1、第一章 章末检测（A）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1ABC 的三内角 A、B 、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a b，A2B，则 cos 52B 等于( )A. B. C. D.53 54 55 56答案 B解析 由正弦定理得 ，ab sin Asin Ba b 可化为 .52 sin Asin B 52又 A2B ， ，cos B .sin 2Bsin B 52 542.在ABC 中，AB=3 ，AC=2，BC= ，则 等于( )10BAAC A B C. D.32 23 23 32答案 A解析 由余弦定理得cos A .AB2 AC2 BC22A
2、BAC 9 4 1012 14 | | |cos A 32 .AC AB AC 14 32 .AC AB AC 323在ABC 中，已知 a ，b ，A 30，则 c 等于 ( )5 15A2 B.5 5C2 或 D以上都不对5 5答案 C解析 a 2b 2c 22bccos A，5 15c 22 c .1532化简得：c 23 c100，即(c2 )(c )0，5 5 5c 2 或 c .5 54根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )Aa8，b16，A30，有两解Bb18，c 20，B60，有一解Ca5，c 2，A90，无解Da30，b25，A150，有一解答案 D解析 A 中
3、，因 ，asin A bsin B所以 sin B 1， B90，即只有一解；16sin 308B 中，sin C ，20sin 6018 539且 cb，C B，故有两解；C 中，A90，a5，c2，b ，a2 c2 25 4 21即有解，故 A、B、C 都不正确5ABC 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为 ，则其外接圆的半径为( )13A. B.922 924C. D9928 2答案 C解析 设另一条边为 x，则 x22 23 2223 ，13x2 9， x3. 设 cos ，则 sin .13 2232R ，R .3sin 3223 924 9286在ABC 中，cos 2 (a、
4、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，则ABC 的形状A2 b c2c为( )A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C等腰直角三角形D正三角形答案 A解析 由 cos2 cos A ，A2 b c2c bc又 cos A ，b2 c2 a22bcb2 c2a 22 b2a 2b 2c 2，故选 A.7已知ABC 中，A、B 、C 的对边分别为 a、b、c.若 ac ，且 A75，则6 2b 等于( )A2 B. 6 2C42 D423 3答案 A解析 sin Asin 75 sin(30 45) ，6 24由 ac 知，C75，B30.sin B .12由正弦定理： 4.bsin B asin
5、 A 6 26 24b 4sin B2.8在ABC 中，已知 b2bc2c 20，a ，cos A ，则ABC 的面积 S 为( )678A. B. C. D6152 15 8155 3答案 A解析 由 b2bc2c 20 可得(bc)(b2c)0.b 2c，在 ABC 中，a 2b 2c 22bccos A，即 64c 2c 24c 2 .78c 2，从而 b4.S ABC bcsin A 24 .12 12 1 (78)2 1529在ABC 中，AB 7，AC 6，M 是 BC 的中点，AM4，则 BC 等于( )A. B.21 106C. D.69 154答案 B解析 设 BCa，则 B
6、MMC .a2在ABM 中，AB 2BM 2AM 22BMAMcosAMB，即 72 a24 22 4cosAMB 14 a2在ACM 中，AC 2AM 2CM 22AM CMcosAMC即 624 2 a224 cosAMB 14 a2得：7 26 24 24 2 a2，a .12 10610若 ，则ABC 是( )sin Aa cos Bb cos CcA等边三角形B有一内角是 30的直角三角形C等腰直角三角形D有一内角是 30的等腰三角形答案 C解析 ，acos Bbsin A，sin Aa cos Bb2Rsin Acos B 2Rsin Bsin A,2Rsin A0.cos B s
7、in B，B45.同理 C45，故 A90.11在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，若 (a2c 2b 2)tan B ac，则3角 B 的值为( )A. B.6 3C. 或 D. 或6 56 3 23答案 D解析 (a 2c 2b 2)tan B ac，3 tan B ，a2 c2 b22ac 32即 cos Btan Bsin B .3200，且 0B，35sin B .1 cos2B45由正弦定理得 ，asin A bsin Bsin A .asin Bb 2454 25(2)SABC acsin B4， 2c 4，12 12 45c 5.由余弦定理得 b2a 2c
8、 22accos B2 25 2225 17， b .35 1721(12 分)(2010辽宁)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C .(1)求 A 的大小；(2)若 sin Bsin C1，试判断ABC 的形状解 (1)由已知，根据正弦定理得 2a2(2 bc )b(2cb)c，即 a2b 2c 2bc .由余弦定理得 a2b 2c 22bccos A，故 cos A ， A120.12(2)方法一 由(1) 得 sin2Asin 2Bsin 2Csin Bsin C，又 A120，sin 2Bsin 2Csin
9、 Bsin C ，34sin Bsin C 1，sin C1sin B.sin2B(1sin B) 2sin B(1sin B) ，34即 sin2Bsin B 0.14解得 sin B .故 sin C .12 12BC30.所以，ABC 是等腰的钝角三角形方法二 由(1)A120 ，B C60，则 C60B，sin Bsin C sin Bsin(60 B)sin B cos B sin B32 12 sin B cos B12 32sin(B60)1，B30，C30.ABC 是等腰的钝角三角形22(14 分) 已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m(a，b) ，n(sin B，sin A)，p(b2， a2) (1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C ，求ABC 的面积3(1)证明 mn，asin Absin B，即 a b ，a2R b2R其中 R 是ABC 外接圆半径， ab.ABC 为等腰三角形(2)解 由题意知 mp0，即 a(b2) b(a2)0.a bab.由余弦定理可知，4a 2b 2ab(ab) 23ab，即(ab) 23ab40.ab4(舍去 ab1)，SABC absin C 4sin .12 12 3 3