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2019年中考数学复习讲义:专题(二)相反数与绝对值.doc

1、 专题二 相反数与绝对值要点归纳1相反数 只有符号 的两个数叫做 相反数,特别地,0 的相反数是 ,除零以外的两个相反数在数轴上,位于原点的 ,且到原点的距离 ,我们称这两个点关于 对称,如果以 a、b互为相反数,则 a+b= _2绝对值一般地,数轴上表示数 a 与原点的距离叫做数 a 的 ,一个正数的绝对值是_ ; 一个负数的绝对值是它的_ _;0 的绝对值是_ _,即3有理数的大小比较:正数 0,0_负数,正数 负数;两个负数,绝对值大的反而_典例讲解经典再现一、相反数的概念只有符号不同的两个数,其中一个数是另一个的相反数,0 的相反数是 0特别注意:“只有符号不同的两个数”中的“只有”指

2、的是符号不同但是数字完全相同;相反数是成对出现,不能单独存在,单独的一个数不能说是相反数例 1 下列说法正确的是( )A一 2 是相反数 B 与一 2 互为相反数1c一 3 与+2 互为相反数 D 与 0.5 互为相反数【思路点拨】单独的一个数不是相反数,故 A 不对; 与一 2 互为倒数,故 B 不对;一 3 与+2 不1符合只有符号不同,故 C 不对; 0.5 即为 , 与 0.5 只有符号不同,故 D 正确12解:D二、相反数的意义例 2 如图,点 A、B、C、D 表示的数中,表示互为相反数的两个点是( )A点 A 与点 C B点 B 与点 CC点 A 与点 D D点 B 与点 D【思路

3、点拨】根据相反数的几何意义可知,表示互为相反数的两点在原点两侧且到原点的距离相同,通过观察可以发现 A 点与 D 点满足条件,解:C【方法规律】在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称.例 33 已知 a 与 2b 互为相反数,求 3a+6b+3 的值【思路点拨】由 a 与 2b 互为相反数,可得 a+2b=0,再用 a+2b 整体代入 3a+6b+3 可求值解:因为 a 与 2b 互为相反数,所以 a+2b=0,所以 3a+6b+3=3(a+2b)+3=30+3=3【方法规律】解决此类问题的关键;由 a 与 2b 互为相反数,联想到 a+2b=0,利用整体代入法求出所求式的值,不需要考虑

4、 a、b 的取值三、相反数的表示方法求一个数的相反数,只需在这个数前面加上一个负号,如数 a 的相反数是-a ,同时-a 的相反数是a例 4 - 2a 的相反数是 , a+b 的相反数是 【思路点拨】一个式子的相反数就是在它前面加上“一” ;a+b 的相反数应把 a+b 当作一个整体,在前面加上“一” 解:2a;一(a+b )【方法规律】求一个式子的相反数,就在这个式子当作一个整体.四、绝对值的意义绝对值的几何意义:一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0 的绝对值是 0例 5 写出下列各数的绝对值1

5、31,4.542【思路点拨】 是正数,它的绝对值是它本身;0 的绝对值是 0, 都是负数,它们31,4.5,2的绝对值是它们的相反数解: = ; =0; = ; = ; =4.5; =5154321324.5例 6 已知数 a,b 在数轴对应的点的位置如图所示,则 (填“” 、 “ba解:五、绝对值及其性质例 7 若 =a-2,则 a 的取 值范围是 ;若 =-(b3),则 b 的取值范围是2a 3b.【思路点拨】当 =a-2 时, a-20;当 =-(b3)时,b-3 0解:以2,63【方法规律】利用 =a,则 a0; =-a,则 a0 的方法来解决问题,特别注意 =-a 时 a0 中的a=

6、0 的情况.例 8 下列各式中,无论 a 为何值,一定是正数 的是( )A, B. C. +l D.-(-a)a1【思路点拨】选项 A 中,若 a=0 时,不符合题意;选项 B 中,当 a= -1 时, =0,不符合题意;1a选项 D 中,-(-a)=a,这显然也不符合题意;选项 C 中,因为 0,所以 +11,符合题意,aa解:C【方法规律】有绝对值的非负性得,- 一定是非正数, 与一个整数之和一定是正数a六、有理数的大小比较(1)利用数轴比较有理数的大小,数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数;(2)负数的大小比较:绝对值大的数反而小,比较步骤:分别计算两数的绝对值;比较绝对值的大小;

7、判断两数的大小例 9 比较下列各数的大小:(1) 和 ; (2) 和3.13; (3) 和 0; (4) 和 56775156【思路点拨】我们可以运用绝对值比较两个有理数的大小解:(1)因为 , ,且 ,所以 ;5364267426427(2)因为 , ,且 3.143.13,所以 3.13;2.17.3.12(3)因为 ,且50,所以 0;5(4) , 因为正数大于负数,所以 16 156拓展探究一、相反数的性质任何一个数都有相反数,而且只有一个,正数的相反数一定是负数;负数的相反数一定是正数;0 的相反数是 0来源:学科网 ZXXK例 1 已知 ab0,bc0,ad0,则( )Ac 与 d

8、 相等 Ba 与 c 互为相反数 Ca 与 b 相等 Db 与 c 相等【思路点拨】ab0,则 a 与 b 互为相反数,bc0,则 c 与 b 互为相反数,所以 a 与 c 相等,ad0,则 a 与 d 相等,所以 c 与 d 相等解:A【方法规律】任何一个数都有相反数,而且只有一个,正数的相反数一定是负数;负数的相反数一定是正数;0 的相反数是 0【方法规律】由 ab0,可知 a 与 b 互为相反数,反之,若 a 与 b 互为相反数,则必有ab0,由 ab0,可知 a 与 b 相等二、多重符号的化简规律多重符号化简的的结果由“”号的个数决定,与“”号无关,如果“”号的个数是奇数,那么结果为“

9、” ,如果“”号的个数是偶数,那么结果为“” 例 2 化简下列个数:(1)(12); (2)(5) ; (3)(3); (4)(5);(5)( ); (6)( a) 3【思路点拨】多重符号化简的的结果由“”号的个数决定,与“”号无关解:(1)(12)12;(2)(5) 5;(3)( 3)3;(4)(5)5;(5)( ) ; (6)( a)a32三、绝对值中的分类讨论由 ,可知 ab,再根据限制条件确定 a 的值ab例 3 已知 , ,且 ab,求 a 与 b 的值54【思路点拨】因为 ,所以 a5;因为 ,所以 b4,本题要在 ab 的条件下进行54分类讨论解:因为 ,所以 a5;因为 ,所以

10、 b45a4b所以 ,或 ,或 ,或 ,4b45a因为 ab,所以 ,或 5a4b【方法规律】多重符号中,如果“”号的个数是奇数,那么结果为“” ,如果“”号的个数是偶数,那么结果为“” ,简称“奇负偶正” 【方法规律】绝对值为 0 的数只有一个 0,绝对值为正数的数有两个,它们互为相反数,绝对值不可能为负数四、含有字母的绝对值的化简化简绝对值:先判定这个数是正数、零还是负数,再由绝对值的意义确定去掉绝对值的符号,判断结果是等于它本身还是等于它的相反数例 4 (abc0) 的所有可能的结果有( )个bacaA1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】由本题的特殊结构可整体分 类:可分 a

11、、b、c 中没有正数,只有一个正数,有两个正数,有三个正数四种情况若 a、b、c 中没有正数,即全为负数,则原式4;若 a、b、c 中只有一个正数,不妨设 a 为正数,其余均为负数,则原 式0;若 a、b、c 中只有两个正数,不妨设 a、b 为正数,c 为负数,则原式0 ;若 a、b、c 中全为正数,则原式4解:C五、比较有理数大小的方法比较多个有理数的大小有三种方法:分类法,先按正数、0、负数分类,再分别比较;数轴法,数轴上右边的数总比左边的数大;取特殊值法,即取符合题目条件的具体数字代换题中字母进行比较例 5 若 m0,n0,| m | n |,用“”将 m,m ,n,n 连接起来【思路点

12、拨】可用上面讲的三种方法比较大小解:方法一:m0,n0,m 为正数,m 为负数,n 为负数,n 为正数又 正数大于一切负数,且| m | n |, m nnm方法二:因为 m0,n0, | m | n |,所以 m, n,m,n 表示在数轴上如图所示- mn0-nm数轴上右边的数总比左边的数大, mnnm 【方法规律】对每个“ ”形式化简,然后求值;如果对 a、b、c 逐个性质进行分类,共有a8 种情形,比较复杂,所以只需要整体考虑正、负数的个数,即可计算10-1 ba0-1 a方法三:选取符合条件的数,设 m2,n1(符合 m0,n0,| m | n |) ,则m2,n1,而 2 112 m

13、nnm实战演练A 链接中考12a 的相反数是 ,ab 的相反数是 2化简下列个数(5) ; ( 8) ; ( ) ; ( ) ;1218( 2 ) ; ( 0.3) 133若| a4 |a4,则 a 的取值范围是 ;若| b 5 |(a4) ,则 b 的取值范围是 4已知数 a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,则| a | | b |(填“” , “”或“”) 5| a |4.5 ,则 a( ) A4.5 B4.5 C4.5 D0 或 4,56若 a0,则 的值是( )A1 B0 C1 D17下列判定中:负数没有绝对值;绝对值最小的有理数是 0;任何数的绝对值都是非负数;互为相反数的两个数的

14、绝对值相等其中正确的个数有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8有理数 a 在数轴上对应点如图所示,则 a、a、1 的大小关系是( )Aaa1 B1aa C a1a D aa19下列说法正确的是( )A因为相反数是成对出现的,所以 0 没有相反数 B符号不同的两个数互为相反数 C正数与负数互为相反数 D只有零的相反数是它本身10在数轴上,3.9 在3.99 的 边,它们的大小关系是 11下列四个数中,其相反数是正整数的是( )A4 B C3 D14 1312若| x |2015,则 x ; 若| x |2015,则 x ;若| x2015 |0,则 x 13绝对值大于 2,且不大于 4

15、 的整数有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个14下列四个数表示的是四个足球与标准克数偏差的克数,其中质量较好的是( )A10 B20 C5 D15B 冲刺中考15下列各对数中,互为相反数的有( ) 3 与(3) ;(2)与2;(2) 与( 2);(5)与( 5); (4)与 (4)A5 对 B4 对 C3 对 D2 对16下列各式的结论,成立的是( )A若| x | y |,则 xy; B若 xy ,则 | x | y|;C若| x | y |,则 xy ; D若 xy 0,则| x | y|17 所有可能的值有( )0A1 个 B2 个 C3 个 D4 个18若| a|2, | b

16、|5,则 a b( )A3 B7 C3 或 7 D3 或719相反数等于5 的数是 ,倒数等于 的数是 ,绝对值等于 5 的数是 1520下列说法正确的有( )3.14 的相反数是;0.5 的相反数是 ;(2.5) 的相反数是 2.5;互为相反数的两2个数到原点的距离相等;正数和负数互为相反数;一个数和它的相反数不可能相等来源:Zxxk.ComA0 个 B1 个 C2 个 D3 个21在如图的数轴上,0 为原点,数轴上的点 P、Q 、R、S 所表示的数分别为 a、b、c、d,请问下列大小关系不正确的是( )来源:学科网1 SRQPa b dcOA| a | | d | B| b |c | C|

17、 a | b | D| b |d22若a3,则(a) ,( a) 23已知| x | y |,2x4,则 y 24已知|3 x |与| y1 |互为相反数,则 的值为 2xy25求下列各式中 a 的值(1)已知 a 的绝对值等于 6,求 a;(2)已知| b| | a |且 b4,求 a;(3)| a |不大于 4 的所有整数 a;(4)已知 a 是整数,且 3| a |5,求 a26定义新运算:规定 ab| b|,aba,如 a 3,b4,则 ab| 4|4,ab3根据以上规定比较 5(7)与 5(7) 的大小27小虫从某点 O 出发在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的

18、路程记为负数,爬过的各段路程依次记为(单位:cm):5,3,10,8,6,12,10(1)小虫离开出发点 O 最远是多少厘米?(2)在爬行过程中,每爬行 1cm 奖励一粒芝麻,则小虫一共得到多少粒芝麻?C 决战中考28已知 m 与 n 互为相反数, a 与 b 的乘积为 1,c(4),求 3ma b3nc 的值29已知| x2 | x y5 |0,求 x、y 的值来源:学#科#网 Z#X#X#K来源:Z,xx,k.Com30已知| xy 2 |与| y1 |互为相反数试求代数式 的值112206xxyxy31| a |具有非负性,它的最小值为 0,试讨论:x 为何有理数时,| x1 | x3 |有没有最小值?如果有,求出这个最小值;如果没有,请说明理由32解答下列问 题:(1)已知 a1,|b |2,若 ab,求 b 的值;已知 a2,|b |1,若 a b,求 b 的值;(2)已知|a |1,|b |2,若 ab,求 a、b 的值;已知|a |2, |b |1,若 a b,求 a、b 的值;(3)已知|a |1,|b |2, |c |3,若 abc,求 a、b、c 的值;已知|a |3, |b |2,| c |1,若 abc,求 a、b、c 的值