1、 专题十一 一元一次方程的应用-行程与工程问题1. 工作总量= ，工作量= .2. 路程= ；船在水中航行，顺流速度= + ；逆流速度= - .3. 列一元一次方程解决实际问题的基本过程：4. 用方程解决实际问题的一般步骤： 审题 列方程 解方程 答题一、产品配套问题例 1 一张方桌由一个桌面和四条腿组成，如果 1 立方米料可制作方桌的桌面 50 个活制作 桌腿 300 条，现有 5 立方米木料，请设计一个方案，用多少木料做桌面，用多少木料 做桌腿，恰好配成方桌多少张？【思路点拨】要使桌面与桌腿配套，生产的桌面与桌腿的数量要满足一定的关系.解：设用 x 立方米木料做桌面，则 450x =300
2、（5-x）,解得：x=3，50x = 150.答：用 3 立方米木料做桌面，2 立方米木料做桌腿，恰好配成方桌 150 张.【方法规律】配套问题的关键是找出配套的两者之间的数量关系，从而列出方程，在答题 之前要仔细分析题目要求，不要漏求.二、工程问题1. 将工作总量看作整体“1”来源:学+科+网例 2 一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，丙单独做 24 天完成现在甲、乙 和做 3 天，甲因事离 去，余下的工程由乙、丙和做完成，求乙共做多少天？【思路点拨】将工作总量看作整体“1” ，再审清题意，工作总量如何完成，进而列出方程.解：设乙共做 x 天，得： ，解得 x=6.124
3、3x答：乙共做 6 天.【方法规律】找出题意中工作量是怎样完成，建立方程，同时工作总量看作整体“1” ，还要注意所求与所设是否一致.2. 工作总量是具体数量例 3 挖一条长 2020 米的水渠，由甲、乙两个施工队从两头相向施工，甲队每天挖 130 幂，乙队每天挖 90 米.甲队先挖两天，剩下的由两队共同完成.完成这项工程共需多少天？【思路点拨】找出甲、乙各完成工作量，两人的工作量之和即为总量.解：设完成这项工程共需 x 天，得：130x +90(x -2)=2020，解得 x=10.答：完成这项工程共需 10 天.【方法规律】工作总量是具体数量时，要找出各自完成的工作量，还需注意各自的工作时间
4、是多少.实际问题 一元一次方程解一元一次方程得出实际问题的答案三、行程问题1. 相遇问题例 4 甲、乙两车从 A、B 两地相向而行，甲车比乙车早出发 15 分钟，甲、乙两车的速度比为 2:3，相遇时甲比乙少走 6 千米，已知乙车走了 1 小时 30 分，求甲、乙两车的速度和两地距离.【思路点拨】先找到等量关系式，然后分析题中量的联系，进而列出方程.如等量关系是“相遇时甲比乙少走 6 千米” ，对应找出相遇时，甲行的路程与乙行的路程代数式.来源:Zxxk.Com解：设甲车速度为 2x 千米/时，则乙车速度为 3x 千米/时，得：，解得 x=6,2x = 12 ,3x =18,031015632x
5、两地相距： ）（ kmx486答：甲车速度为 12km/h，乙车速度为 18km/h，两地相距 48km.【方法规律】相遇问题中要紧抓相遇时两人时间一致，且两人的路程和等于总路程，往往以路程关系建立方程.2. 追及问题例 5 小明、小亮两人相距 40km，小明先出发 1,5h，小亮再出发，小明在后小亮在前，两人同向而行，小明的速度为 8km/h，小亮的速度为 6km/h，小明出发后几小时追上小亮？【思路点拨】追及问题中追及路程=小明的行程-小亮的行程解：设小明出发 xh 后追上小亮，得 8x - 6(x-1.5)=40，解得 x = 15.5.答：小明出发 15.5 小时后追上小亮.【方法规律
6、】追及问题的等量关系与追及路程有关，找准路程关系式，建立方程即可解决问题.来源:学科网 ZXXK3. 行船问题例 6 在一条直线的长河中有甲、乙两船，现同时由 A 地顺流而下，乙船到 B 地时接到通知，需立即返回 C 地执行任务，甲船继续航行 .已知甲、乙两船在静水中的速度都是 7.5 千米/时，水流的速度是 2.5/时，A、C 两地间的距离为 10 千米，如果乙船由 A 地经 B地再到 C 地共用 4 小时，问乙船从 B 地到达 C 地时，甲船离 B 地有多远？【思路点拨】分析题意，找出 C 地可能所处位置分类讨论，同时注意速度之间的联系.解：设乙船由 B 到 C 用 x 小时.若 C 在
7、AB 之间，有方程 ，解得 x=2，10)5.27(-45.27xx）（则甲船离 B 地 ；（ 千 米 ）0.5若 C 在 A 地上游，有方程 ，解得 ,4).(.-xx 310x则甲船离 B 地 .所以甲船离 B 地为 20 千米或 千米.（ 千 米 ）31.27【方法规律】行船问题首先要关注速度之间的关系，同时利用路程之间的数量关系列出方程.4.桥梁问题例 7 一列火车匀速行驶，经过一座 1000 米的铁路桥，从车头上桥到车身全部通过铁路桥需 要 1 分钟，并且车身全部在桥上的时间为 40 秒钟，求火车的速度和火车的长度.【思路点拨】车身全部通过桥梁是指火车在桥上行程为车身加上桥长，而车身
8、全部在桥上 行程为桥长减去车长.故可以利用车长作等量关系建立方程.解：设火车速度为 xm/s，得： 60x - 1000=1000-40x，解得：x=20,60x - 1000=200答：火车的速度为 20m/s，火车的速度为 200m.【方法规律】熟练运用桥长与车长的关系，并且能分析出题目中隐含的等量关系，建立方程.一、巧设元例 1 某队伍长 450 米，以每分钟 90 米的速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为 3 米/秒，问往返共需多少时间？【思路点拨】这一问题实际上分为两个过程：从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；从排头回到排尾的过程则是
9、一个相遇过程.解：设追及时间为 x 秒，因为 90 米/分=1.5 米/秒，得：3x - 1.5x= 450 ，所以 x=300。设通讯员从排头返回排尾用了 y 秒，得：3y+1.5y=450，所以 y=100，x +y=400。答： 通讯员往返共用了 400 秒.【方法规律】能将一个问题分成两个问题来求.二、情景应用题例 2 某工程队承包了某段全长 1775 米的过江隧道施工任务，甲乙两个班组分别从东、西两端同时掘进，已知甲组比乙组平均每天多掘进 0.6 米，经过 5 天施工，两组共掘进45 米.（1）求甲、乙两个班平均每天各掘进多少米？（2）为了加快速度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，
10、甲组平均每天能比原来多掘进 0.2 米，乙组平均每天能比原来多掘进 0.3 米. 按此施工速度，能够比原来少用多少天完成任务？【思路点拨】找等量关系：甲组比乙组每天平均多掘进 0.6 米；5 天内甲、乙两组共掘进 45 米.解：（1）设乙班组平均每天掘进 x 米，则甲班组平均每天掘进（x+0.6）米，5x + 5(x+0.6)=45 ,解之得：x =4.2 ，则 x+0.6=4.8 答：甲、乙两个班组平均每天掘进 4.8 米，4.2 米.（2）改进技术后，甲组平均每天掘进 4.8+0.2=5（米）.乙组平均每天掘进 4.2+0.3=4.5（米）所以改进技术后，余下工程所用时间：（1755 -
11、45）（5+4.5）=180（天）按原来速度，余下工程所用时间：（1755 - 45）（4.8+4.2）=190（天） ，所以 190-180=10（天）答：改进技术后能够比原来少用 10 天完成任务.【方法规律】情况类问题，先要审清题目，理清各类条件，再理解题目，如何设元，建立方程.A 链接中考1. 小悦买书需用 48 元钱，付款时恰好用了 1 元和 5 元的纸币共 12 张，设所用的 1 元纸币为 x 张，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A. x+5(12-x)=48 B. x+5(12-x)=48 C. x+5(12-x)=48 D. 5x+ (12 - x)=482. 一艘轮船在河
12、中航行，已知该轮船在河水中顺流航行的速度为 20 千米/时，逆流航行的速 度为 16 千米/时，那么水流的速度为（ ）A. 2 千米/时 B. 4 千米/ 时 C. 18 千米/时 D. 不能确定3. 如果甲、乙、丙三村和修一条公路，计划出工 84 人，按 3:4:7 出工，求各村出工的人数.设甲、乙、丙三村分别派 3x 人、4x 人、7x 人，依题意得 3x+4x+7x=84；设甲村派 x 人，依题意得 x+4x+7x=84；设乙村派 x 人，依题意得 ；84设丙村派 x 人，依题意得 3x +4x +x = 84.上面所列方程中正确的有（ ）A. 1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4
13、 个4.小华带 x 元去买甜点，若全买 红豆汤圆刚好可买 30 杯，若全买豆花刚好可买 40 杯.已知豆花每杯比红豆汤圆便宜 10 元，依 题意可列出方程为（ ）A. B. C. D. 031034x014x301x5. 甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数的比是 6:7：4.5，已知甲车比丙车多运货物 12 吨，则三辆卡车共运货物（ ）A. 120 吨 B. 130 吨 C. 140 吨 D.150 吨6. 汽车以 72 千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4 秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为 340 米/秒.设听到回响时，汽车离山谷 x
14、米，根据题意 ，列出方程为（ ）A. 2x +420=4340 B. 2x - 472=4340C. 2x +472=4340 D. 2x - 420=43407. 一列火车匀速驶入长 300 米的隧道，从它开始进入到完全通过历时 25 秒钟，隧道顶部一盏固定灯在火车上垂直照射的时间为 10 秒，则火车的长为 .8.甲从 A 地以 6 千米/时的速度向 B 地行驶，40 分钟后，乙从 A 地以 8 千米/时的速度追甲，结果乙在离 B 地还有 5 千米的地方追上了甲，则甲、乙两地的距离是 千米.9. 一只轮船顺流航行，每小时 20 千米，逆流航行，每小时 16 千米，则轮船的静水速度为千米/时，
15、水流速度为 千米/时.10.A、B 两地相距 480km，一列慢车从 A 地开出，每小时行 60km，一列快车从 B 地开出，每小时行 65km.若慢车先开出 1h，相向而行，快车开出 xh 后相遇，由此条件列出方程 .11.已知风速为 10 千米/时，飞机在逆风中飞行速 度为 250 千米/时，则飞机在顺风中飞行的速度为（ ）A. 250 千米/时 B. 260 千米/时 C. 270 千米/时 D.280 千米/时12.一艘轮船在甲、乙两个码头间航行，顺水航行的速度为 80 千米/时，逆水航行的速度为50 千米/时，则水流的速度为（ ）A. 10 千米/时 B. 15 千米/时 C.20
16、千米/时 D.25 千米/时13.某蔬菜公司收购到某种蔬菜 104 吨，准备加工后上市销售，该公司加工该种蔬菜每天可以精加工 4 吨或粗加工 8 吨.现计划用 16 天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工、几天粗加工？14.一水池装有甲、乙、丙三个水管，甲、乙两管是注水管，丙管是排水管，单独开甲管 6小时可注满水池，单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 12 小时可把满水池的水排 完.现在先打开甲、乙两管进水 2 小时，再打开丙管，问打开丙管几小时后可将水池注满水？15.有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长
17、度比第一铁桥长 度的 2 倍短 50 米，试求各铁桥的长.16.某船从 A 港顺流而下到达 B 港口，然后逆流返回，到达 A、B 间的 C 港口时，一共航行了 7 小时，已知此船在静水中的速度为 8 千米/时，A、C 港口相距 6 千米，求 A、B 两港口间的距离.B 冲刺中考17.某车间有 26 名工人，每人每天能生产螺栓 12 个或螺母 18 个，设有 x 名工人生产螺栓，每天生产的螺栓和螺母按 1:2 配装，则所列方程正确的是（ ）A.12x=18(26-x) B.18x = 12(26-x) C.212x = 18(26-x) D.218x=12(26-x)18. 9 人 14 天完成
18、一件工作的 ，而剩下的工作要在 4 天内完成，则需要增加的人数是（ ）53A. 11 人 B.12 人 C.13 人 D.14 人19.如图所示，甲乙两人从相距 20 千米的 A、B 两地去 C 地，已知 A、B、C 三地在同一条公路上.乙步行每小时走 5 千米，先走 1.5 小时候，甲开始从 A 地出发，甲骑自行车走了 1 小时 20 分钟，两人同时到达 C 地，求甲的速度.设甲的速度为 x 千米/时，则可得方程 （ ）A. 1.2x=20+51.5 B. 1.2x=20+51.5+51.2来源:学科网C. D. 6021060620.在高速公路上，一辆长 4 米，速度为 110 千米/时的
19、轿车准备超越一辆长 12 米，速度为 100 千米/时的卡车，则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间约是（ ）A 1.6 秒 B 4.32 秒 C 5.76 秒 D 345.6 秒21.41 人参加运土，有 30 根扁担，应安排多少人挑土，多少人抬土，可使扁担数和人数正好相配？设安排 x 人挑土，可列方程 .22.某服装车间有 54 名工人，每人每天可加工上衣 8 件或裤子 10 条，应该怎样分配人数，才能使每天生产 的上衣和裤子配套？设有 x 人做上衣，则做裤子的人数为 ，根据题意，列出的方程为 .23.批阅一批试卷，由一个人批阅需 20 天才能完成，现由 3 人批阅 2 天，若剩下的试
20、卷要在 2 天内批阅完毕，则应增加（假设每个人的工作效率都相同） （ ）A 2 人 B 3 人 C 4 人 D 5 人24.元代朱世杰所著的（算学启蒙）里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”请你回答：良马 天可以追上驽马.25.某中学开展校外植树活动，让七年级学生单独种植，需要 7.5 小时完成；让八年级学生单独种植，需要 5 小时完成.现在让七年级和八年级学生先一起种植 1 小时，再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少小时完成？26.小明沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：“后面有一辆自行车吗？”司机回答说：“ 10 分钟前我超过
21、一辆自行车.小明又问：”你的车速是多少？“司机回答：” 75 千米/小时.“小明又继续走了20 分钟就遇到了这辆自行车，小明估计自己步行的速度 3 千米/小时，这样小明就算出了这辆自行车的速度.请问自行车的速度是多少？27.A、 B 两站间的距离为 448km，一列慢车从 A 站出发，每小时行驶 60km，一辆快车从 B 站出发，每小时行驶 80km.问：（1） 两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？（2） 两车相向而行，慢车先开 28min，快车开出多少小时后两车相遇？（3）如果两车都从 A 站开向 B 站，要使两车同时到达，慢车应先出发多少小时？28.A、 B 两地相距 200 千米
22、，甲车以每小时 48 千米的速度从 A 地驶向 B 地，乙车以每小时 32 千米的速度从 B 地驶向 A 地，若两车同时出发，几小时后两车相距 40 千米？C 决战中考29.小聪从家到学校，如果每分钟走 100 米，就会迟到 3 分钟；如果每分钟走 150 米，就会早到 3 分钟，问小聪每分钟走多少米才能按时到校？设小聪按时到校要 x 分钟，则可列方程为 .30.一辆翻斗车向工地运送一批石子，第一天运了这堆石子的 还多 2 吨，第二天运了剩下的 少 1 吨，12这时还剩下 38 吨没运完.设这堆石子有 x 吨，则列出的方程为 .31.有两只同样长的蜡烛，一支能点燃 4 小时，另一支能点燃 3
23、小时，一次遇到停电，同时点燃这两支蜡烛，来电后同时吹灭，发现其中的一支是另一支的一半，停电时间为（ ）小时.A 2 B C 3 D5122532.在 5 月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速 10 千米/小时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行 2 千米所用时间，与以最大速度逆流航行 1.2 千米所用时间相等，则该冲锋舟在静水中的最大航速为 .33.甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里 ，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里.（1）慢车先开出 1 小时，快车再开.两车相向而行，问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车
24、同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？34.明明与亮亮每天沿 400 米跑道跑步，明明跑 2 圈的时间，亮亮了 3 圈，一天两人同时同地反向跑，发现每隔 32 秒相遇一次，第二天，两人同时同地同向跑，两人隔多长时间第一次相遇？第 n 次相遇呢？（ n 为正整数）35.有一条只能单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过 9 人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有 3 人通过道口，此时自己前面还有 36 人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计） ，通过道口后还需 7 分钟到达学校.（1）此时，若绕道而行，要 15 分钟到达学校，从节约时间 考虑，王老师应该怎么办？来源:Zxxk.Com（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有 3 人通过道口） ，结果王老师比拥挤的情况下提前了 6 分钟通过道口，问维持秩序用了多长时间？