1、 专题二 相反数与绝对值要点归纳1相反数 只有符号 的两个数叫做 相反数，特别地，0 的相反数是 ，除零以外的两个相反数在数轴上，位于原点的 ，且到原点的距离 ，我们称这两个点关于 对称，如果以 a、b互为相反数，则 a+b= _2绝对值一般地，数轴上表示数 a 与原点的距离叫做数 a 的 ，一个正数的绝对值是_ ； 一个负数的绝对值是它的_ _；0 的绝对值是_ _，即3有理数的大小比较：正数 0,0_负数，正数 负数；两个负数，绝对值大的反而_典例讲解经典再现一、相反数的概念只有符号不同的两个数，其中一个数是另一个的相反数，0 的相反数是 0特别注意：“只有符号不同的两个数”中的“只有”指
2、的是符号不同但是数字完全相同；相反数是成对出现，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数例 1 下列说法正确的是( )A一 2 是相反数 B 与一 2 互为相反数1c一 3 与+2 互为相反数 D 与 0.5 互为相反数【思路点拨】单独的一个数不是相反数，故 A 不对； 与一 2 互为倒数，故 B 不对；一 3 与+2 不1符合只有符号不同，故 C 不对； 0.5 即为 ， 与 0.5 只有符号不同，故 D 正确12解：D二、相反数的意义例 2 如图，点 A、B、C、D 表示的数中，表示互为相反数的两个点是( )A点 A 与点 C B点 B 与点 CC点 A 与点 D D点 B 与点 D【思路
3、点拨】根据相反数的几何意义可知，表示互为相反数的两点在原点两侧且到原点的距离相同，通过观察可以发现 A 点与 D 点满足条件，解：C【方法规律】在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称.例 33 已知 a 与 2b 互为相反数，求 3a+6b+3 的值【思路点拨】由 a 与 2b 互为相反数，可得 a+2b=0，再用 a+2b 整体代入 3a+6b+3 可求值解：因为 a 与 2b 互为相反数，所以 a+2b=0，所以 3a+6b+3=3(a+2b)+3=30+3=3【方法规律】解决此类问题的关键；由 a 与 2b 互为相反数，联想到 a+2b=0，利用整体代入法求出所求式的值，不需要考虑
4、 a、b 的取值三、相反数的表示方法求一个数的相反数，只需在这个数前面加上一个负号，如数 a 的相反数是-a ，同时-a 的相反数是a例 4 - 2a 的相反数是 ， a+b 的相反数是 【思路点拨】一个式子的相反数就是在它前面加上“一” ；a+b 的相反数应把 a+b 当作一个整体，在前面加上“一” 解：2a；一（a+b ）【方法规律】求一个式子的相反数，就在这个式子当作一个整体.四、绝对值的意义绝对值的几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0例 5 写出下列各数的绝对值1
5、31,4.542【思路点拨】 是正数，它的绝对值是它本身；0 的绝对值是 0， 都是负数，它们31,4.5,2的绝对值是它们的相反数解： = ； =0; = ； = ； =4.5; =5154321324.5例 6 已知数 a，b 在数轴对应的点的位置如图所示，则 （填“” 、 “ba解：五、绝对值及其性质例 7 若 =a-2，则 a 的取 值范围是 ；若 =-(b3)，则 b 的取值范围是2a 3b.【思路点拨】当 =a-2 时， a-20；当 =-(b3)时，b-3 0解：以2，63【方法规律】利用 =a，则 a0； =-a，则 a0 的方法来解决问题，特别注意 =-a 时 a0 中的a=
6、0 的情况.例 8 下列各式中，无论 a 为何值，一定是正数 的是( )A, B. C. +l D.-(-a)a1【思路点拨】选项 A 中，若 a=0 时，不符合题意；选项 B 中，当 a= -1 时， =0，不符合题意；1a选项 D 中，-（-a）=a，这显然也不符合题意；选项 C 中，因为 0，所以 +11，符合题意，aa解：C【方法规律】有绝对值的非负性得，- 一定是非正数， 与一个整数之和一定是正数a六、有理数的大小比较（1）利用数轴比较有理数的大小，数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数；（2）负数的大小比较：绝对值大的数反而小，比较步骤：分别计算两数的绝对值；比较绝对值的大小；
7、判断两数的大小例 9 比较下列各数的大小：（1） 和 ； （2） 和3.13； （3） 和 0； （4） 和 56775156【思路点拨】我们可以运用绝对值比较两个有理数的大小解：（1）因为 ， ，且 ，所以 ；5364267426427（2）因为 ， ，且 3.143.13，所以 3.13；2.17.3.12（3）因为 ，且50，所以 0；5（4） ， 因为正数大于负数，所以 16 156拓展探究一、相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0 的相反数是 0来源:学科网 ZXXK例 1 已知 ab0，bc0，ad0，则（ ）Ac 与 d
8、 相等 Ba 与 c 互为相反数 Ca 与 b 相等 Db 与 c 相等【思路点拨】ab0，则 a 与 b 互为相反数，bc0，则 c 与 b 互为相反数，所以 a 与 c 相等，ad0，则 a 与 d 相等，所以 c 与 d 相等解：A【方法规律】任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0 的相反数是 0【方法规律】由 ab0，可知 a 与 b 互为相反数，反之，若 a 与 b 互为相反数，则必有ab0，由 ab0，可知 a 与 b 相等二、多重符号的化简规律多重符号化简的的结果由“”号的个数决定，与“”号无关，如果“”号的个数是奇数，那么结果为“
9、” ，如果“”号的个数是偶数，那么结果为“” 例 2 化简下列个数：（1）(12)； （2）(5) ； （3）(3)； （4）(5)；（5）( )； （6）( a) 3【思路点拨】多重符号化简的的结果由“”号的个数决定，与“”号无关解：（1）(12)12；（2）(5) 5；（3）( 3)3；（4）(5)5；（5）( ) ； （6）( a)a32三、绝对值中的分类讨论由 ，可知 ab，再根据限制条件确定 a 的值ab例 3 已知 ， ，且 ab，求 a 与 b 的值54【思路点拨】因为 ，所以 a5；因为 ，所以 b4，本题要在 ab 的条件下进行54分类讨论解：因为 ，所以 a5；因为 ，所以
10、 b45a4b所以 ，或 ，或 ，或 ，4b45a因为 ab，所以 ，或 5a4b【方法规律】多重符号中，如果“”号的个数是奇数，那么结果为“” ，如果“”号的个数是偶数，那么结果为“” ，简称“奇负偶正” 【方法规律】绝对值为 0 的数只有一个 0，绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数，绝对值不可能为负数四、含有字母的绝对值的化简化简绝对值：先判定这个数是正数、零还是负数，再由绝对值的意义确定去掉绝对值的符号，判断结果是等于它本身还是等于它的相反数例 4 (abc0) 的所有可能的结果有（ ）个bacaA1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】由本题的特殊结构可整体分 类：可分 a
11、、b、c 中没有正数，只有一个正数，有两个正数，有三个正数四种情况若 a、b、c 中没有正数，即全为负数，则原式4；若 a、b、c 中只有一个正数，不妨设 a 为正数，其余均为负数，则原 式0；若 a、b、c 中只有两个正数，不妨设 a、b 为正数，c 为负数，则原式0 ；若 a、b、c 中全为正数，则原式4解：C五、比较有理数大小的方法比较多个有理数的大小有三种方法：分类法，先按正数、0、负数分类，再分别比较；数轴法，数轴上右边的数总比左边的数大；取特殊值法，即取符合题目条件的具体数字代换题中字母进行比较例 5 若 m0，n0，| m | n |，用“”将 m，m ，n，n 连接起来【思路点
12、拨】可用上面讲的三种方法比较大小解：方法一：m0，n0，m 为正数，m 为负数，n 为负数，n 为正数又 正数大于一切负数，且| m | n |， m nnm方法二：因为 m0，n0， | m | n |，所以 m， n，m，n 表示在数轴上如图所示- mn0-nm数轴上右边的数总比左边的数大， mnnm 【方法规律】对每个“ ”形式化简，然后求值；如果对 a、b、c 逐个性质进行分类，共有a8 种情形，比较复杂，所以只需要整体考虑正、负数的个数，即可计算10-1 ba0-1 a方法三：选取符合条件的数，设 m2，n1（符合 m0，n0，| m | n |） ，则m2，n1，而 2 112 m
13、nnm实战演练A 链接中考12a 的相反数是 ，ab 的相反数是 2化简下列个数(5) ； ( 8) ； ( ) ； ( ) ；1218( 2 ) ； ( 0.3) 133若| a4 |a4，则 a 的取值范围是 ；若| b 5 |(a4) ，则 b 的取值范围是 4已知数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则| a | | b |(填“” ， “”或“”) 5| a |4.5 ，则 a（ ） A4.5 B4.5 C4.5 D0 或 4,56若 a0，则 的值是（ ）A1 B0 C1 D17下列判定中：负数没有绝对值；绝对值最小的有理数是 0；任何数的绝对值都是非负数；互为相反数的两个数的
14、绝对值相等其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8有理数 a 在数轴上对应点如图所示，则 a、a、1 的大小关系是（ ）Aaa1 B1aa C a1a D aa19下列说法正确的是（ ）A因为相反数是成对出现的，所以 0 没有相反数 B符号不同的两个数互为相反数 C正数与负数互为相反数 D只有零的相反数是它本身10在数轴上，3.9 在3.99 的 边，它们的大小关系是 11下列四个数中，其相反数是正整数的是（ ）A4 B C3 D14 1312若| x |2015，则 x ； 若| x |2015，则 x ；若| x2015 |0，则 x 13绝对值大于 2，且不大于 4
15、 的整数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个14下列四个数表示的是四个足球与标准克数偏差的克数，其中质量较好的是（ ）A10 B20 C5 D15B 冲刺中考15下列各对数中，互为相反数的有（ ） 3 与(3) ；(2)与2；(2) 与( 2)；(5)与( 5)； (4)与 (4)A5 对 B4 对 C3 对 D2 对16下列各式的结论，成立的是（ ）A若| x | y |，则 xy； B若 xy ，则 | x | y|；C若| x | y |，则 xy ； D若 xy 0，则| x | y|17 所有可能的值有（ ）0A1 个 B2 个 C3 个 D4 个18若| a|2， | b
16、|5，则 a b（ ）A3 B7 C3 或 7 D3 或719相反数等于5 的数是 ，倒数等于 的数是 ，绝对值等于 5 的数是 1520下列说法正确的有（ ）3.14 的相反数是；0.5 的相反数是 ；(2.5) 的相反数是 2.5；互为相反数的两2个数到原点的距离相等；正数和负数互为相反数；一个数和它的相反数不可能相等来源:Zxxk.ComA0 个 B1 个 C2 个 D3 个21在如图的数轴上，0 为原点，数轴上的点 P、Q 、R、S 所表示的数分别为 a、b、c、d，请问下列大小关系不正确的是（ ）来源:学科网1 SRQPa b dcOA| a | | d | B| b |c | C|
17、 a | b | D| b |d22若a3，则(a) ，( a) 23已知| x | y |，2x4，则 y 24已知|3 x |与| y1 |互为相反数，则 的值为 2xy25求下列各式中 a 的值（1）已知 a 的绝对值等于 6，求 a；（2）已知| b| | a |且 b4，求 a；（3）| a |不大于 4 的所有整数 a；（4）已知 a 是整数，且 3| a |5，求 a26定义新运算：规定 ab| b|，aba，如 a 3，b4，则 ab| 4|4，ab3根据以上规定比较 5(7)与 5(7) 的大小27小虫从某点 O 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的
18、路程记为负数，爬过的各段路程依次记为（单位：cm）：5，3，10，8，6，12，10（1）小虫离开出发点 O 最远是多少厘米？（2）在爬行过程中，每爬行 1cm 奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？C 决战中考28已知 m 与 n 互为相反数， a 与 b 的乘积为 1，c(4)，求 3ma b3nc 的值29已知| x2 | x y5 |0，求 x、y 的值来源:学#科#网 Z#X#X#K来源:Z,xx,k.Com30已知| xy 2 |与| y1 |互为相反数试求代数式 的值112206xxyxy31| a |具有非负性，它的最小值为 0，试讨论：x 为何有理数时，| x1 | x3 |有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由32解答下列问 题：（1）已知 a1，|b |2，若 ab，求 b 的值；已知 a2，|b |1，若 a b，求 b 的值；（2）已知|a |1，|b |2，若 ab，求 a、b 的值；已知|a |2， |b |1，若 a b，求 a、b 的值；（3）已知|a |1，|b |2， |c |3，若 abc，求 a、b、c 的值；已知|a |3， |b |2，| c |1，若 abc，求 a、b、c 的值