1、第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1sin60的值等于 ( )A. B. C. D.12 22 32 332在 RtABC 中，C90，BC4，sin A ，则 AB 的长为( )23A. B6 C12 D8833已知 为锐角，且 cos(90) ，则 cos 的值为( )12A. B. C. D.33 22 12 324如图 1，点 A(t，3) 在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 ，tan ，则 t 的值是( )32图 1A1 B1.5 C2 D35如图 2，AOB 在正方形网格中，则 cosAOB 的值为 ( )图 2A. B. C. D.12 22
2、 32 336如图 3，将ABC 放在每个小正方形的边长都为 1 的网格中，点 A，B，C 均在格点上，则 tanA 的值是( )图 3A. B. C2 D.55 105 127如图 4，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D.若 AC ，BC 2，5则 sin ACD 的值为( )图 4A. B.53 2 55C. D.52 238如图 5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为 2 米，高为 3 米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同若入口处两根立柱之间的距离为 2 米，则两立柱底端中点到中央转轴底端的距离为( )图 5A. 米 B2 米 C2 米 D3 米3 29如图 6，轮船
3、沿正南方向以 30 海里/时的速度匀速航行，在 M 处观测到灯塔 P 在南偏西 22方向上航行 2 小时后到达 N 处，观测灯塔 P 在南偏西 44方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin680.9272，sin46 0.7193，sin220.3746，sin440.6947)( )图 6A22.48 海里 B41.68 海里 C43.16 海里 D55.63 海里10如图 7，四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的A，已知BC10，cosBCD ，BCE 30，则线段 DE 的长是 ( )35图 7A. B7 C43 D34 89 3
4、3 3请将选择题答案填入下表：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分答案第卷 (非选择题 共 70 分)二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)11如图 8，在ABC 中，B45，cosC ，AC5a，则ABC 的面积用含 a 的35式子表示是_图 812为解决停车难的问题，在一段长 56 米的路段上开辟停车位，如图 9，每个车位是长为 5 米、宽为 2.2 米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45角，那么这个路段最多可以划出_个这样的停车位( 参考数据： 1.4)2图 913如图 10，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，BC4 ，D 为 BC 的中点，点 E，F在线段 AD 上
5、，tanABC 3，则阴影部分的面积是_图 1014已知ABC，若 与( tanB )2 互为相反数，则C 的度数是_|sinA 12| 315如图 11，已知四边形 ABCD 是正方形，以 CD 为一边向 CD 两旁分别作等边三角形 PCD 和等边三角形 QCD，那么 tanPQB 的值为_图 1116.如图 12，已知点 A(5 ，0)，直线 yxb(b 0)与 y 轴交于点 B，连接 AB.若3 75，则 b_图 12三、解答题(共 52 分)17(5 分) 计算：cos 30tan60cos45sin45 sin 260.18(5 分) 如图 13，在ABC 中，AB4，AC6，ABC
6、45，求 BC 的长及 tanC的值图 1319.(5 分) 如图 14，在半径为 1 的O 中，AOB45，求 sinC 的值图 1420(5 分) 如图 15，AB 是长为 10 m，倾斜角为 37的自动扶梯，平台 BD 与大楼 CE垂直，且与扶梯 AB 的长度相等，在 B 处测得大楼顶部 C 的仰角为 65，求大楼 CE 的高度(结果保留整数)(参考数据：sin37 ，tan37 ，sin 65 ，tan 65 )35 34 910 157图 1521(7 分) 如图 16，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点O，ABC BAD12， BEAC，CEBD.(1)求 tanD
7、BC 的值；(2)求证：四边形 OBEC 是矩形图 1622(7 分) 如图 17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高 1 米(EF1 米)，背水坡 AF 的坡度 i11，已知 AB3 米，ABE120 ，求水坝原来的高度图 1723(9 分) 阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图 18，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，AC 4，BD6，AOB30，求四边形 ABCD 的面积小凯发现，分别过点 A，C作直线 BD 的垂线，垂足分别为 E，F，设 AO 为 m，通过计算ABD 与BCD 的面积和可以使问题得到解决(如图 )请回答
8、：(1)ABD 的面积为_(用含 m 的式子表示)；(2)求四边形 ABCD 的面积参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，AC a，BDb，AOB(0 90)，则四边形 ABCD 的面积为_(用含a，b， 的式子表示 )图 1824(9 分) 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角三角形 ABC 中，A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，过点 A 作 ADBC于点 D(如图 19) ，则 sinB ，sin C ，即 ADcsinB ，ADbsinC，ADc ADb于是 csinBbsinC，即 ，bsinB csinC同理
9、有 ， ，所以 .csinC asinA asinA bsinB asinA bsinB csinC即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素( 至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素根据上述材料，完成下列各题：(1)如图，ABC 中，B45，C 75，BC60，则 A_，AC_；(2)如图，在某次巡逻中，渔政船在 C 处测得海岛 A 在其北偏西 30的方向上，随后以 40 海里/时的速度按北偏东 30的方向航行，半小时后到达 B 处，此时又测得海岛 A 在其北偏西 75的方向上，求此时渔政船距海岛 A 的距离 AB.(结果精确到
10、0.01 海里， 2.449)6图 19详解详析1C2B 解析 由题意可得 sinA .因为 BC4，所以 AB6.23 BCAB3D 解析 因为 cos(90) ， 为锐角，所以 9060，所以 30 ，所12以 cos .324C 解析 点 A(t，3) 在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为，tan ，tan ， t 2.32 3t 325B 解析 如图，连接 AC.由网格图的特点，易得ACO 是等腰直角三角形，所以AOB45，所以 cosAOB 的值为 .226D 解析 如图，连接 BD.由网格图的特点可知 ADBD，由 AD2 ， BD ，可得 tanA 的值为 .2 2127A
11、解析 在 RtABC 中，根据勾股定理可得 AB2AC 2BC 2( )522 29，AB 3.B BCD90 ，ACDBCD 90，B ACD，sinACD sin B .故选 A.ACAB 538A 解析 如图，设中央转轴底端为 A，两立柱底端的点为 B，C，BC 的中点为D，则有 AB AC2 米，所以 ADBC，且 CD1 米，所以 AD 米39B 解析 如图，过点 P 作 PAMN 于点 A，MN30260( 海里)PMN22，PNA44，MPNPNAPMN 22，PMNMPN，MNPN60 海里PNA44，在 RtNAP 中，PAPNsin PNA 600.694741.68(海里
12、) 故选 B.10D 解析 如图，过点 B 作 BFDE 于点 F.在 Rt CBD 中， BC10，cos BCD ，35DC6，BD8.在 Rt BCE 中，BC10，BCE30，BE5.在 Rt BDF 中，BDFBCE 30 ，BD 8，DFBD cos304 .3在 Rt BEF 中，BEFBCD，即 cosBEFcosBCD ，35EFBEcosBEF3，DEEFDF34 .31114a 2 12.17136 解析 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于ABC 的面积的一半因为 BD BC2，AD BC，tanABC3，所以 AD6，所以ABC 的面积为1212，所以阴影部分
13、的面积为 6.1490 解析 由题意得 sinA ，tanB ，所以 A30，B60，所以C12 3的度数是 90.152 解析 延长 QP 交 AB 于点 F.3四边形 ABCD 是正方形，PCD 和QCD 是以 CD 为边的等边三角形，四边形 PCQD 是菱形设正方形 ABCD 的边长为 a，则可得 PEQE a，DEEC a，FB a，32 12 12tanPQB 2 .FBFQ12aa 32a 3165 解析 设直线 yx b( b0)与 x 轴交于点 C，易得 C(b，0) ，B(0，b)，所以 OCOB，所以BCO45.又因为 75，所以BAO 30.因为 OA5 ，所以 OB5，
14、所以 b5.317.1418解：如图，过点 A 作 ADBC 于点 D.在 Rt ABD 中，B45，sinB ，ADABADABsinB4sin45 4 2 ，22 2BDAD 2 .2在 Rt ADC 中， AC6，由勾股定理，得 DC 2 ，AC2 AD2 62 （ 2 2） 2 7BCBDDC2 2 ，2 7tanC .ADDC 2 22 7 14719解：如图，过点 A 作 ADOB 于点 D.在 RtAOD 中，AOB45 ，ODAD OA cos451 ，22 22BDOB OD1 ，22AB .AD2 BD2（ 22） 2 （ 1 22） 2 2 2AC 是O 的直径，ABC9
15、0，AC2，sinC .ABAC 2 2220解：如图，过点 B 作 BFAE 于点 F，则 BFDE .在 Rt ABF 中，sinBAF ，BFAB则 BFABsinBAF 10 6(m)35在 Rt CDB 中， tanCBD ，则 CDBDtan6510 21(m)CDBD 157则 CEDECDBFCD62127(m)答：大楼 CE 的高度约是 27 m.21解：(1)四边形 ABCD 是菱形，ADBC，ABCBAD180.又ABCBAD12，ABC60.四边形 ABCD 是菱形，DBC ABC30，12tanDBCtan30 .33(2)证明：四边形 ABCD 是菱形，BOC90.
16、BEAC，CEBD ，OBEBOCOCE90 ，四边形 OBEC 是矩形22解：如图所示，过点 E 作 ECBD 于点 C，设 BCx 米ABE 120，CBE60.在 Rt BCE 中，CBE60，tan60 ，即 CE x 米CEBC 3 3背水坡 AF 的坡度 i11， 1.CFACAC(3x) 米，CF(1 x)米，3 1，解得 x 1，1 3x3 x 3EC x(3 )米3 3答：水坝原来的高度为(3 )米323解：(1)AOm，AOB30，AE m，12ABD 的面积为 m6 m.12 12 32故答案为 m.32(2)由(1)得 SABD m.32同理，CF (4m)，12S B
17、CD BDCF6 m.12 32S 四边形 ABCDS ABD S BCD 6.解决问题：分别过点 A，C 作直线 BD 的垂线，垂足分别为 E，F，设 AO 为 x.AOB，AExsin，S ABD BDAE bxsin.12 12同理，CF(ax )sin，S BCD BDCF b(ax)sin .12 12S 四边形 ABCDS ABD S BCD bxsin b(ax )sin absin.12 12 12故答案为 absin.1224解：(1)60 20 6(2)依题意，得 BC400.520(海里) CDBE ，DCBCBE180.DCB30，CBE150.ABE 75，ABC75，A45.在ABC 中， ，ABsin ACB BCsinA即 ，ABsin60 20sin45解得 AB10 24.49(海里)6答：渔政船距海岛 A 的距离 AB 约为 24.49 海里