1、课时训练(十五) 二次函数的图象与性质(二)(限时:50 分钟)|考场过关 |1.对于二次函数 y=(x-1)2+2 的图象,下列说法正确的是 ( )A.开口向下 B.对称轴是直线 x=-1C.顶点坐标是(1,2) D.与 x 轴有两个交点2.在同一平面直角坐标系内,将函数 y=2x2+4x-3 的图象向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位,得到的图象的顶点坐标是 ( )A.(-3,-6) B.(1,-4)C.(1,-6) D.(-3,-4)3.2017成都 在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=ax2+bx+c 的
2、图象如图 K15-1 所示,下列说法正确的是 ( )图 K15-1A.abc0 B.abc>0,b2-4ac>0C.abc0,b2-4ac3a D.aax2+bx+c 的解集是 . 图 K15-37.如图 K15-4,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于点 A(-1,0)、点 B(3,0)和点 C(0,-3),一次函数的图象与抛物线交于 B,C 两点.(1)求二次函数的表达式;(2)结合图象,直接写出当一次函数值小于二次函数值时自变量 x 的取值范围.图 K15-4|能力提升 |8 .
3、如图 K15-5,抛物线 y=-x2+2x+3 与 y 轴交于点 C,点 D(0,1),点 P 是抛物线上的动点.若PCD 是以 CD 为底的等腰三角形,则点 P 的坐标为 . 图 K15-59.2018鄂州 如图 K15-6,已知直线 y= x+ 与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线 y=ax2+bx+c 交 y 轴12 12于点 C 0,- ,交 x 轴正半轴于 D 点,抛物线的顶点为 M.32图 K15-6(1)求抛物线的解析式及点 M 的坐标;(2)设点 P 为直线 AB 下方的抛物线上
4、一动点,当 PAB 的面积最大时,求PAB 的面积及点 P 的坐标;(3)点 Q 为 x 轴上一动点,点 N 是抛物线上一点,当 QMNMAD (点 Q 与点 M 对应) 时,求 Q 点的坐标.|思维拓展 |10.如图 K15-7,在平面直角坐标系中,抛物线经过点 A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与 x 轴相交于点 M.(1)求此抛物线的解析式和对称轴;(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使PAB 的周长最小?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存 在,请说明理由;(3)连接 AC,在直线 AC 下方的抛物线上,是否存在一点 N,使 NAC 的面积最大,若存在,请求出点
5、 N 的坐标; 若不存在 ,请说明理由.图 K15-7参考答案1.C 2.C3.B 解析 由二次 函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上,得 a>0,由与 y 轴交点在 y 轴的负半轴上, 得 c0,所以 b0;图象与 x 轴有两个交点,b 2-4ac>0,故选 B.24.D 解析 (1)抛物线与 x 轴有两个交点,>0,即 b2-4ac>0.4ac-1,a2a.x=-1 时,y>0,a-b+c>0. +,得 c>a.+ ,得 b+c>3a.可见选项 C 中的结论正确.2(4)- b.可见选项
6、D 中的结论错误.2 12综上所述,故选 D.5.156.x4 解析 由函数图象可知 :在点 A 的左侧和点 B 的右侧,一次函数的函数值都大于二次函数的函数值,A(-1,p),B(4,q),关于 x 的不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集是 x4.7.解:(1)根据题意,设二次函数的表达式为 y=a(x+1)(x-3),把(0,-3) 代入表达式,得-3=-3a,解得 a=1,二次函数的表达式是:y=x 2-2x-3.(2)根据图象可得,一次函数值小于二次函数值时自变量 x 的取值范围是 x3.8.(1 ,2)29.解析 (1)将 B(4,m)的坐标代入一
7、次函数的关系式即可解得点 B 的坐标,再将 A,B,C 三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式,再将其化为顶点式就能得到点 M 的坐标;(2)过点 P 作 PEx 轴,交 AB 于点 E,交 x 轴于点 G,过点 B 作BFx 轴于点 F,则 SPAB= PEAF.设点 P 的坐标为 n, n2-n- ,则点 E 的坐标为 n, n+ ,即可得到 SPAB 的函数关系式,12 12 32 12 12将其化为顶点式即可求出最大值;(3)由勾股定理的逆定理可证得MAD 是等腰直角三角形,则QMN 也是等腰直角三角形,从而得到点 Q 的坐标.解:(1)将 B(4,m)的坐标代入 y= x+ ,
8、得 m= 4+ = ,B 4, .12 12 12 1252 52将 A(-1,0),B 4, ,C 0,- 的坐标代入 y=ax2+bx+c 得 解得 抛物线的解析式为 y= x2-x-52 32 -+=0,16+4+=52,=-32, =12,=-1,=-32, 12,y= (x2-2x)- = (x-1)2- - = (x-1)2-2,故顶点 M 的坐标为(1, -2).32 12 3212 123212(2)如图,过点 P 作 PEx 轴 ,交 AB 于点 E,交 x 轴于点 G,过点 B 作 BFx 轴于点 F.A (-1,0),B 4, ,AF= 4(1)52=5.设点
9、 P 的坐标 为 n, n2-n- ,则点 E 的坐标为 n, n+ .点 P 在直线 AB 下方,12 32 12 12PE= n+ - n2-n- =- n2+ n+2,S PAB=SAPE+SBPE= PEAG+ PEFG= PE(AG+FG)= PEAF= 5 -12 12 12 32 12 32 12 12 12 12 12n2+ n+2 =- + ,当 n= 时, PAB 的面积最大,且最大面积为 ,当 n= 时, n2-n- = - - =- ,故此时点 P12 32 54(-32)212516 32 12516 32 12 3212(32)23232 158的 坐标为 ,- .
10、32158(3)抛物线的解析式为 y= x2-x- = -2,12 3212(-1)2抛物线的对称轴为直线 x=1.又A(-1,0),点 D 的坐标为(3,0),又M 的坐标为(1,- 2),AD=3(1)= 4,AD2=42=16,AM2=1-(-1)2+(-2)2=8,DM2=(13) 2+(20)2=8,AD 2=AM2+DM2,且 AM=DM,MAD 是等腰直角三角形,AMD=90,又QMNMAD ,QMN 也是等腰直角三角形且 QM=QN,MQN=90, QMN=45,又AMD= 90,AMQ=QMD=45,此时点 D(或点 A)与点 N 重合(如图), 此时 MQx 轴,故点 Q
11、的坐标为(1,0).10.解:(1)设抛物线的解析式为 y=a(x-1)(x-5),把(0,4)代入上式,解得 a= ,45y= (x-1)(x-5)= x2- x+445 45 245= (x-3)2- .45 165抛物线的对称轴是直线 x=3.(2)存在,P 点坐标为 3, .85理由如下:点 B(1,0),抛物线的对称轴是直线 x=3,点 B 关于对称轴的对称点为 C(5,0),连接 AC 交对称轴于点 P,连接 BP,此时 PB+PA=AC,PAB 的周长最小.设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,把(0,4),(5,0)代入 y=kx+b,得 =4,5+=0,解得 =-45,=4
12、,y=- x+4,45点 P 的横坐标为 3,y=- 3+4= ,45 85P 3, .85(3)在直线 AC 下方的抛物线上存在点 N,使NAC 面积最大.如图,设点 N 的横坐标为 t,此时点 N t, t2- t+4 (0<t <5).45 245过点 N 作 y 轴的平行线 ,分别交 x 轴、AC 于点 F,G,过点 A 作 ADNG,垂足为 D.由(2)可知直线 AC 的解析式为 y=- x+4,45把 x=t 代入 y=- x+4,得 y=- t+4,45 45则 G t,- t+4 ,45此时,NG=- t+4- t2- t+4 =- t2+4t.45 45 245 45AD+CF=OC=5,S NAC=SANG+SCGN= NGAD+ NGCF12 12= NGOC12= - t2+4t 512 45=-2t2+10t=-2 t- 2+ .52 252当 t= 时,NAC 面积的最大值为 .52 252由 t= ,得 y= t2- t+4=-3,52 45 245N ,-3 .52