1、专题 05 平抛与障碍模型模型界定本模型中主要涉及通过对平抛运动过程中设置障碍物的物理情景，对平抛运动的飞行时间、飞行距离等做出限制，综合考查平抛运动知识。涉及的障碍物形状有“水平面” “竖直面” “斜面” “球面” “抛物面”等。模型破解一.由 障 碍 物 确 定 隐 含 的 对 平 抛 运 动 的 限 制 ：（ ） 对 速 度 方 向 的 限 制（ i） 物 体 无 撞 击 进 入 轨 道 ： 物 体 在 进 入 轨 道 时 瞬 时 速 度 方 向 沿 轨 道 切 线 方 向（ ii） 物 体 垂 直 撞 击 障 碍 物 ： 物 体 在 撞 击 障 碍 物 时 瞬 时 速 度 方 向 垂
2、直 撞 击 面 的 切 线（ ） 对 落 点 位 置 的 限 制（ i） 到 达 障 碍 物 上 某 点 ： 落 点 位 置 坐 标 满 足 障 碍 物 形 状 函 数（ ii） 轨 迹 与 障 碍 物 边 缘 相 切 ： 障 碍 物 边 缘 位 置 坐 标 满 足 平 抛 运 动 轨 迹 方 程（ ） 对 位 移 的 限 制（ i） 水 平 面 ： 限 制 竖 直 位 移 ； 一 定 大 小 的 水 平 面 还 限 制 水 平 位 移（ ii） 竖 直 面 ： 限 制 竖 直 位 移 ； 一 定 刻 度 的 竖 直 面 限 制 竖 直 位 移（ iii） 斜 面 ： 限 制 水 平 位 移
3、与 竖 直 位 移 关 系 ； 抛 出 点 与 落 点 均 在 斜 面 上 时 还 限 制 了 位移 方 向二、解题方法1.当物体飞行过程中无碰撞的进行某障碍物所限定的轨道或以某一已知角度撞击到障碍物的表面上时，实质上是给定了物体做平抛运动的末速度方向，通过速度分解可将初速度、末速度、竖直分速度联系起来，进而可联系运动时间、位移等；也可利用 即速度反向延长线通过水平位移的中点处理相关问题。例 1.如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心 O 的连线与竖直方向的夹角为 。一小球在圆轨道左侧的 A 点以速度 平抛，恰好沿 B 点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为 g，则 AB 之间的水平距
4、离为A BC D【答案】A 【解析】由题意知物体在点的速度方向与水平方向间夹角为 ，则有 、，解之有 ，正确例 2.如图所示,細蛛在地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝 AB 与水平地面之间的夹角为 45,A点到地面的距离为 1m,已知重力加速度 g 取 1O m/s2,空气阻力不计,若蜘蛛从竖直墙上距地面 0.8 m 的 C 点以水平速度 v0跳出，要到达蛛丝,水平速度 v0至少为A. 1 m/s B. 2 m/s C. 2.5 m/s D.【答案】B另解：同理可知到达切点处时的速度方向沿 AB，如图所示，则由图中几何知识可知 x=2yy+AC，得 y=0.2m、x=0.4m，再由 x=v0t、 得
5、v0=2m/s,B 正确。2.当物体落到障碍物上时，障碍物的表面形状对落点位置坐标形成限制，从而建立起平抛运动中水平位移与竖直位移间的空间几何联系，再结合平抛运动的水平位移与竖直位移间的运动学关系 x=v0t、 即 即可解决相关问题 例 3.如图所示，一个质量为 04 kg 的小物块从高 h005m 的坡面顶端由静止释放，滑到水平台上，滑行一段距离后，从边缘 O 点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的 P 点现以 O 为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y 6（单位：m） ，不计一切摩擦和空气阻力，g10ms 2，则下列说法正确的是A小物块从水平台上 O 点飞出的速度大
6、小为 1msB小物块从 O 点运动到 P 点的时间为 1 sC小物块刚到 P 点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于 5D小物块刚到 P 点时速度的大小为 10 ms【答案】AB错误。 3.障碍物为倾角为 的斜面时（1）物体从斜面上抛出再落到斜面上时物体发生的位移一定平行于斜面：落到斜面上的时间 tError!；落到斜面上时，速度的方向与水平方向的夹角 恒定，且 tan 2tan ，与初速度无关，即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的；平抛物体落在斜面上时的动能：经过 tcError! 小球距斜面最远，最大距离 dError!例 4.用如图 a 所示的圆弧一斜面装置研究平抛运
7、动，每次将质量为 m 的小球从半径为 R 的四分之一圆弧形轨道不同位置静止释放，并在弧形轨道最低点水平部分处装有压力传感器测出小球对轨道压力的大小 F。已知斜面与水平地面之间的夹角 =45，实验时获得小球在斜面上的不同水平射程 x，最后作出了如图 b 所示的 Fx 图象，g 取 10m/s2，则由图可求得圆弧轨道的半径 R 为A0125 m B 025 m C050 m D10 m【答案】B【解析】小球做平抛运动，竖直方向上通过的位移 ，小球在圆弧轨道最低点，因，斜面与水平地面之间的夹角 =45，可知 ，联立可得，可见图 b 中图线斜率 ，纵截距 ，故 ，B 正确。例5.如图所示，AB 为斜面
8、，BC 为水平面，从 A 点以水平初速度 v 向右抛出一小球，其落点与 A 的水平距离为 s1，从 A 点以水平初速度2v 向右抛出一小球，其落点与 A 的水平距离为s2，不计空气阻力 s1:s2可能为（ ）A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:5【答案】ABC则 s1:s2应介于1:4与1：2之间，故1：3是可能的而1：5不可能，C 正确 D 错误。（2）物体从斜面外某处抛出落回到斜面上时此情景中按物体抛出方向与斜面的位置可分为两种类型，分别如图所示。在定量计算时需通过画出物体运动轨迹示意图来寻找物体的位移与斜面长度、倾角间的关系：、及 、例 6.如图所示，斜面体固定在地面上，
9、小球由从静止下滑，当小球开始下滑时，另一小球从点正上方的点水平抛出，两球同时到达斜面底端的处已知斜面光滑，长度 l=2.5m，斜面倾角为 不计空气阻力，g 取 10m/s2,求(1)小球从点滑到点的时间(2)小球抛出时的初速度大小【答案】 （1）1s（2）【解析】 （1）小球 p 从斜面上下滑的加速度为 ，根据牛顿第二定律 下滑所需时间为 ， 根据运动学公式 由得 代入数据得 t 1=1s （2）小球 q 运动为平抛运动，设抛出速度为x=v0t2 x=lcos30 依题意得：t 2=t1 由得 例 7.如图所示，倾角为 37的粗糙斜面的底端有一质量 kg 的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因
10、数 。现小滑块以某一初速度 从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以 水平抛出，经过 0.4s，小球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中。 （已知 , ） ，g 取 10m/s2，求：（1）小球水平抛出的速度 。（2）小滑块的初速度 。【答案】 （1）3m/s（2）5.35m/s（2）小球落入凹槽时的水平位移 则滑块的位移为 根据公式 得： 4.障碍物形成的临界与极值问题在平抛运动中，若障碍物对物体能发生的水平位移或竖直位移作出限制时，位移的极值可对平抛运动的初速度、抛出点高度等形成临界条件例 8.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为 和 ，中间球
11、网高度为 h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 3h。不计空气的作用，重力加速度大小为 g。若乒乓球的发射速率 v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 v 的最大取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】乒乓球做平抛，落在台面上时竖直位移一定、运动时间一定 ；当初速度最大时水平位移最大，临界状态是落在台面右侧角处： ,故最大速度。当乒乓球速度最小时，临界状态是擦网而过，此时研究乒乓球从开始被射出到到恰好擦网时：下降高度一定、运动时间一定 ；水平位移最小时即初速度方向平行于中线时初速度最小，此时
12、 ，故 ，D正确。模型演练1.如图所示，在竖直平面内有一固定的半圆环 ACB，其中 AB 是它的水平直径，C 为环上的最低点，环半径为 R。一个小球从 A 点以速度 v0 水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是A.只要 v0 足够大，小球一定可以不落在圆环上B.只要 v0 取值不同，小球从抛出到落至环上的空中飞行时间就不同C.初速 v0 取值越小，小球从抛出到落至环上的空中飞行时间就越小D.无论 v0 取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环【答案】D 2.如图，一小球从一半圆轨道左端 A 点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点） ，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于 B 点。O 为半圆轨道圆心
13、，半圆轨道半径为 R，OB 与水平方向夹角为 60，重力加速度为 g，则小球抛出时的初速度为 AError!Error! B.Error!Error! CError!Error! D.Error!Error!【答案】B【 解 析 】 飞 行 过 程 中 恰 好 与 半 圆 轨 道 相 切 于 B 点 ， 知 速 度 与 水 平 方 向 的 夹 角 为30， 设 位 移 与 水 平 方 向 的 夹 角 为 ， 则 解 得 ： 。因 为 ， 所 以 竖 直 位 移 ： ； 由竖直方向自由落体规律：由： ，解得： =Error!Error!所以 B 正确，A、C、D错误3.如图所示，a、b 两小球分
14、别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的 2 倍。若小球 a 能落到半圆轨道上，小球 b 能落到斜面上，则Ab 球一定先落在斜面上Ba 球一定先落在半圆轨道上Ca 球可能先落在半圆轨道上Da、b 不可能同时落在半圆轨道和斜面上【答案】C 【解析】如图所示，将半圆轨道向右翻转 90 度，半圆轨道与斜面相交于 P 点。若 v0 大小合适从而能使小球落于 P 点位置时，两球在空中运动时间相等，将同时落于半圆轨道与斜面上，D 错误。当初速度较小时 b 球将先落于斜面上，否则在小球初速度较大时，a 球将先落在半圆轨道上，故
15、 AB 错误 C 正确。4. 如图所示，一物体自倾角为 的固定斜面上某一位置 P 处斜向上抛出，到达斜面顶端Q 处时速度恰好变为水平方向，已知 P、Q 间的距离为 L，重力加速度为 g，则关于抛出时物体的初速度 v0的大小及其与斜面间的夹角 ，以下关系中正确的有A B C D【答案】B 【解析】如图，将物体的运动分解为垂直于斜面初速度为 、加速度为 的匀减速运动与平行于斜面初速度为 、加速度为 的匀减速运动。当物体落回到斜面上 Q 点时，物体在垂直于斜面方向上的位移为零，有，可得 ；由于物体运动到 Q 点时速度水平，由图可得，将 t 代入解之有 ，可知 A 错误 B 正确。由位移公式有 ，将
16、t、tan 代入可解得 ，可见 CD 错误。5.如图，战机在斜坡上方进行投弹演练。战机水平匀速飞行，每隔相等时间释放一颗炸弹，第一颗落在 a 点，第二颗落在 b 点。斜坡上 c、 d 两点与 a、 b 共线，且 ab=bc=cd，不计空气阻力。第三颗炸弹将落在A bc 之间 B c 点 C cd 之间 D d 点【答案】A【解析】如图所示假设第二颗炸弹的轨迹经过 a、 b，第三颗炸弹的轨迹经过 P、 Q； a、 A、 B、 P、 C 在同一水平线上，由题意可知，设 aA=AP=x0， ab=bc=L，斜面的倾角为 ，三颗炸弹到达 a 所在水平面的坚直速度为 vy，水平速度为 v0，对第二颗炸弹
17、：水平方向：，坚直方向： ，对第三颗炸弹：水平方向：，坚直方向： ，解得： t2=2t1； y22y1；所以Q 点在 c 点的下方，也就是第三颗炸弹将落在 bc 之间，故 A 正确，B、C、D 错误。6.如图所示为足球球门，球门宽为 L，一个球员在球门中心正前方距离球门 s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中 P 点） 。球员顶球点的高度为 h。足球做平抛运动（足球可看做质点，忽略空气阻力）则 BA 足球位移大小B 足球初速度的大小C 足球末速度的大小D 足球初速度的方向与球门线夹角的正切值【答案】B【解析】足球到达 P 点时的水平位移大小为 ，总的位移大小为，A 错误。由水平方向上
18、 、竖直方向上 可得，B 正确。足球的末速度 ，C 错误。足球初速度的方向与球门线夹角的正切值，D 错误。7.如图所示，一网球运动员将球在边界处正上方水平向右击出，球刚过网落在图中位置(不计空气阻力)，相关数据如图，下列说法中正确的是A击球点高度 h1与球网的高度 h2之间的关系为 h1=18h 2，B若保持击球高度不变，球的初速度 v0只要不大于 ，一定落在对方界内C任意降低击球高度(仍高于 h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内D任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内【答案】AD度小了就会触网，即击球高度低于某一值，球不是出界就是触网，故 C 错误。只要击球高
19、度大于临界值，就有一定范围的初速度值能使球落在对方界内，D 正确。 8.如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为 =53的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差 h=0.8m，重力加速度g=10m/s2，sin53 = 0.8，cos53 = 0.6，求小球水平抛出的初速度 v0是多少？斜面顶端与平台边缘的水平距离 s 是多少？若斜面顶端高 H = 20.8m，则小球离开平台后经多长时间 t 到达斜面底端？【答案】 （1） v0 = 3m/s（2） 1.2m（3） 2.4s【解析】 （1）由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与
20、斜面平行，否则小球会弹起，所以 vy = v0tan53 vy2 = 2gh 代入数据，得 vy = 4m/s， v0 = 3m/s （2）由 vy = gt1得 t1 = 0.4ss =v0t1 = 30.4m = 1.2m （3）小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度 a = Error! 所 以 t = t1 + t2 = 2.4s.如图所示，装甲车在水平地面上以速度 v0=20m/s 沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为 h=1.8m。在车正前方竖直一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触。枪口与靶距离为 L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为 v=800m/s。在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动。行进 s=90m 后停下。装甲车停下后，机枪手以相同的方式射出第二发子弹。 （不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度 g=10m/s2）(1)装甲车匀减速运动时的加速度大小（2）当 L=410m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度并计算靶上两个弹孔之间的距离；（3）若靶上只有一个弹孔，求 L 的范围。【答案】 （1） （2）.m(3)【解析】 （1）装甲车的加速度（2）第一发子弹飞行的时间弹孔离地高度第二发子弹离地高度两弹孔之间的距离（3）第一发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为 L1第二发子弹打到靶的下沿时。装甲车离靶的距离为 L2L 的范围