1、 专题一 有理数与数轴的数形结合要点归纳1像 2， ，025，30%等这样大于零的数叫做_；像20， ，025，30% 等这3 32样在正数前面加上负“”的数叫做_2用正、负数可以表示具有相反意义的量，若一个相反意义的量中一个“意义” 规定用“”表示，则另一个“意义”必定用“_”表示3有理数按性质可分为_、_、_；整数和_统称为有理数4我们把规定了_、_、_的直线叫数轴，这条直线上的任意数轴一个点表示一个数，原点左边的数都是_数，原点右边的数都是_数，在实际问题中，一个单位长度可表示一定的数量，如 1 米，1 千米，400 千克等5数轴上的点与有理数之间的关系：所有的_都可以用数轴上的点来表示
2、，但是数轴上的点不都表示有理数典例讲解经典再现一、正、负数的识别及应用例 1 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？0007，200， ， ，0 666，9，205，0，53432【思路点拨】由正、负数的定义进行判断解：整数：0007， ，0666，205；负数：200， ，9， 45【方法规律】正数前面可以加“”号，也可以不加“”号；负数前面的“”号不可以省略判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“”号，而不是看它是不是带有“”号，特别注意 ， “a”不一定是负数，如（5）数不是负数例 2 课桌的高度比标准高度高 2cm 记作2cm ，那么比标准高度低 3cm 记作什么？现有 5 张
3、课桌，小明测量了它们的高度，记录如下：1cm，0cm ，1cm，3cm ，15c m若规定课桌的高度与标准高度相差最多不能超过 2cm，问上述 5 张课桌有几张合格？【思路点拨】具有相反意义的量可以分别用“” 、 “”数来表示，与标准高相差 2cm，是指可以高 2cm，也可以低 2cm解：比标准高度低 3cm 记作3cm ，这 5 张课桌中，合格的有：比标准高度：1cm、0cm、1c m、15cm ，共 4 张【方法规律】如果超过标准高度记为“” ，那么不是（或低于）标准高度记为“” ，在判断几张桌子合格的问题中，我们不管超过还是低于标准高度，不看数前面的“” 、 “”号，只看符号后面数是否小
4、于或等于 0二、有理数的相关概念（1）整数：正整数、0、负整数的统称；（2）分数：正分数、负分数的统称；（3）有理数：整数和分数的统称；（4）有理数包括有限小数和无限循环小数例 3 下列说法中，正确的是（ ）A正有理数和负有理数统称为有理数 B正整数和负整数统称为整数 来源:学&科&网C整数和分数统称为有理数 D非正整数就是指零、负整数和所 有分数【思路点拨】A 选项中，有理数应包括正有理数、0 和负有理数；B 选项中也漏掉了 0；D 选项中，非正整数是指负整数和 0解：C三、有理数的分类例 4 把下列各数填在相应的横线上25，314，48， ，040，0， ，35，1，3244（1） _分
5、数 ：整 数 ：有 理 数（2） _负 有 理 数 ：零 ：正 有 理 数 ：有 理 数【思路点拨】此题考察有理数的两种分类方式，注意 0 是整数解：（1） 41,5.3,.032,14.85:分 数 ：整 数有 理 数（2） 5.3,402,50,8,.负 有 理 数 ：零 ：正 有 理 数 ：有 理 数【方法规律】对有理数进行分类时，必须按照同一标准，不能将两种分类方式混在一起，小数（有限小数、无限循环小数）都是分数例 5 下面四个结论中，正确的结论是（ ）A两个不同的整数之间必有一个正分数 B两个不同的整数之间必有一个整数C两个不同的整数之间必有一个有理数 D两个不同的整数之间必有一个负
6、数【思路点拨】对于 A，如果是两个负整数，那么中间就没有正分数；对于 B，如果是两个连续的整数，中间就再没有整数；对于 D，如果两个整数是正整数，中间就没有负数；只有 C，不论是怎样的两个不同的整数，中间必有有理数，如 2 和 3 中间有 ，2，3 之间有 525解：选 C【方法规律】如果一个说法（结论）不正确，可举反例说明四、数轴上的点和数例 6 指出下面数轴上 A、B、C 、D、O 各点分别表示什么数？【思路点拨】数的性质 A 点、B 点在原点的左侧，表示的是负数；C 点、D 点在原点的右侧，表示的数是整数，0 点在原点；其次，还要确定每个点到原点的距离解：点 A 表示5，点 B 表示1，
7、点 C 表示 2，点 D 表示 5，点 O 表示 0【方法规律】本题一个单位长度表示 2，而不是 1，容易看错，确定数轴上的点表示的数，一定性质，二定距离例 7 数轴上表示到 3 的点的距离是 5 的点表示的数是_【思维点拨】数轴上与表示 3 的点相距 5 个单位长度的点有两个，一个表示 3 的点的右侧且相距 5 个单位长度，另一个表示 3 的点的左侧且相距 5 个单位长度解：8 或2【方法规律】距离是一个长度，在数轴上表示与某个点的距离为 a（a0）的点时，用分类讨论思想时要考虑在这个点左侧且距此点 a 个单位长度有一个点；在这个点右侧且距此点 a 个单位长度也有一个点五、画数轴画数轴时，一
8、定要体现出数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，画数轴的步骤可归纳为：一画、二定、三选、四统一、五标数，即画直线、定原点、选取正方向，统一单位长度，确定要表示的数的对应点的位置例 8 如图，数轴上有 A、B、C、D 、E、F 六个点，每两个相邻的点的距离相等，那么下列说法中错误的是（ ）A表示原点的数在 C、D 之间 B有三个点表示的数是负数C这六个数中没有表示整数的点 DC 点与原点最接近【思维点拨】A 点到 F 点的距离是 ，且相邻的点之间的距离相等，所以每两个相邻点间距离为4365= ，原点在 C、D 之间， ，因此原点靠近 D 点，A、B、C 三点表示的数是负数，B427021点表示的
9、数是分数解：D拓展研究一、正、负数应用在一些实际生产和生活的问题中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为“0”这个量作为正、负数的界限，解决问题时，要按题目的要求正确理解整数、负数所代表的实际的量的真正意义，把实际的量进行转化例 1 图中这个游戏叫做（井底之蛙） ，一个人或几个人玩，每人投一次骰子（可以是一粒或二粒） ，按点数井底之蛙开始往上爬，爬到哪一格，就按那一格的数字再往上升或往下降，只有升到井上或回到井底，才轮到第二个人例如，投得 3，往上爬三格，得“1” ，再升一格，又得“4” ，降四格回到井底，于是轮到第二个人投骰子现在轮到你投骰子，请你简要分析一下，如果你投到哪
10、些数，就可以把青蛙送到井上，不再坐井观天【思路点拨】读懂题意，将每个数按题意上升或下降这些格，看是否送到井上，是否仍回井底解：投到 812 时，可以把青蛙送到井上；投到 17 时，青蛙回到井底【方法规律】理解正、负数的意义是解题的关键二、有理数分类中 0 的位置0 既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界，是唯一的中性数例 2 下列说法正确的有（ ）一个有理数不是正数就是分数； 一个有理数不是正数就是负数；一个整数不是正数就是负数； 一个分数不是正数就是负数A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】一个有理数可能是正数、负数或 0，整数也包括零，其中是正确的来源:Z+xx+k.Com
11、解：B【方法规律】在有关有理数概念的考察中，0 最容易被忽视，要防止“一个有理数非正即负”和“一个整数非正即负”的错误出现三、利用正、负数探究数字的排列规律例 3 观察下列依次排列的两列数，它们的排列有什么规律？你能说出这两列数的第 48 个数，第 101 个数，第 2015 个数分别是 什么吗？（1）1， ，3， ，5， ，7， ，；241681（2） ，0， ，0， ，0， ，0，2【思路点拨】 （1）这列数从数的性质看正、负交替出现，再考虑分子、分母的变化规律；（2）这列数是 0、 交替出现，再考虑性质符号的变化规律解：（1）这列数的排列规律是：对于第 n 个数，n 为奇数时，此数是n，
12、n 为偶数时，此数是 ，n1因此， 第 48 个数为 ，第 101 个数为101，第 2015 个数为2015481（2）这列数的排列规律是： ，0， ，0，从前往后奇数位上数是 或 ，偶数位上是 0，位21 21数除 4 余 1 的是 ，位数除 4 余 3 的是 ，所以，第 48 个数是 0，第 101 个数是 ，第 2015 个数是 2【方法规律】从数的性质和除性质外的数的大小两方面寻找规律四、有理数分类中小数的划分例 4 下列各数中，哪些是有理数，哪些不是有理数？， ， ，0121121112，0676767，04723.1【思路点拨】 ， 是分数， ，0676767是循环小数，可以化为
13、分数，04 是有限 小数，3.也可以化为分数，所以都是有理数0121121112， 都是无限不循环小数，不能化为分数，所以不是有理数解：有理数： ， ， ，0676767，04；723.1不是有理数：0121121112，【方法规律】小数有三类：有限小数，无限循环小数和无限不循环小数，其中有限小数与无限小数都可以化为分数，故都是有理数，无限不循环小数不是有理数，分数可化为有限小数或无限循环小数五、数轴上的数形结合例 5 如图，数轴上有 A、B、C 三个点，请回答下列问题：（1）将 B 点在数轴上移动 3 个单位长度后，所表示的数是什么？（2）怎样在数轴上移点 C，使移动后的 C 点（不与 B
14、点重合）与 A 点的距离等于 B 点与 A 点的距离？此时 C 点表示的数是什么？【思维点拨】 （1）B 点在数轴的移动可向正方向，也可向负方向，有两个结果；（2）A、B 两点间的距离是 2，C 点向左移动，可在 A 点左边，也可在 A 点右边距离为 2，但 A 点右边距离为 2 的点与 B 点重合，应排除解：（1）5 或 1（2）将 C 点向左移动 9 个单位长度，此时 C 点表示的数是 6【方法规律】到数轴上某点的距离为 a（a0）的点有两个 ，在该点左、右两边各有一个点六、数轴的实际应用来源:学#科#网利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和单位长度，将
15、实际问题在数轴上表示出来，再根据要求求解例 5 某人从 A 地向东走 10 米到达 B 地，然后向西走 4 米到达 C 地，又向东走 7 米到达 D 地，问此人现在在 A 地的哪个方向？距 A 地多远？【思路点拨】本题可借助数轴来解决，按照此人行走的方向和距离找出他三次行走后的位置解：设 A 地是原点，向东为正方向，以 1 米为一个单位长度，由图可知 D 在 A 地的正东方向，距 A地 13 米【方法规律】本题运用数形结合思想解决问题，根据已知条件画出一条数轴，在数轴上讲三次运动过程表示出来，便能顺利解决问题实战演练A 链接中考1孔子出生于公元前 551 年，如果用551 表示，那么下列中国历
16、史文化名人的出生年代表示为：司马迁出生于公元 前 145 年：_；李白出生于公元 701 年：_2林艳在东西向的路上，先向东走 30 米，又向西走 30 米，她一共走了_米，她最后的位置是在_3已知在数轴上有 A、B 两点，点 A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点的距离为 3，那么点 B 表示的数是_4数轴上的点 A、B 位置如图所示，则线段 AB 的长度为_5点 A 为数轴上距原点距离 4 个单位长度的点，A 点表示的数是_6下列各组量具有相反意义的是（ ）A收入 3000 元与增加 5000 元 B向东走 5km 与向南走 35kmC温度上升 12与水位下降 D七（5）班在比赛中胜 3
17、 场与负 3 场7下列说法中正确的有（ ）小数都是有理数；存在最小的自然数；0001 是分数，也是有理数A0 个 B1 个 C2 个 D3 个8如图，数轴上的点 A 表示的数可能是（ ）A24 B24 C16 D149点 A 在数轴上表示2 的点所在的位置，当点 A 沿数轴移动 5 个单位长度到达点 B 时，点 B 表示的有理数是（ ）A3 B7 C3 或7 D无法确 定B 冲刺中考10下列说法中，正确的个数有（ ）0表示没有温度； 0 是最小的整数； 0 是偶数，也是自然数； 不带负号的数都是整数； 带负号的数不一定是负数A0 个 B1 个 C2 个 D3 个11.下列说法中错误的是( )A
18、.正整数一定是自然数 B自然数一定是正整数C一个有理数不是整数就是分数 D任何有理数都可以表示为分数12.下列说法正确的是( )A.规定了原点、正方向的直线是数轴 B数轴上原点及原点右边的点表示的数是非正数C有理数如 在数轴上无法表示 D任何一个有理数都可以在数轴上找到1013. 一次月考中，新欣所在班级平均分为 95 分，把高出平均分的部分记 作正数，新欣 105 分，记为_， 兰慧记-12 分，她实际得分为 分14.下列四个判断中，错误的是( )A.存在着最小的自然数 B存在最小的正有理数C不存在 最大的正有理数 D不存在最大的负有理数15. -a 一定是( )A正数 B负数 C正数或负数
19、 D正数或零或负数16.下列说法错误的是( )A.数轴上原点右边的点表示的数是正数 B数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数C所有的有理数都可以用数轴上的点表示 D数轴上距离原点 3 个单位长度的点所表示的数是 317.已知数轴上的点 A 到原点的距离为 2 个单位长度，那么数轴上到点 A 的距离是 3 个单位长度的点所表示的数是( )A.5 B5 C 1 D1 或518.若 b 为正数，利用“号连接 a，a-b，a+b 为_19.写出 5 个数（不能重复） ，同时满足下列三个条件：其中三个数是非正数；其中三个数非负数；五个数都是有理数，这五个数可以是20数轴上点 A 表示 3，点 B 表示
20、-4.5，点 C 表示-2，则点 A 和点 B 中，距离点 C 较远的点是_ _21.点 A 在数轴上距原点 3 个单位长度，且位于原点的右侧，若将点 A 向左移动 4 个单位长度，此时点A 所表示的数是 _，若点 B 表示的数是点 A 开始时所表示的数的相反数，作同样的移动以后，点 B 所表示的数是_22.点 A、B、C、D 、E 在数轴上的位置如图所示，其中，B、C、E 分别为相邻整数点的中点，请回答下列问题：(1)点 A、B、C、D、E 各表示什么数？(2)点 A、B 之间的距离是多少？点 B、E 之间的距离是多少？(3)现在把数轴的原点取在点 C 处，其余都不变，那么点 A、B、C、D
21、、E 又分别表示什么数？23.观察下列各数，12345,6(1)写出第 10 个数；(2)写出第 2015 个数24.检修组乘汽车，沿公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天自 A 地出发，到收工时，行走记录为（单位：千米）：+8，-9，+4，+7，-2，-10 ，+18，-3，+7，+5(1)收工时在 A 地的哪边？距 A 地多少千米？(2)若每千米耗油 0.4 升，问从 A 地出发到收工时，共耗油多少升？25.如图，数轴上 A、B 两点对应的有理数都是整数，若 A、B 对应的有理数 a、b 满足 b- 2a=5，那么请指出数轴上原点的位置C 决战中考26.将 按一定规律排列如下：11,2
22、3456第 1 行 1 第 2 行 23第 3 行 456第 4 行 178190第 5 行 23415则第 20 行从左到右第 10 个数是 .27在数轴任取一条长度为 2015 个单位长度的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点个数为 ( )13A. 2016 B.2015 C.2014 D.201328.小明家、学校、邮局、图书馆坐标落在一条东西走向的大街上，依次记为 A、B、C、D，学校位于小明家西 150 米，邮局位于小明家东 100 米，图书馆位于小明家西 400 米(1)用数轴表示 A、B 、C、D 的位置（建议以小明家为原点） ；(2)一天，小明从家里先去邮局寄信后，以每分钟 50 米的速度往图书馆方向走了约 8 分钟，试问这时小明约在什么位置？距图书馆和学校各约多少米？29.如图，一条笔直的流水线上，依次有 5 个卡通人，它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M 2、M 3、 M4、M 5 表示(1)点 M2 和 M5 所表示的有理数是什么？(2)点 M1 和 M4 之间的距离为多少？(3)怎样将点 M3 移动，使它先到达 M2，再到达 M5，请说明；(4)若原点是一休息游乐所，那么 5 个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？