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2019年中考数学复习讲义:专题(一)有理数与数轴的数形结合.doc

1、 专题一 有理数与数轴的数形结合要点归纳1像 2, ,025,30%等这样大于零的数叫做_;像20, ,025,30% 等这3 32样在正数前面加上负“”的数叫做_2用正、负数可以表示具有相反意义的量,若一个相反意义的量中一个“意义” 规定用“”表示,则另一个“意义”必定用“_”表示3有理数按性质可分为_、_、_;整数和_统称为有理数4我们把规定了_、_、_的直线叫数轴,这条直线上的任意数轴一个点表示一个数,原点左边的数都是_数,原点右边的数都是_数,在实际问题中,一个单位长度可表示一定的数量,如 1 米,1 千米,400 千克等5数轴上的点与有理数之间的关系:所有的_都可以用数轴上的点来表示

2、,但是数轴上的点不都表示有理数典例讲解经典再现一、正、负数的识别及应用例 1 下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?0007,200, , ,0 666,9,205,0,53432【思路点拨】由正、负数的定义进行判断解:整数:0007, ,0666,205;负数:200, ,9, 45【方法规律】正数前面可以加“”号,也可以不加“”号;负数前面的“”号不可以省略判断一个数是不是负数,要看它是不是在正数的前面加“”号,而不是看它是不是带有“”号,特别注意 , “a”不一定是负数,如(5)数不是负数例 2 课桌的高度比标准高度高 2cm 记作2cm ,那么比标准高度低 3cm 记作什么?现有 5 张

3、课桌,小明测量了它们的高度,记录如下:1cm,0cm ,1cm,3cm ,15c m若规定课桌的高度与标准高度相差最多不能超过 2cm,问上述 5 张课桌有几张合格?【思路点拨】具有相反意义的量可以分别用“” 、 “”数来表示,与标准高相差 2cm,是指可以高 2cm,也可以低 2cm解:比标准高度低 3cm 记作3cm ,这 5 张课桌中,合格的有:比标准高度:1cm、0cm、1c m、15cm ,共 4 张【方法规律】如果超过标准高度记为“” ,那么不是(或低于)标准高度记为“” ,在判断几张桌子合格的问题中,我们不管超过还是低于标准高度,不看数前面的“” 、 “”号,只看符号后面数是否小

4、于或等于 0二、有理数的相关概念(1)整数:正整数、0、负整数的统称;(2)分数:正分数、负分数的统称;(3)有理数:整数和分数的统称;(4)有理数包括有限小数和无限循环小数例 3 下列说法中,正确的是( )A正有理数和负有理数统称为有理数 B正整数和负整数统称为整数 来源:学&科&网C整数和分数统称为有理数 D非正整数就是指零、负整数和所 有分数【思路点拨】A 选项中,有理数应包括正有理数、0 和负有理数;B 选项中也漏掉了 0;D 选项中,非正整数是指负整数和 0解:C三、有理数的分类例 4 把下列各数填在相应的横线上25,314,48, ,040,0, ,35,1,3244(1) _分

5、数 :整 数 :有 理 数(2) _负 有 理 数 :零 :正 有 理 数 :有 理 数【思路点拨】此题考察有理数的两种分类方式,注意 0 是整数解:(1) 41,5.3,.032,14.85:分 数 :整 数有 理 数(2) 5.3,402,50,8,.负 有 理 数 :零 :正 有 理 数 :有 理 数【方法规律】对有理数进行分类时,必须按照同一标准,不能将两种分类方式混在一起,小数(有限小数、无限循环小数)都是分数例 5 下面四个结论中,正确的结论是( )A两个不同的整数之间必有一个正分数 B两个不同的整数之间必有一个整数C两个不同的整数之间必有一个有理数 D两个不同的整数之间必有一个负

6、数【思路点拨】对于 A,如果是两个负整数,那么中间就没有正分数;对于 B,如果是两个连续的整数,中间就再没有整数;对于 D,如果两个整数是正整数,中间就没有负数;只有 C,不论是怎样的两个不同的整数,中间必有有理数,如 2 和 3 中间有 ,2,3 之间有 525解:选 C【方法规律】如果一个说法(结论)不正确,可举反例说明四、数轴上的点和数例 6 指出下面数轴上 A、B、C 、D、O 各点分别表示什么数?【思路点拨】数的性质 A 点、B 点在原点的左侧,表示的是负数;C 点、D 点在原点的右侧,表示的数是整数,0 点在原点;其次,还要确定每个点到原点的距离解:点 A 表示5,点 B 表示1,

7、点 C 表示 2,点 D 表示 5,点 O 表示 0【方法规律】本题一个单位长度表示 2,而不是 1,容易看错,确定数轴上的点表示的数,一定性质,二定距离例 7 数轴上表示到 3 的点的距离是 5 的点表示的数是_【思维点拨】数轴上与表示 3 的点相距 5 个单位长度的点有两个,一个表示 3 的点的右侧且相距 5 个单位长度,另一个表示 3 的点的左侧且相距 5 个单位长度解:8 或2【方法规律】距离是一个长度,在数轴上表示与某个点的距离为 a(a0)的点时,用分类讨论思想时要考虑在这个点左侧且距此点 a 个单位长度有一个点;在这个点右侧且距此点 a 个单位长度也有一个点五、画数轴画数轴时,一

8、定要体现出数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,画数轴的步骤可归纳为:一画、二定、三选、四统一、五标数,即画直线、定原点、选取正方向,统一单位长度,确定要表示的数的对应点的位置例 8 如图,数轴上有 A、B、C、D 、E、F 六个点,每两个相邻的点的距离相等,那么下列说法中错误的是( )A表示原点的数在 C、D 之间 B有三个点表示的数是负数C这六个数中没有表示整数的点 DC 点与原点最接近【思维点拨】A 点到 F 点的距离是 ,且相邻的点之间的距离相等,所以每两个相邻点间距离为4365= ,原点在 C、D 之间, ,因此原点靠近 D 点,A、B、C 三点表示的数是负数,B427021点表示的

9、数是分数解:D拓展研究一、正、负数应用在一些实际生产和生活的问题中,并没有出现常见的意义相反的量,而是把其中某一个量规定为“0”这个量作为正、负数的界限,解决问题时,要按题目的要求正确理解整数、负数所代表的实际的量的真正意义,把实际的量进行转化例 1 图中这个游戏叫做(井底之蛙) ,一个人或几个人玩,每人投一次骰子(可以是一粒或二粒) ,按点数井底之蛙开始往上爬,爬到哪一格,就按那一格的数字再往上升或往下降,只有升到井上或回到井底,才轮到第二个人例如,投得 3,往上爬三格,得“1” ,再升一格,又得“4” ,降四格回到井底,于是轮到第二个人投骰子现在轮到你投骰子,请你简要分析一下,如果你投到哪

10、些数,就可以把青蛙送到井上,不再坐井观天【思路点拨】读懂题意,将每个数按题意上升或下降这些格,看是否送到井上,是否仍回井底解:投到 812 时,可以把青蛙送到井上;投到 17 时,青蛙回到井底【方法规律】理解正、负数的意义是解题的关键二、有理数分类中 0 的位置0 既不是正数也不是负数,它是正数与负数的分界,是唯一的中性数例 2 下列说法正确的有( )一个有理数不是正数就是分数; 一个有理数不是正数就是负数;一个整数不是正数就是负数; 一个分数不是正数就是负数A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】一个有理数可能是正数、负数或 0,整数也包括零,其中是正确的来源:Z+xx+k.Com

11、解:B【方法规律】在有关有理数概念的考察中,0 最容易被忽视,要防止“一个有理数非正即负”和“一个整数非正即负”的错误出现三、利用正、负数探究数字的排列规律例 3 观察下列依次排列的两列数,它们的排列有什么规律?你能说出这两列数的第 48 个数,第 101 个数,第 2015 个数分别是 什么吗?(1)1, ,3, ,5, ,7, ,;241681(2) ,0, ,0, ,0, ,0,2【思路点拨】 (1)这列数从数的性质看正、负交替出现,再考虑分子、分母的变化规律;(2)这列数是 0、 交替出现,再考虑性质符号的变化规律解:(1)这列数的排列规律是:对于第 n 个数,n 为奇数时,此数是n,

12、n 为偶数时,此数是 ,n1因此, 第 48 个数为 ,第 101 个数为101,第 2015 个数为2015481(2)这列数的排列规律是: ,0, ,0,从前往后奇数位上数是 或 ,偶数位上是 0,位21 21数除 4 余 1 的是 ,位数除 4 余 3 的是 ,所以,第 48 个数是 0,第 101 个数是 ,第 2015 个数是 2【方法规律】从数的性质和除性质外的数的大小两方面寻找规律四、有理数分类中小数的划分例 4 下列各数中,哪些是有理数,哪些不是有理数?, , ,0121121112,0676767,04723.1【思路点拨】 , 是分数, ,0676767是循环小数,可以化为

13、分数,04 是有限 小数,3.也可以化为分数,所以都是有理数0121121112, 都是无限不循环小数,不能化为分数,所以不是有理数解:有理数: , , ,0676767,04;723.1不是有理数:0121121112,【方法规律】小数有三类:有限小数,无限循环小数和无限不循环小数,其中有限小数与无限小数都可以化为分数,故都是有理数,无限不循环小数不是有理数,分数可化为有限小数或无限循环小数五、数轴上的数形结合例 5 如图,数轴上有 A、B、C 三个点,请回答下列问题:(1)将 B 点在数轴上移动 3 个单位长度后,所表示的数是什么?(2)怎样在数轴上移点 C,使移动后的 C 点(不与 B

14、点重合)与 A 点的距离等于 B 点与 A 点的距离?此时 C 点表示的数是什么?【思维点拨】 (1)B 点在数轴的移动可向正方向,也可向负方向,有两个结果;(2)A、B 两点间的距离是 2,C 点向左移动,可在 A 点左边,也可在 A 点右边距离为 2,但 A 点右边距离为 2 的点与 B 点重合,应排除解:(1)5 或 1(2)将 C 点向左移动 9 个单位长度,此时 C 点表示的数是 6【方法规律】到数轴上某点的距离为 a(a0)的点有两个 ,在该点左、右两边各有一个点六、数轴的实际应用来源:学#科#网利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型,确定好原点、正方向和单位长度,将

15、实际问题在数轴上表示出来,再根据要求求解例 5 某人从 A 地向东走 10 米到达 B 地,然后向西走 4 米到达 C 地,又向东走 7 米到达 D 地,问此人现在在 A 地的哪个方向?距 A 地多远?【思路点拨】本题可借助数轴来解决,按照此人行走的方向和距离找出他三次行走后的位置解:设 A 地是原点,向东为正方向,以 1 米为一个单位长度,由图可知 D 在 A 地的正东方向,距 A地 13 米【方法规律】本题运用数形结合思想解决问题,根据已知条件画出一条数轴,在数轴上讲三次运动过程表示出来,便能顺利解决问题实战演练A 链接中考1孔子出生于公元前 551 年,如果用551 表示,那么下列中国历

16、史文化名人的出生年代表示为:司马迁出生于公元 前 145 年:_;李白出生于公元 701 年:_2林艳在东西向的路上,先向东走 30 米,又向西走 30 米,她一共走了_米,她最后的位置是在_3已知在数轴上有 A、B 两点,点 A、B 之间的距离为 1,点 A 与原点的距离为 3,那么点 B 表示的数是_4数轴上的点 A、B 位置如图所示,则线段 AB 的长度为_5点 A 为数轴上距原点距离 4 个单位长度的点,A 点表示的数是_6下列各组量具有相反意义的是( )A收入 3000 元与增加 5000 元 B向东走 5km 与向南走 35kmC温度上升 12与水位下降 D七(5)班在比赛中胜 3

17、 场与负 3 场7下列说法中正确的有( )小数都是有理数;存在最小的自然数;0001 是分数,也是有理数A0 个 B1 个 C2 个 D3 个8如图,数轴上的点 A 表示的数可能是( )A24 B24 C16 D149点 A 在数轴上表示2 的点所在的位置,当点 A 沿数轴移动 5 个单位长度到达点 B 时,点 B 表示的有理数是( )A3 B7 C3 或7 D无法确 定B 冲刺中考10下列说法中,正确的个数有( )0表示没有温度; 0 是最小的整数; 0 是偶数,也是自然数; 不带负号的数都是整数; 带负号的数不一定是负数A0 个 B1 个 C2 个 D3 个11.下列说法中错误的是( )A

18、.正整数一定是自然数 B自然数一定是正整数C一个有理数不是整数就是分数 D任何有理数都可以表示为分数12.下列说法正确的是( )A.规定了原点、正方向的直线是数轴 B数轴上原点及原点右边的点表示的数是非正数C有理数如 在数轴上无法表示 D任何一个有理数都可以在数轴上找到1013. 一次月考中,新欣所在班级平均分为 95 分,把高出平均分的部分记 作正数,新欣 105 分,记为_, 兰慧记-12 分,她实际得分为 分14.下列四个判断中,错误的是( )A.存在着最小的自然数 B存在最小的正有理数C不存在 最大的正有理数 D不存在最大的负有理数15. -a 一定是( )A正数 B负数 C正数或负数

19、 D正数或零或负数16.下列说法错误的是( )A.数轴上原点右边的点表示的数是正数 B数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数C所有的有理数都可以用数轴上的点表示 D数轴上距离原点 3 个单位长度的点所表示的数是 317.已知数轴上的点 A 到原点的距离为 2 个单位长度,那么数轴上到点 A 的距离是 3 个单位长度的点所表示的数是( )A.5 B5 C 1 D1 或518.若 b 为正数,利用“号连接 a,a-b,a+b 为_19.写出 5 个数(不能重复) ,同时满足下列三个条件:其中三个数是非正数;其中三个数非负数;五个数都是有理数,这五个数可以是20数轴上点 A 表示 3,点 B 表示

20、-4.5,点 C 表示-2,则点 A 和点 B 中,距离点 C 较远的点是_ _21.点 A 在数轴上距原点 3 个单位长度,且位于原点的右侧,若将点 A 向左移动 4 个单位长度,此时点A 所表示的数是 _,若点 B 表示的数是点 A 开始时所表示的数的相反数,作同样的移动以后,点 B 所表示的数是_22.点 A、B、C、D 、E 在数轴上的位置如图所示,其中,B、C、E 分别为相邻整数点的中点,请回答下列问题:(1)点 A、B、C、D、E 各表示什么数?(2)点 A、B 之间的距离是多少?点 B、E 之间的距离是多少?(3)现在把数轴的原点取在点 C 处,其余都不变,那么点 A、B、C、D

21、、E 又分别表示什么数?23.观察下列各数,12345,6(1)写出第 10 个数;(2)写出第 2015 个数24.检修组乘汽车,沿公路检修线路,约定向东为正,向西为负,某天自 A 地出发,到收工时,行走记录为(单位:千米):+8,-9,+4,+7,-2,-10 ,+18,-3,+7,+5(1)收工时在 A 地的哪边?距 A 地多少千米?(2)若每千米耗油 0.4 升,问从 A 地出发到收工时,共耗油多少升?25.如图,数轴上 A、B 两点对应的有理数都是整数,若 A、B 对应的有理数 a、b 满足 b- 2a=5,那么请指出数轴上原点的位置C 决战中考26.将 按一定规律排列如下:11,2

22、3456第 1 行 1 第 2 行 23第 3 行 456第 4 行 178190第 5 行 23415则第 20 行从左到右第 10 个数是 .27在数轴任取一条长度为 2015 个单位长度的线段,则此线段在数轴上最多能盖住的整数点个数为 ( )13A. 2016 B.2015 C.2014 D.201328.小明家、学校、邮局、图书馆坐标落在一条东西走向的大街上,依次记为 A、B、C、D,学校位于小明家西 150 米,邮局位于小明家东 100 米,图书馆位于小明家西 400 米(1)用数轴表示 A、B 、C、D 的位置(建议以小明家为原点) ;(2)一天,小明从家里先去邮局寄信后,以每分钟 50 米的速度往图书馆方向走了约 8 分钟,试问这时小明约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?29.如图,一条笔直的流水线上,依次有 5 个卡通人,它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M 2、M 3、 M4、M 5 表示(1)点 M2 和 M5 所表示的有理数是什么?(2)点 M1 和 M4 之间的距离为多少?(3)怎样将点 M3 移动,使它先到达 M2,再到达 M5,请说明;(4)若原点是一休息游乐所,那么 5 个卡通人到游乐所休息的总路程为多少?