1、专题五 有理数的乘方要点归纳1乘方:一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即 ，记作 ，读作“a 的 n 次方” ，a 叫an个做 ，n 叫做 求 n 个相同因数的积的运算，叫做 ，乘方 的结果叫做 ，按照结果也可读作 a 的 n 次幂2乘方的性质:负数的奇次幂是 &
2、nbsp; ，负数的偶次幂是 ，正数的任何次幂都是 ，0 的任 何正整数次幂都是 3科学记数法:把一个大于 10 的数写成 的形式(其中 a 大于或等于 1 且小于 10,n 为正整数)，就是科学记数法，用科学记数法表示一个 n 倍整数，其中 10 的指数是(n- 1) 4近似数:一个近似数，
3、 到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，近似数就是接近于实际数，但与实际数还有差别的数5有理数的混合运算的运算顺序:先 ，再 ，最后 ，如果有括号，就先算括号里面的典例讲解 经典再现一、乘方的意义如 中 n 叫指数，a 叫底数， 叫幂，表示 n 个 a 相乘na例 1 表示( &n
4、bsp;)56A. -6 与 5 的积 B. 6 与 5 的积 C. 5 个-6 的积 D. 5 个-6 的和【思路点拨】正确理解乘方的意义， 表示 5 个-6 的积来源:Zxxk.Com解:C例 2 下列对于 的叙述正确的是( )65A.读作-5 的 6 次幂 B.底数是-5 ，指数是 6C.表示 6 个 5 相乘的积的
5、相反数 D.表示 6 个-5 的积解:C【方法规律】 与 有区别6-例 3 的结果是( )2015-A. 1 B.-1 C. 2015 D.-2015【思路点拨】 表示(-1)的 2015 次方的相反数2015-解:A来源:学|科| 网 Z|
6、X|X|K二、乘方的运算有理数乘方的运算有以下两 种:根据乘方的意义，先把乘方转化成乘法，再利用乘法的运 算法则进行计算，先确定幂的符号，再求幂的绝对值例 4 计算: 个个个个 4343-23-144 （5） ； （6） ； （7） ； （8） .201312330【思路点拨】找准乘方运算时的底数，确定结果的符号，再计算绝对值，底数是带分数的，先要化成假分数，再作乘方运算.解：（1） ；43381（2） ；81（3） ；3 274464（4） ；327（5） ；20162016-A个（6） ；337=8（7） ；2392（8） .00.3.027【方法规律】
7、 与 的底数不同； 与 的意义不同，计算时容易出现混淆.2434例 5、 中，负数有_个.223224,3,【思路点拨】根据乘方的性质，正确判断出结果的符号.解：3【方法规律】正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正数次幂都是 0；1 的任何次幂都是 1； 的任何奇次幂是 ，任何偶次幂为 1； 的任何偶次幂是非负数.即1a（或 ）2a2n三、科学记数法把一个数写成 的形式时，若这个数是大于 10 的数，则 比这个数的整数位数少 1，而 的整数10nana数位只能有一位，即 ；小于 的数也可以用科学记数法表示，其方法是先用科学记数法表示10a1出它的相反数，再
8、在结果前加“ ”号.例 6、据统计，我国 2013 年全年完成造林面积约 6090000 公顷，6090000 用科学记数法可表示为（ ）. A. B. C. D. 6.0914.09146.09156.091【思路点拨】 ， ， 比整数为少 1.na.n解：A例 7、 （2014.成都）正在建设的成都第二绕城高速全长超过 220 公里，串起了成都市二、三圈层以及周边的广汉、简阳等地，总投资达 290 亿元，用科学记数法表示 290
9、 亿元应为（ ）A. 元 B. 元 C. 元 D. 元829019201102.12.90【思路点拨】290 亿元= 元，再改成科学记数法表示.8解：C四、求科学记数法表示数的原数用科学记数法表示为 的数，其原数等于把 的小数点向右移动 n 位后得到的数，若向右移动位10naa数不够时，应用 0 补上.例 8、下列求原数不正确的是（ ）A.
10、 B.4.37164.371040C. D.205【思路点拨】D 选项中， “3”后面应补上 5 个 0.解：D例 9、用科学记数法表示的数 ，其原数的整数位数有（ ）13.40nA. 位 B. 位 C. 位 D. 位1n2n【思路点拨】原数的整数位数是 .1n解：D五、用四舍五入法取近似值取近似
11、值的方法有：四舍五入法、去尾法、进一法，通常情况下，取近似数用四舍五入法，用四舍五入法取近似值时，根据要求精确到的数位，往后多看一位，且只能看一位，四舍五入.例 10、用四舍五入法对下列各数取近似数.(1)0.5730(精确到百分位 )； （2）0.04977（精确到 0.001） ；（3）2.5948（保留两位小数） ； （4）5.649（精确到 0.1）【思路点拨】根据精确度进行四舍五入.（1）中的千分位上为 3，应舍去；（2）中精确到千分位
12、，万分位上为 7，应向前一位进 1；（3）中小数点后算 3 位上的数为 4，应舍去；（4）中精确到 0.1，即精确到十分位，百分位是 4，应舍去.解：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .0.570.497.502.98.5.695【方法规律】 （3）的结果为 0.050，最末一位上的“0”不能省掉；（ 4）小题中，只能看到数字“4” 位上，不能最末一位“9”向前一位入.六、有理数的混合运算有理数的混合运算的顺序：先乘方（三级运算） ，再乘除（二级运算） ，最后加减（一级运算） ，有括号的先算括号里的，按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算从左至右的顺序计算.例 11.计算：（1） 2
13、42016313623 （2）2221332【思路点拨】按混合计算的顺序进行.解：（1）原式=.03410111682229929（2）原式= .353514923262636【方法规律】在做有理数混合运算时，以加减为分界线，分成几个部分，各部分分别计算.拓展探究一、有理数的简便运算乘方是特殊的乘法，乘法的运算律可简化运算， nnanbbA A个 个.nnababA A个例 1、计算：20172016【思路点拨】指数较大时，无法直接进行计算，两底数 、 互为倒数，可结合乘方的意义和性21质进行简便运算.解： 201720162016 120612A 个 个1【方法规律】指数较大时，无法直接进行
14、计算， 这种情况下要利用乘方的意义和性质进行简便运算.例 2、求 的值.2201613【思路点拨】幂指数较大，参加运算的数较多，无法直接进行计算，对于这样的式子要先对其进行化简，互相抵消一些项再进行计算.解：设 ，则 ，2201613S 2320173S，得 ，所以 .20172017【方法规律】本题使用的简便运算是错位相消，类似的像求 、21n的题型都可以用这种方法来求.215n例 3、为了求 的值（结果用含 n 的式子表示） ，设计了如图所示的图形：23112n（1）请你利用图求 的值；3n（2）请你利用图再设计一个求 的值的几何图形.2312n解：（1）由图可知 ；231n（2）由设计的
15、几何图形如图所示.【方法规律】本题体现了数形结合思想，利用图形面积之间的关系求式子的值，由图可知：， ， ，易得： .1222132312112nn二、运用乘方解决实际问题遇到利用有理数乘方解决实际问题这类题目时，可以从特殊情形入手，逐步分析、归纳、找出其变化规律.例 4 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了 许多根面条，每捏合一次，拉面的根数就扩大一倍，如图所示.（1）第四次捏合后拉成的面条是多少根？（2）捏合到第几次后可拉成 128 根面条？【思路点拨】第一次捏合后拉成的面条是 根，第二次捏合后拉成的面条是 根
16、，第三次捏合后拉成的122面条是 根，第 次捏合后拉成的面条是 根.3nn解：（1） （根） ；4216（2）设 次后可拉成 128 根面条，则 .x218x ， .即第四次捏合后拉成的面条是 16 根， 捏合到第 7 次后可拉成 128 根面条.787三、有理数的偶次幂的非负性形如： 、 （ 为正整数， 为有理数） ， .2ana220,na例 4、已知 ，求 .2360xyyx【思路点拨】 都具有非负性，两个非负数相加和为 0，则每一个都等于 0.2,解：因为 ，而 ，220,360xy22360xy所以 ，即 ，所以 .,441yx四、科学记数法的应用例 5、 （1）计算： ； ； ；2
17、410347210171450（2）已知式子 （其中 a、b、c 均为大于或等于 1 且小于 10 的数，mnpabcm、n、p 均为正整数）成立，请说出 m、n、p 之间存在的等量关系 .【思路点拨】 ，结果也应该用科学记数法来表示.1010mmna解：（1） ； ；2463471280；7143250.5（2）当 时， ；当 时， .abmnp10ab1mnp【方法规律】 ，当 ，用科学记数法表示为100ab；当 时，用科学记数法表示为 .mn1mn五、用科学记数法表示绝对值大于 10 的数把数写成科学记数法的形式，一般有两种方法：在 时，把已知数的小数点向左移动几位，就乘以 10 的几次
18、方；10a观察已知数的整数部分的位数，整数部分位数减去 1，就等于 10 的指数 .n例 6、用科学记数法表示下列各数：（1）3000000；（2）4800000；（3）2545.4；（4）504 万.【思路点拨】根据科学记数法的意义，要表示成 的形式，关键在于确定 和 ，要求 必须满足10naan条 件 ， 比原整数位数少 1.0an解：（1） ；（2） ；（3） ；631648.832545410（4） 5=45.0万六、由近似数确定准确值的范围例 7、近似数 1.80 所表示的准确数 x 的取值范围是（ ）A. B. &n
19、bsp; C. D.1.95.80x1.75.8185x1.79.805x【思路点拨】近似数 1.80 精确到百分位，应由千分位上的数字四舍五入得到，故当百分位上的数为 9 时，千分位上的数应不小于 5；当百分位上的数为 0 时，千分位上的数应小于 5.解：A【方法规律】由近似数确定准确值的范围时，值需要在近似数的最后一位之后再取一位，数值记为 0，再在这一位上加减 5 即可，如 ，可取 1.800，用 1.8000.005=1.795，1.800+0.005=1.805 ，还要注1.80a意“舍小不含大” ，即 795x七、取近似数都是“四舍五入”吗？取近似值常用的
20、是“四舍五入法”，但在实际问题中就不一定都是“四舍五入”，有时还要用“ 去尾法”和“进一法”.例 8、每个工人每天可加工 4 个某种零件，现需 13 个这种零件，要在 1 天内加工出来，至少需_个工人才能完成.【思路点拨】本题中所求近似数为人数的近似数，应用“进一法”，否则不能完成任务.解：4【方法规律】 “进一法” 是把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是 0，都要在保留的最后一位数上加 1.例 9、要用 50cm 的圆钢截成了 3 厘米长的一段做零件，最多可以截几段（不计损耗）？解：503=16.7，最多可以截 16 段.【方法规律】 “去尾法” 是把某一个数保留到某一指定的数
21、位为止，后面的数全部舍去.实战演练A 链接中考1.对于 与 ，下列说法正确的是（ ）2A.读法相同，底数不同，结果不同 B. 读法相同，底数相同，结果相同C. 读法不同，底数相同，结果相同 D. 读法不同，底数不同，结果不同2.下列各组数中，互为相反数的是（ ）A. 与 B. 与 C. 与 D. 与434324260.56.3.若 a，b 互为相反数（
22、 ， ） ，n 是正整数，则（ ）0abA. 和 互为相反数 B. 与 互为相反数2n 21anbC. 和 互为相反数 D. 与 互为相反数4.算式 可表示为（ ）1155AA. B. C. D.以上答
23、案均不对4151454155.n 是一个正整数，则 表示的是（ ）0nA.10 个 n 相乘所得的结果 B.n 个 10 相乘所得的结果C.10 后 面有 n 个 0 的数 D.是一个 n 位整数6.任何一个有理数的偶数次幂（ ）A.一定是正数 B.一定是负数 C.一定不是负数 D.一
24、定大于它的绝对值7.下列各式计算正确的是（ ）A. B. 326106215C. D. 5239 24348.中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，若每人每天 浪费水 0.32L，那么100 万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( ) A3.210 7L B3.210 6L C3.210 5L D3.210 4L9关于近似数 1
25、.6 万，下列说法中正确的是( ) A精确到十分位 B精确到万位 C精确到千位 D精确到个位10用四舍五入法按要求对 0.05049 分别取近似数，其中错误的是( ) A0.1(精确到 0.1) B0.05(精确到百分位) C0.05(精确到千分位) D0.050( 精确到 0.001)11如果把一个面团拉开然后对折，再拉开再对折，如此往复下去，对折 10 次拉出的面条根数是( )A20 B10 C10 2 D2 1012计算： ； ；(3) 3；(3) 325513有理数 a、b 满足 ，则 231()0bba14一个数的平方等于它本身的数是，一个数的立方
26、等于它本身的数是15计算： ；2 4(34) 5；1()； 245 23162015 年 3 月中旬的某一天有超过 190000 的游人前往武汉大学观赏樱花，其中数字 190000 用科学记数法表示为人17把 47155 精确到百位可表示为18按要求求下列各数的近似数：(1)0.00356(精确到万分位 )； (2)7.6278108(精确到百万位) ；(3)2.715 万(精确到百位 )； (4)2.99631010(精确到亿位)19计算：(1) ； (2) ；224(3) 29112(0.5)()14(3)(23) 2( 23 2)6 2； (4) 33(9)(0.).54B
27、冲刺中考20下列式子正确的是( )A2 4( 2) 2(2) 3 B(2) 32 4(2) 2C2 4(2) 3(2) 2 D( 2) 3( 2) 2 2421若 0，n 为正奇数，则 a( )aA一定是正数 B一定是负数 C可正可负 D以上都不对22若 a0，1b0，则 a、ab、ab 2 按从小到大的顺序排列为( ) Aaabab 2 Bab 2aab Cabab 2a Daab 2ab23地球绕太阳转动每小时通过的路程约是 1.1105 千米，用科学记数法表示地球转动一天(24 小时) 通过的路程约是( )A0.26410 7 千米 B2.6410 6
28、 千米 C26.410 5 千米 D26410 4 千米24下列说法正确的是( )A近似数 32 与 32.0 的精确度相同 B近似数 3. 2 万与 3.2104 精确度相同C近似数 5 万与近似数 5000 的精确度相同 D近似数 3.210 是精确到百分位25近似数 6.0 的准确值 a 的取值范围是( ) A5.5a6.4 B5.95a6.05 C5.95a6.05 D5.95a6.0526由四舍五入法得到的近似数 a2.1，b2.10，那么 a、b 的关系是( ) Aab Bab Cab D以上情况都有可能27下列结论：(1)a 20；(2)(a)
29、 4a 4；(3)(a) 5a 5；(4)(a2) 20；(5)(a1) 220；(6)(2) m0，则(1) m1 ；(7) 若(2) m0，则(1) m1；(8)若 0a1，则 a2a；(9) 的最小值为 ；1323(10)7(a3) 2 的最大值为 7，其中正确的个数为( ) A7 B8 C9 D1028观察下列算式并总结规律：3 13，3 29；3 327；3 481；5 5243；3 6729；3 72187，用你发现的规律写出 3999 的末尾数字是( ) A1 B3 C9 D729在以下的各数中，最大的为，最小的为(填序号) 3.141 3.1
30、 3.1430已知 ，求(a b)2 的值24()0ab31已知 ，求( ab) 2016a 2015 的值21()0ab来源:学科网32探索规律：观察由组成的图案和算式，请猜想：1342 2；来源:学_科_网13593 2；1357164 2；13579255 2；(1)135719；(2)请猜想：1357(2 n1)等于多少？(用含 n 的式子表示)33计算：(1) ；3221(2)(4)(3)(2) ；20151.45(3) ；22326(3)0. )(4) 22 233()1.5(1.5)48 34 在2.2，2.02，2.002，2.0202，2.00202 中最大的数除以最小的数的
31、商为 x，求：的值，并且科学法表示出它的结果591()0x35向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需 2.575s，已知无线电波每秒传播 3105km，求地球和月球之间的距离大约是多少千米(精确到千位) C 决战中考36观察下列三行数：2， 4， 8，16，32，64，；0，6 ，6， 18，30，66，； 1， 2， 4，8，16，32，(1)第行数是按什么规律排列的？(2)第、行数与第行数分别有什么关系？(3)取每行数的第 10 个数，计算这个 3 个数的和37我国著名数学家华罗庚曾经说过这样一句话：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”如图的大正方形，逐次割成面积为 ， ， ， ，
32、，请用结合的思想计算：12481632(1) ；12486(2) ；113248256(3) 12486n38观察下列各式：131 ，1 32 39 ；1 32 33 336 ，1 32 33 34 3100242424，回答下列问题：5(1)猜想 132 33 3(n 1)3n 3(直接写出你的结果) ；(2)利用你得到的(1) 中的结论计算：1 32 33 399 3100 3 的值；(3)计算：11 312 399 3100 3 的值；23 436 398 3100 3 的值( 温馨提示：(2a) 32 3a38a 3)39观察下列式子：第一个等式 a1 ；2231第二个等式 a2 ；3第三个等式 a3 ；234142第四个等式 a4 ；455按上述规律，回答下列问题：(1)用含 n 的代数式表示第 n 个等式：a n；(2)式子 a1a 2a 3a 20