1、专题 10 变力做功模型模型界定由于 只适用于恒力所做功，故在本模型中主要归纳各种情况下变力做功的判定及计算模型破解1 变力做功情况的的判定（i)可利用功能关系来判定：力对物体做正功时物体的能量增加，力对物体做负功时物体的能量减少有对应形式的势能的变力（弹簧弹力、点电荷间静电力等）做功时，对应形式的势能增大时该力做负功，否则变力做正功（ii）可利用力的方向与瞬时速度方向的夹角来判定：力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为锐角（角度可以变化）时，力对物体做正功；力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为直角时力不对物体做功；力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为钝角时力对物体做负功（ii
2、i）可利用力的方向与位移方向的夹角来判定：当力的方向不变时，可由力与位移的方向间夹角来判定例.如图所示，把小球由图中位置同时由静止释放（绳开始时拉直） ，则在小球向左下摆动时，下列说法正确的是绳对球做正功绳对球不做功绳对球做负功绳对球做正功【答案】【解析】在小球下摆过程中，由于距点较远，转动较慢，位置落后于球从运动角度来看，球绕点转动，球一方面随球转动，同时还相对于球向后转动，如图所示则球的瞬时速度时刻与绳垂直，与绳之间夹角为钝角；而球相对球的速度 方向与绳垂直，其对地的瞬时速度方向与绳之间夹角为锐角故可知绳对球不做功，绳对球做负功、对球做正功，错误正确例.如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性
3、轻杆，一端为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦的转动，杆的中心点及另一端各固定一个小球和。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中重力对球的冲量等于重力对球的冲量杆的弹力对球做正功，对球做负功杆的弹力对球做负功，对球做正功杆的弹力对球和球均不做功【答案】中机械能减少，则杆的弹力对球做负功，同理可知杆的弹力对球做负功，错误正确模型演練1.在 2008 北京奥运会上，俄罗斯著名撑杆跳运动员伊辛巴耶娃以 5.05m 的成绩第 24 次打破世界纪录。图为她在比赛中的几个画面。下列说法中正确的是A运动员过最高点时的速度为零；B撑杆恢复形变时，
4、弹性势能完全转化为动能；C运动员要成功跃过横杆，其重心必须高于横杆；D运动员在上升过程中对杆先做正功后做负功。【答案】2.如图所示，质量均为 m 的 ab 两球固定在轻杆的两端，杆可绕点在竖直平面内无摩擦的转动，已知两球距点的距离 L1L2.今在水平位置由静止释放，则在下降过程中，杆对球的作用力：方向沿，不做功方向沿，做正功方向与成一定夹角，做正功方向与成一定夹角，做负功【答案】【解析】在球上升过程中，b 球的重力势能和动能均增大，即 b 球的机械能增大，只能是杆对 b 球做了正功而 b 球绕点沿圆弧运动，速度方向与杆垂直，则杆对 b 球的弹力一定不沿方向，否则杆对球不做功，故正确2.变力做功
5、多少的定性比较由 可知，定性比较某些特定阶段中变力所做功时，可比较相同大小的力方向上的位移，也可比较相同位移上的分力例.如图所示, 固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮,以大小恒定的拉力 F 拉绳,使滑块从 A 点起由静止开始上升.若从 A 点上升至 B 点和从 B 点上升至 C 点的过程中拉力 F 做的功分别为 W1、W 2,滑块经 B、C 两点时的动能分别为 EkB、E kC,图中 AB=BC,则一定 （ ）A.W 1W2 B.W1EkC D.EkBW2.（解二）如图乙拉力对绳所做功与绳对环所做功相同由于拉力大小不变，可知绳对环的拉力大小不变将绳对环的拉力沿水平方
6、向与竖直方向分解，则有， ，由于 AB=BC,可知 ，故 W1W2.因 F 在竖直方向上的分力逐渐减小，虽在点处力的竖直分力大于环的重力，但在从到的过程中力在竖直方向上的分力是否小于重力及在什么位置小于重力都是未知的，故不能判定处的速度大小也即动能大小从功能的角度来看，从到与从到的过程中，重力做的负功相等，但力做的正功却是减少的，从到合力做功为正值，但不能判定从到的过程中合力做功情况，故不能判定两点处动能的大小答案只有项3.变力做功的定量计算（i）方向不变的变力做功可用其平均值计算如图，当力与物体发生的位移成线性关系时，力对位移的平均值等于此过程中力的最大值与力的最小值的算术平均值（注意力对位
7、移的平均与力对时间的平均值间的差别） 例. 要把长为 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为 ，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为 k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？【答案】设全过程共打击 n 次，则给予钉子的总能量：所以（ii）力的大小不变且力的方向与物体运动方向间的夹角 恒定时，力做功可由求解，式中是物体通过的路程， 是力与瞬时速度间的夹角例 5.以初速度 v0竖直向上抛出一质量为 m 的小物体。假定物块所受的空气阻力 f 大小不变。已知重力加速度为 g，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为A、 和 B、 和C、 和 D、 和【答案】【解析】
8、:上升的过程中由动能定理得 , ,求返回抛出点的速度由全程使用动能定理重力做功为零,只有阻力做功,且阻力始終與速度反向,故有 ,解得 ,A 正确. （iii）利用力对空间变化的对称性有些情况下，物体在变力作用下的某一运动过程中，变力随空间位置变化时具有对称性，如图，在某一点 x=a 的两侧的任意对称点上，若总有 ，即在对称点处作用力与 差值相等，则在这个过程中变力的平均值等于 ，可用公式 求解例 6.如图，一“ ”形绝缘导轨竖直放置，处在水平向右的匀强电场中。左边的半圆弧与水平杆 ab、 cd 相切于 a、 c 两点，两水平杆的高度差为 h，杆长为 4L， O 为 ad、 bc 连线的交点，虚
9、线 MN、 M N的位置如图，其中 aM = MM= CN = NN= L， M b=N d = 2L。一质量为 m，带电量为 q 的小球穿在杆上。虚线 MN 左边的导轨光滑，虚线 MN 右边的导轨与小球之间的动摩擦因数为 。已知：在 O 处没有固定点电荷+ Q 的时候，将带电小球自 N 点由静止释放后，小球刚好可到达 a 点。现在 O 处固定点电荷+ Q，并将带电小球自 d 点以初速度 v0向左瞬间推出。结果小球可沿杆运动到 b 点。 （静电力恒量为 k，重力加速度为 g，在运动过程中+Q 对-q 的电场力始终小于小球的重力）求：（1）匀强电场的电场强度 E；（2）运动过程中小球所受摩擦力的
10、最大值 fm和小球经过 M 点时的加速度大小 a ；（3）使小球能够运动到 b 点的初速度 v0的最小值。【答案】(1) (2),(3)【解析】 （1）从到由动能定理有： 可得（2）经分析可知：小球经过 M点时，球与轨道之间的弹力最大，所受的滑动摩擦力最大在 M 点处由牛顿第二定律有故小球经过 M点时的加速度大小为：由动能定理知小球的初速度 v0的最小值应满足：可得（iv）变力的功率恒定时可由求解（v）变力的功率也变化时可由平均功率 求解当功率随时间线性变化时 例 7.一电动小车沿如图所示的路径运动，小车从 A 点由静止出发，沿粗糙的水平直轨道运动 L 后，由 B 点进入半径为 R 的光滑竖直
11、圆形轨道，运动一周后又从 B 点离开圆轨道进入水平光滑轨道 BC 段，在 C 与平面 D 间是一蓄水池.已知小车质量m=0.1kg、L=10m、R=0.32m、h=1.25m、s=1.50m，在 AB 段所受阻力为 0.3N.小车只在 AB 路段可以施加牵引力，牵引力的功率为 P=1.5W，其他路段电动机关闭.问：要使小车能够顺利通过圆形轨道的最高点且能落在右侧平台 D 上，小车电动机至少工作多长时间？（g 取10m/s2）【答案】2.53s【解析】设车刚好越过圆轨道最高点，设最高点速度为 v2，最低点速度为 v1在最高点由牛顿第二定律得 mg=由机械能守恒定律得 mv12= mv22+mg(
12、2R)解得 v 1= =4m/s小车在离开 C 点后做平抛运动由 h= gt2 得 t=0.5sx=v1t=2mxs ，所以小车能够越过蓄水池小车的功率不变，根据 知，随着速度 v 的增大，牵引力将变小，不能用 求电动机所做功设电动机工作时间为 t0，在 AB 段由动能定理得Pt0-fL= mv12解得 t0=2.53s（vi）变力的压强一定时可由 求解在涉及液体或气体的等压过程中，可由 求解变化的压力所做的功，式中是压强， 是液体或气体的体积变化量例 8.成年人正常心跳每分钟约 75 次，一次血液循环中左心室的血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值为 1.37104pa ，左、右心室收缩时
13、射出的血量约为 70mL，右心室对肺动脉的压力约为左心室的 1/5，据此估算心脏工作的平均功率。【答案】.每次心跳过程的平均时间故心脏工作的平均功率为（vii）变力与位移的关系图象已知时，可利用图线与位移轴所围的面积求解力与位移的关系图象 中图线与位移轴所围面积等于力在该段位移内所做的功例 9如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力 F 作用下，沿x 轴方向运动，拉力 F 随物块所在位置坐标 x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆则小物块运动到 x0处时的动能为 A0 B.Error!Fmx0C.Error!Fmx0 D.Error!x02【答案】【解析】根据动能定理，小物块
14、运动到 x0处时的动能为这段时间内力 F 所做的功，物块在变力作用下运动，不能直接用功的公式来计算，但此题可用根据图象求“面积”的方法来解决力 F 所做的功的大小等于半圆的“面积”大小即 Ek WError! S 圆Error! FmError!.Error! Fmx0，C 选项正确（viii）变化的电场力做功可利用电势差求解例 10.如图所示，A、B、O、C 为在同一竖直平面内的四点，其中 A、B、O 沿同一竖直线，B、C 同在以 O 为圆心的圆周（用虚线表示）上，沿 AC 方向固定有一光滑绝缘细杆 L，在 O点固定放置一带负电的小球现有两个质量和电荷量都相同的带正电的小球 a、 b，先将小
15、球 a 穿在细杆上，让其从 A 点由静止开始沿杆下滑，后使 b 从 A 点由静止开始沿竖直方向下落各带电小球均可视为点电荷，则下列说法中正确的是A从 A 点到 C 点，小球 a 做匀加速运动B小球 a 在 C 点的动能大于小球 b 在 B 点的动能 C从 A 点到 C 点，小球 a 的机械能先增加后减小，但机械能与电势能之和不变D小球 a 从 A 点到 C 点的过程中电场力做的功大于小球 b 从 A 点到 B 点的过程中电场力做的功【答案】两点电势相同,则 AB 间电势差与 AC 间电势差相等,两球电荷相同,则电场力做功相同,D错误.（ix）某些特殊情况下变力所做的功可通过转换求恒力所做功例
16、11.如图所示，某人用大小不变的力 F 拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为 ，当拉力 F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为 。已知图中的高度是 h，滑轮的质量、绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力 T 对物体所做的功。【答案】【解析】拉力 T 在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功而拉力 F 的大小和方向都不变，所以 F 做的功可以用公式 W Fscos 直接计算，于是问题转化为求恒力做功。由图可知，在绳与水平面的夹角由 变到 的
17、过程中，拉力 F 的作用点的位移为：所以绳对物体做功：（x）一般情况下变力所做的功可由功能原理或动能定理求解例 12.如图所示，一根 形状的轻支架上固定着两个小球，支架可以绕转轴在竖直平面内无摩擦的自由转动，已知 mA=2kg，mB=1kg，AC=BC=OC=1m在球上施加一个力，使装置静止，与转轴在同一水平线上则撤去力，当球摆动到最低点时，杆对球做多少功？（取 g=10m/s2)【答案】17.07J【解析】球到达最低点时，如图所示对两球根据机械能守恒得：其中两球具有相同的角速度，故得对球由动能定理得：解得即球克服杆的作用力做功.模型演練3.如图所示，演员正在进行杂技表演。由图可估算出他将一只
18、鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于A0.3J B3J C30J D300J【答案】4.一质量为 1kg 的质点静止于光滑水平面上，从 t=0 时起，第 1 秒内受到 2N 的水平外力作用，第 2 秒内受到同方向的 1N 的外力作用。下列判断正确的是A 02s 内外力的平均功率是 WB第 2 秒内外力所做的功是 JC第 2 秒末外力的瞬时功率最大D第 1 秒内与第 2 秒内质点动能增加量的比值是【答案】【解析】由动量定理求出 1s 末、2s 末速度分别为：v 1=2m/s、v 2=3m/s 故由动能定理可知合力在第s 及前s 内做功分别为 = 、 = .，前s内的平均功率为 ，错误；第s 内
19、合力做功为 .，错误。 由v 知 1s 末、2s 末功率分别为：4w、3w，错误。第 1 秒内与第 2 秒动能增加量分别为： 、 ，比值：4：5，正确。5.如图所示,一质量为 m 的物体放在水平地面上,上端用一根原长为 L、劲度系数为 k 的轻弹簧相连.现用手拉弹簧的上端 P 缓慢向上移动.当 P 点位移为 H 时,物体离开地面一段距离h,则在此过程中A.拉弹簧的力对弹簧做功为 mgHB.拉弹簧的力对弹簧做功为 mgh+C.物体增加的重力势能为 mgH-D.弹簧增加的弹性势能为 mg(H-h)【答案】【解析】:缓慢拉动过程中在物体离开地面之前拉力是一变力,其大小始终与弹簧弹力相等,即与位移成正
20、比,其最小值为 0,最大值等于物体重力,此过程 P 点通过的位移,拉力所做功为 或,由功能原理知弹簧增加的弹性势能 .此后物体与弹簧一起上升 h 高度,弹簧的长度不再变化,拉力恒等于物体重力,此过程中拉力做功等于物体增加的重力势能 ,故整个过程中拉力做功或 ,可见只有 C 正确.6.如图所示，水池中水深为 h，水面面积足够大.水面上漂浮一块质量为 m 的正方形木块，已知其边长为 a，漂浮时恰好有一半浸没于水中现在木块的上表面正中心施加一竖直向下的力，使木块缓慢地被压入到水底，求此过程中力所做功【答案】过程中力 F 做功为(解法二)从能量守恒的角度考虑,整个过程中力 F 所做功应等于水增加的重力
21、势能与木块减少的重力势能的差值.木块减少的重力势能 .当木块被压到池底时,木块所位置同体积的水上升,一半填补到木块原排开的那部分水的位置,一半平铺到水面上,由阿基米德定律知这部分水的质量为 2m,取水底为重力势能零点 ,则可知这部分水增加的重力势能为 ,故力 F 所做功为.7.如图所示，在光滑的水平板的中央有一光滑的小孔，一根不可伸长的轻绳穿过小孔绳的两端分别拴有一小球 C 和一质量为 m 的物体 B，在物体 B 的下端还悬挂有一质量为 3m的物体 A使小球 C 在水平板上以小孔为圆心做匀速圆周运动，稳定时，圆周运动的半径为 R现剪断连接 A、B 的绳子，稳定后，小球以 2R 的半径在水平面上
22、做匀速圆周运动，则下列说法正确的A剪断连接 A、B 的绳子后，B 和 C 组成的系统机械能增加B剪断连接 A、B 的绳子后，小球 C 的机械能不变C剪断连接 A、B 的绳子后，物体 B 对小球做功为 3mgRD剪断连接 A、B 的绳子前，小球 C 的动能为 2mgR【答案】【解析】:剪断绳子前由牛顿第二定律有 ,故小球 C 此时的动能,D 正确.剪断连接 AB 的绳子后,BC 间绳上张力减小,小球 C 做离心运动,物体 B 上升,但除重力外无其他外力对系统做功系统内沿绳中张力方向 BC 两物体的相对位移为零,即内力总功为零,故 BC 系统的机械能守恒,B 的机械能增大则 C 的机械能减少,AB
23、 皆错误.由动能定理(或能量守恒)知物体 B 对小球做功等于小球动能的变化量,在剪断绳后由牛顿第二定律有 ,此时的动能 ,故,C 错误.8.如图所示，将一个质量为 m，长为 a，宽为 b 的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？【答案】由功能原理可知当 时， 最小，为：。9.如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为 R，圆环上套有质量分别为 m 和 2m 的小球A、 B（均可看作质点） ，且小球 A、 B 用一长为 2R 的轻质细杆相连，在小球 B 从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中（已知重力加速度为 g） ，下列说法正确的是A A 球增加的机械能等于 B 球减少的机械能B
24、A 球增加的重力势能等于 B 球减少的重力势能C A 球的最大速度为D细杆对 A 球做的功为【答案】【解析】由于轨道光滑，由两小球和轻杆组成的系统机械能守恒，故正确。此过程中球减少的重力势能等于球增加的重力势能与系统增加的动能之和，错误。因两球由一杆连接，则两球沿轨道运动时在任一时刻角速度相等，线速度也相等，速度同时达到最大。当球运动到最低点时系统的重力势能最小、动能最大，由机械能守恒有：，可解得 ，错误。细杆对 A 球做的功等于球增加的机械能： ，正确。 10.一根弹性细绳劲度系数为 K，将其一端固定，另一端穿过一光滑小孔 O 系住一质量为 m的滑块，滑块放在水平地面上。当细绳竖直时，小孔
25、O 到悬点的距离恰为弹性细绳原长，小孔 O 到正下方水平地面上 P 点的距离为 h(hmg/k 滑块与水平地面间的动摩擦因数为 u，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹性细绳始终在其弹性限度内。求：(1)当滑块置于水平面能保持静止时，滑块到 P 点的最远距离； (2)如果滑块从 P 点向右匀速运动，就需给滑块一水平向右的力 F，力 F 与时间 t 的关系为如图所示的直线，已知图线的斜率为 b。根据图线求滑块匀速运动的速度；(3)若在上述匀速运动的过程中，滑块从 P 点向右运动了 S 的距离，求拉力 F 所做的功。【答案】 （） （） （）【解析】 （）设滑块离点最远时，弹性绳 伸长 x，弹性绳与水平面夹角为 ，滑块到点最远距离为，受力如图甲所示由解得（2）滑块向右匀速运动时受力如图乙所示由解得结合与 t 的关系图线可得所以(3)设滑匀速运动的位移为 S,有由得由此作出 F-S 关系图线如图丙,则图线所围成的面积即为外力 F 所做的功