、 D.513.如图 K30-12,正方形 ABCD 中,BC= 2,点 M 是边 AB 的中点 ,连接 DM,DM 与 AC 交于点 P,点 E 在 DC 上,点 F 在 DP 上,且DFE= 45,若 PF= ,则 CE= . 56图 K30-12参考答案1.A 2.B 3.B4.B 解析 在 RtABM 中,根据勾股定理得 AM= = =13,因为四边形 ABCD 为正方形,所以2+2 122+52B=90, AD=AB=12.因为 MEMA,所以AME=90.所以AME=B.因为 ADBC ,所以EAM=AMB.所以ABM EMA ,所以 = ,即 = ,所以 AE= ,51313 16
7、95所以 DE=AE-AD= -12= .1695 10955.D 解析 由“四边形 ABCD 是正方形 ”,可得BAD=B=C= ADC=90,根据旋转的性质,可得BAE=DAE,AE=AE,EAE=90, 所以AEE是等腰直角三角形 ,故 A 正确;由 EAF=45,BAD= 90可知BAE+DAF= 45,又因为BAE=DAE ,所以FAE= 45,根据等腰直角三角形的底角为 45 度可知AEE=45, 因此AFEE,依据“ 等腰三角形三线合一” 的性质可 知 AF 垂直平分 EE,故 B 正确;由AFE+DAF=90,AFE+ EEF=90,可得DAF=EEF,又因为ADF=C=90,
8、所以EE CFAD,故 C 正确.故选 D.6.A 解析 连接 BF,E 为 AB 的中点,FEAB ,EF 垂直平分 AB,AF=BF.AF=2AE,AF=AB,AF=BF=AB ,ABF 为等边三角形,FBA=60,FBC=150,又 BF=BC,FCB=BFC= 15,正方形 ABCD, DBC=45,根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和 ”,得DOC=15+45= 60.7.2+ 28. 解析 如图,延长 GE 交 AB 于点 N,过点 P 作 PMGN 于 M.由正方形的性质可知: AN=AB-BN=AB-5EF=2,NE=GN-GE=BC-FC=2.根据点 P 是 AE 的
9、中点及 PMAN ,可得 PM 为ANE 的中位线,所以ME= NE=1,PM= AN=1,因此 MG=2.在 RtPMG 中,根据勾股定理可得:PG= = .12 12 2+2 59.解:(1)证明: 四边形 ABCD 是正方形,AB=CB,ABC=90,EBF 是等腰直角三角形 ,其中 EBF=90,BE=BF,ABC-CBF= EBF-CBF,ABF=CBE.ABF CBE.(2)CEF 是直角三角形.理由如下:EBF 是等腰直角三角形 ,BFE=FEB=45,AFB=180-BFE= 135,又ABF CBE,CEB=AFB=135,CEF=CEB- FEB= 135-45=90,CE
10、F 是直角三角形.10.C 解析 如图,连接 BM,则由题意可得,ADMAEMABF,BAF= EAM ,BA=AE,AF=AM,BAF+BAE=EAM+BAE,即EAF=BAM,则在EAF 和BAM 中, EAFBAM(SAS), FE=BM ,又DM= 1,在正方形 AB CD 中,AB=3,CM=3-1=2,CB=3,=,=,=, C=90, BM= = = ,FE=BM= ,故选 C.2+2 32+22 13 1311. 解析 四边形 ABCD 是正方形,AB=AD=BC=CD=5,BAD=D=C= 90.又AE=DF , ABE342DAF,DAF=ABE ,ABE+BAG=90,B
11、GF= BGA=90.在 RtBCF 中,CF= 3,BF= = .在 Rt52+32 34BGF 中,点 H 为 BF 的中点,GH= BF= .12 34212.D 解析 正方形 ABCD 中,CD=BC,BCD= 90,BCN+DCN=90,又CNDM,CDM+DCN=90,BCN=CDM ,又CBN=DCM= 90,CNB DMC (ASA),故正确;根据CNB DMC,可得 CM=B N,又OCM=OBN=45, OC=OB,OCMOBN(SAS),OM=ON,COM=BON,DOC+ COM=COB+ BON,即DOM=CON,又DO=CO, CONDOM(SAS),故正确;BON
12、+BOM=COM+BOM=90,MON=90,即MON 是等腰直角三角形,又AOD 是等腰直 角三角形 ,OMNOAD,故正确 ;AB=BC,CM=BN,BM=AN,又RtBMN 中,BM 2+BN2=MN 2,AN 2+CM2=MN2,故正确;OCMOBN,四边形 BMON 的面积=BOC 的面积=1,即四边形 BMON 的面积是定值 1,当MNB 的面 积最大时,MNO 的面积最小,设 BN=x,则 BM=2-x,MNB 的面积= x(2-x)=- x2+x=- (x-1)2+ ,12 12 12 12当 x=1 时, MNB 的面积有最大值 ,此时 SOMN 的最小 值是 1- = ,故正确;12 1212综上所述,正确结论的个数是 5 个,故选 D.13. 解析 在 RtADM 中, AD=2,AM=1,76由勾股定理,得 DM= = ,2+2 5由 DCAM,得DPCMPA, = =2, DP= DM= . 23 235又PF= ,56DF=DP-PF= - = .235 56 52DFE= DCP= 45,EDF=PDC,DFEDCP , = ,即 = ,解得 DE= .2351252 56CE=DC-DE=2- = .5676