1、 高二 数 学期末 试题卷 第 1 页 共 4 页 2018 学年第一学期 高二 年级 期末 测试 数学学科试卷 说明： 本试卷分第 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150分； 考试时间 120分钟，不得使用计算器，请考生将所有题目的答案均写在答题卷上。 第 卷 （选择题 共 40 分） 一、 选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是 符合题目要求的。 ) 1 已知圆 C 的方程为 22( 2) ( 3) 2xy，则它的圆心和半径分别 为 A (2,3) ,2 B (2, 3) ,2 C (2,3) , 2 D (2, 3
2、) , 2 2 直线 3 1 0xy 的倾斜角为 A 23B3C 56D63对于 空间向量 (3,1,0)a ， ( , 3,1)xb ， 若 a b ，则 实数 x A 3 B 1 C 1 D 2 4 已知直线 2+ 0ax y a 在两坐标轴上的截距相等，则 实数 a A 1 B 1 C 2 或 1 D 2 或 1 5 对于实数 m ， “ 12m ” 是 “ 方程 22112xymm表示 双曲线 ” 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 若 ,xy满足约束条件 2 4 0,1 0,2 2 0,xyxyxy则 z x y A有最小值 2 ，最大值
3、3 B有最小值 2 ，无最大值 C有最大值 3 ，无最小值 D既无最小值，也无最大值 7 设,ab为两条不同的直线，,为两个不同的平面 A 若 a 不平行于 ，则在 内不存在 b ，使得 b 平行于 a B 若 a 不垂直于 ，则在 内不存在 b ，使得 b 垂直于 a C 若 不平行于 ，则在 内不存在 a ，使得 a 平行于 D 若 不垂直于 ，则在 内不存在 a ，使得 a 垂直于 高二 数 学期末 试题卷 第 2 页 共 4 页 8已知 两点 ( 2,0)M ， (2,0)N ， 若 直线 ( 3)y k x 上存在四个点 ( 1,2,3,4)iPi ， 使得 iMNP 是直 角三角形
4、 ，则 实数 k 的取值范围是 A ( 2,2) B44( , )55 C 44( , 0) (0, )55 D 2 5 2 5( , 0) (0 , )55 9. 已知双曲线 221 22: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab ， 222 22: 1 ( 0 , 0 )yxC m nmn ，若双曲线 1C , 2C 的渐近线方程均为 y kx ( 0k )， 且离心率分别为 1e ， 2e ，则 12ee 的最小值为 A 5 B 22 C 6 D 23 10 在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与 底面垂直 的四棱锥称之为 阳马 如图， 已知四棱锥 S ABCD 为 阳马 ， 且
5、=AB AD ， SD 底面 ABCD 若 E 是线段 AB 上的点 （不含端点） ，设 SE 与 AD 所成的角为 ， SE 与 底 面 ABCD 所成的 角为 ， 二面角 S AE D 的平面角为 ， 则 A B C D 第 卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题 (本大题共 7 小题 ， 单空 题 每题 4 分， 多空题每题 6 分 ， 共 36 分 。 ) 11 椭圆 222 15yx 的长轴长为 ， 左 顶点 的 坐标 为 12 命题 “ 若 整数 a ， b 都是 偶 数， 则 ab 是偶数 ” 的否命题可表示为 ， 这个 否命题 是 一个 命题 （可填：“ 真 ”，“ 假
6、”之一） 13 已知 圆 C ： 2240x y x a ， 则实数 a 的取值范围为 ；若圆 221xy与 圆 C 外切，则 a 的值 为 14 已知 AE 是长方体 ABCD EFGH 的一条棱， 则在这个长方体的十二条棱中，与 AE 异面且垂直的棱 共 有 条 15 已知双曲线 2213xym（ 0m ） 的 一个 焦点 为 1(5,0)F （设另一个为 2F ） ， P 是双曲线上的一点，若 1 9PF ，则 2PF （用数值表示） ADBCSE高二 数 学期末 试题卷 第 3 页 共 4 页 16 如图，在棱 长为 3 的 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D中，点 E 是
7、 BC 的中 点， P 是 平面 11CDDC 内 一点 ， 且满足 APD CPESS， 则线段1CP的长 度的取值范围为 17 已知 3,0A ， 3,0B 及两 直线 1l ： +1 0xy ， 2l ： 10xy ，作直线 3l 垂 直于 12ll、 ， 且 垂足分别为 CD、 ，则 CD ， AC CD DB的最小值为 三、解答题 (本大题共 5 小题，共 74 分。解答 题 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18 (本 题满分 14 分 )在平面直角坐标系中，已知 直线 l 经过直线 4 3 2 0xy 和 2 2 0xy 的交点 P ( )若 l 与直线 2 3 1 0x
8、y 垂直 ，求 直线 l 的 方程 ； ( )若 l 与圆 2220x x y 相切 ，求 直线 l 的 方程 19 (本 题满分 15 分 )如图， ，直线 a 与 b 分别 交 ， ， 于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F ( )求证： AB DEBC EF； ( )若 AB BC ， 2AD ， 7BE ， 4CF ， 求直线 AD 与 CF 所成的角 20 (本 题满分 15 分 ) 如图，在四棱锥 M ABCD 中， 平面 ABCD 平面 MCD ， 底面 ABCD 是正方形， 点 F 在线段 DM 上， 且 AF MC （ ）证明： MC 平面 ADM ； （） 若
9、2AB ， DM MC ， 且 直线 AF 与 平面 MBC 所成 的 角的余弦值 为 223 ，试确定 点 F 的 位置 B A C D A1 B1 C1 D1 P E 高二 数 学期末 试题卷 第 4 页 共 4 页 21 (本题满分 15 分 )已知抛物线 C ： 2 2 ( 0)x py p 的焦点为 F ， M 是抛物线 C 上位 于 第一象限内的任意一点， O 为坐标原点， 记 经过 ,MFO 三点的圆的圆心为 Q ， 且 点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 32 ( )求 点 Q 的纵坐标；（ 可 用 p 表示） ( )求 抛物线 C 的方程 ； ( )设 直线 :l 12y
10、kx与抛物线 C 有两个不同的交点 ,AB. 若点 M 的横坐标为 2 ,且 QAB的面积为 25， 求直线 l 的方程 22 （本题满分 15 分） 已知椭圆 E ： 22 1( 0 )xy abab 的 离心率为 22 ，直线 l ：22yx 与椭圆 E 相交 于 M ， N 两点， 点 P 是椭圆 E 上异于 M ， N 的任意一点， 若点 M 的横坐标为 2 ， 且 直线 l 外 的 一 点 Q 满足 ： MQ MP ， NQ NP （）求 椭圆 E 的方程； （ ）求点 Q 的轨迹； （ ）求 MNQ 面积 的 最大 值 高二数学答案 第 1 页 共 6 页 2018 学年第一学期
11、高二期末 测试卷 数学 学科 参考答案 及评分标准 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D C B D D B A 二、 填空题： 本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11 10， ( 1,0) ； 12若两个整数 a ， b 不 都是 偶 数 ，则 ab 不是偶数 ， 假 ； 13 ( ,4) ， 3 ； 14 4 ； 15 17 或 1 ； 16 3,7 ； 17. 2 ， 2 26 . 备注 ： 15 题缺一扣 1 分； 16 题中的 区间端点错暂不扣
12、分 。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。 18 ( )联立方程组 4 3 2 0,2 2 0,xyxy 解得 2,2,xy P的坐标为 2,2 -3 分 可设直线 l 的方程为 3 2 0xy ， -5 分 把 2,2xy 代入，解得 10 ， 所以直线 l 的方程为 3 2 10 0xy -7 分 ( )圆的标准方程为 2 211xy ，所以圆心为 1,0 ，半径为 1， -8 分 若直线 l 的斜率不存在，此时 2x ，满足条件； -10 分 若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 22y k x ， -11 分 圆心到直线 l 的距离22 11kd k ， 解得 34
13、k ， -13 分 所以直线 l 的方程为 3 4 2 0xy 或 2x -14 分 19 ( )连结 AF 交平面 于 G ， 连结 , , , ,AD BE CF BG EG. 因为 ， 平面 ACF BG ，平面 ACF CF ， 所以 BG CF ， 所以 AB AGBC GF -3 分 同理，由 可得 GE AD ， 所以 DE AGEF GF -6 分 所以 AB DEBC EF . -7 分 ( )因为 BG CF ， GE AD ， 所以 BGE （或其补角）就是 AD 与 CF 所成的角 ， -10 分 高二数学答案 第 2 页 共 6 页 因为 12AB BGAC CF，
14、12GF GEAF AD所以 2BG ， 1GE ， -12 分 由余弦定理 1 4 7 1c o s42BG E ， 120BGE ， -14 分 所以直线 AD 与 CF 所成的角为 60 -15 分 20 ( )平面 ABCD 平面 MCD ，平面 ABCD 平面 MCD CD ， AD CD ， AD 平面 ABCD ，所以 AD 平面 MCD ， -3 分 而 MC 平面 MCD ，所以 AD MC ， -5 分 又 AF MC ， ,AF AD 平面 ADM ，所以 MC 平面 ADM -6 分 ( )由 MC 平面 ADM 可知， MC MD ，所以 2MC MD ， -7 分
15、过 M 作 MO CD 交 CD 于 O ，易证 MO 平面 ABCD ， -8 分 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 2,0,0A ， 2,2,0B ， 0,2,0C ， 0,0,0D ， 0,1,1M ， 设 DF DM ( 0) ，则 0, ,F ， -10 分 所以 2, ,AF ， 2,0,0BC ， 2, 1,1BM ， 设平面 MBC 的一个法向量为 ,x y zn ，则由 0,0BCBM nn可得 2 0,2 0,xx y z 可取 0,1,1n ， -12 分 若直线 AF 与平面 MBC 所成角为 ， 则 22cos 3 ，所以 1sin3AFAF nn，即 -13 分
16、222 1324 ，解得 2 14 ， 12 ， 得 F 是 DM 的中点 -15 分 21 ( )设 11,Qx y ， 因为焦点 0,2pF及 MFO 的外 接圆圆心即为 Q ，所以 点 Q 的纵坐标为1 4py-2 分 高二数学答案 第 3 页 共 6 页 ( )因为 抛物线的准线方程为 2py ， 所以 34 2 2pp ，解得 2p ， 所以抛物线的方程为 2 4xy -5 分 ( )可知 2,1M ， 0,1F ， 0,0O ， 所以三角形 MFO 是直角三角形，其外接圆圆心在 MO 的中点上， 即 点 Q 的坐标为 11,2， -7 分 所以点 Q 到直线 AB 的距离为21kk
17、 ， -9 分 设 11,Ax y ， 22,B x y ， 联立方程组 2 4,1,2xyy kx 得 2 4 2 0x kx ， 所以 12124,2,x x kxx -11 分 221 1 6 8AB k k ， -12 分 从而 221 4 2 2 52Q A BS A B d k k , -13 分 解得 2 2k ，即 2k ，所以直线 l 的方程为 12 2yx -15 分 22 （）可知 2,1M ，又 M 在 E 上，所以221 12ab，另 22 22c a be aa 所以可 解得 2a ， 2 2b ， 得 E 的方程为 22142xy -4 分 （ ）由直线 l 与椭
18、圆 E 相交 于 M ， N 两点，知 M ， N 关于原点对称，所以 2, 1N 设 点 ,Qxy ， 00,P x y ，则 2 , 1MQ x y ， 002 , 1M P x y ， 2 , 1NQ x y ， 002 , 1NP x y -6 分 高二数学答案 第 4 页 共 6 页 由 MQ MP ， NQ NP ，得 002 2 1 1 0 ,2 2 1 1 0 ,x x y yx x y y 即 002 2 1 1 ,2 2 1 1 ,x x y yx x y y -7 分 两式相乘得 2 2 2 2002 2 1 1x x y y -8 分 又因为点 00,P x y 在 E
19、 上，所以 2200142xy，即 220042xy ， 代入 2 2 2 2002 2 1 1x x y y 中， 即 2202 1 2yx 22011yy 当 20 10y 时，得 2225xy； -9 分 当 20 10y 时，则 得 2, 1P 或 2,1 ， 此时 2,1Q 或 2, 1，也满足方程 2225xy -10 分 若点 P 与点 M 重合，即 2,1P 时， 由222 3,25yxxy解得 2, 1Q 或 2 ,22Q 若点 P 与点 N 重合时，同理可得 2,1Q 或 2 ,22Q 故所求 点 Q 的轨迹是 ： 椭圆 2225xy除去四个点 2, 1 , 2,22, 2
20、,1 , 2,22的曲线 -11 分 高二数学答案 第 5 页 共 6 页 （ ） 因为点 ,Qxy 到直线 l ： 22yx 的距离 23xyd ， 且易知 23MN ， 所以 MNQ 的面积 ： 21 2 3 22 3M N QxyS x y -13 分 22xy 222 2 2x y xy 222 2 2x y x y 222 2 2 2yx y x 22 2 2242yx y x 22 552yx 225 22 xy 5 5 2522 . 当且仅当 22yx即 2,22xy或 2 ,22xy时 , 所以 max522MNQS . -15 分 【 22（ ） 的另外部分解法要点供阅卷时参
21、考】 （一）几何相切法：设 l 的平行直线 l ： 22y x m ，由222 ,225y x mxy 得 225 2 5 02 x m x m ，由 0 得 52m 可得此时 椭圆 2225xy与 l 相切时的切点为 2,22， 2 ,22 高二数学答案 第 6 页 共 6 页 易得 max522MNQS （因为 23MN ） . （二）三角换元法：由 Q 的轨迹方程 2225xy设 5 s in , 5 c o s2xy，代入 23dxy 5 s in 2 0 c o s6， max56d 易得 max522MNQS （因为 23MN ） . 【 考试范围 】 ：（一）必修 2中的第二、三、四章（第二章点、直线、平面之间的位置关系、第三章直 线与方程，第四章圆与方程）； （二）选修 2-1（第一章常用逻辑用语，第二章圆锥曲线与方程，第三章空间向量与立体几何，含 2.5直线与圆锥曲线的位置关系）； （三）必修 5中的“ 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”。 2019、 1