1、要题随堂演练1(2018莱芜中考)如图,抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D 为直线 BC上方抛物线上一动点,DEBC 于 E.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图 1,求线段 DE长度的最大值;(3)如图 2,设 AB的中点为 F,连接 CD,CF,是否存在点 D,使得CDE 中有一个角与CFO 相等?若存在,求点 D的横坐标;若不存在,请说明理由2如图,在平面直角坐标系中,RtABC 的顶点 A,C 分别在 y轴,x 轴上,ACB90,OA ,抛物线 yax 2axa 经过点 B(2, ),与 y轴交333于点 D.(1)求抛物线的表达式;(2
2、)点 B关于直线 AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;(3)延长 BA交抛物线于点 E,连接 ED,试说明 EDAC 的理由3(2018自贡中考)如图,抛物线 yax 2bx3 过 A(1,0),B(3,0),直线 AD交抛物线于点 D,点 D的横坐标为2,点 P(m,n)是线段 AD上的动点(1)求直线 AD及抛物线的表达式;(2)过点 P的直线垂直于 x轴,交抛物线于点 Q,求线段 PQ的长度 l与 m的关系式,m 为何值时,PQ 最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得 P,Q,D,R 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 R的坐标;若不存在,说明理由
3、参考答案1解:(1)由已知得 解得a b c 0,16a 4b c 0,c 3, ) a 34,b 94,c 3, )y x2 x3.34 94(2)设直线 BC的表达式为 ykxb, 解得 y x3.4k b 0,b 3, ) k 34,b 3, ) 34设 D(a, a2 a3),(0a4)34 94如图,过点 D作 DMx 轴,交 BC于点 M,M(a, a3),34DM( a2 a3)( a3) a23a.34 94 34 34DMEOCB,DEMCOB,DEMBOC, .DEDM OBBCOB4,OC3,BC5,DE DM,45DE a2 a (a2) 2 ,35 125 35 12
4、5当 a2 时,DE 取最大值,最大值是 .125(3)假设存在这样的点 D,使得CDE 中有一个角与CFO 相等F 为 AB的中点,OF ,tanCFO 2.32 OCOF如图,过点 B作 BGBC,交 CD的延长线于 G,过点 G作 GHx 轴,垂足为 H.若DCECFO,tanDCE 2,BG10.GBBCGBHBCO, ,GHBO HBOC GBBCGH8,BH6,G(10,8)设直线 CG的表达式为 ykxb, 解得b 3,10k b 8, ) k 12,b 3, )y x3,12 解得 x 或 x0(舍)y 12x 3,y 34x2 94x 3, ) 73若CDECFO,同理可得
5、BG ,GH2,52BH ,32G( ,2)112同理可得直线 CG的表达式为 y x3,211 解得 x 或 x0(舍)y 211x 3,y 34x2 94x 3, ) 10733综上所述,存在 D使得CDE 中有一个角与CFO 相等,其横坐标是 或 .73 107332解:(1)把点 B的坐标代入抛物线的表达式得a2 22aa,解得 a .33 33抛物线的表达式为 y x2 x .33 33 33(2)如图,连接 CD,过点 B作 BFx 轴于点 F,则BCFCBF90.ACB90,ACOBCF90,ACOCBF.AOCCFB90,AOCCFB, .AOCF OCFB设 OCm,则 CF
6、2m,则有 ,32 m m33解得 m1,OCCF1.当 x0 时,y ,OD ,BFOD.33 33DOCBFC90,OCDFCB,DCCB,OCDFCB,点 B,C,D 在同一直线上,点 B与点 D关于直线 AC对称,点 B关于直线 AC的对称点在抛物线上(3)如图,过点 E作 EGy 轴于点 G,设直线 AB的表达式为ykxb,则 解得b 3,33 2k b, ) k 33,b 3, )直线 AB的表达式为 y x .33 3代入抛物线的表达式得 x x2 x .33 3 33 33 33解得 x2 或 x2.当 x2 时,y x ,33 3 5 33点 E的坐标为(2, )5 33ta
7、nEDG ,EGDG 25 33 33 33EDG30.tanOAC ,OAC30,OCOA 13 33OACEDG,EDAC.3解:(1)把(1,0),(3,0)代入函数表达式得解得a b 3 0,9a 3b 3 0, ) a 1,b 2, )抛物线的表达式为 yx 22x3.当 x2 时,y(2) 22(2)3,解得 y3,即 D(2,3)设 AD的表达式为 ykxb,将 A(1,0),D(2,3)代入得解得k b 0, 2k b 3, ) k 1,b 1, )直线 AD的表达式为 yx1.(2)设 P点坐标为(m,m1),Q(m,m 22m3),l(m1)(m 22m3),化简得 lm
8、2m2,配方得 l(m )2 ,12 94当 m 时,l 最大 .12 94(3)由(2)可知,0PQ .当 PQ为边时,DRPQ 且 DRPQ.94R 是整点,D(2,3),PQ 是正整数,PQ1 或 PQ2.当 PQ1 时,DR1,此时点 R的横坐标为2,纵坐标为312 或314,R(2,2)或(2,4)当 PQ2 时,DR2,此时点 R的横坐标为2,纵坐标为321 或325,即 R(2,1)或(2,5)当 PQ为对角线时,PDQR,且 PDQR.设点 R的坐标为(n,nm 2m3),则 QR22(mn) 2.又P(m,m1),D(2,3),PD 22(m2) 2,(m2) 2(mn) 2,解得 n2(不符合题意,舍去)或 n2m2,点 R的坐标为(2m2,m 23m1)R 是整点,2m1,当 m1 时,点 R的坐标为(0,3);当 m0 时,点 R的坐标为(2,1)综上所述,存在满足 R的点,它的坐标为(2,2)或(2,4)或(2,1)或(2,5)或(0,3)或(2,1)