1、2.4 等比数列(一)课时目标1理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列2掌握等比数列的通项公式并能简单应用3掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题1如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0) 2等比数列的通项公式：a na 1qn1 .3等比中项的定义如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 ，且 G .ab一、选择题1在等比数列a n中，a n0，且 a21a 1，a 49a 3，则 a4a 5 的值为( )A16 B27
2、C36 D81答案 B解析 由已知 a1a 21，a 3a 49，q 29.q 3(q3 舍)，a 4a 5(a 3a 4)q27.2已知等比数列a n满足 a1a 23，a 2a 36，则 a7 等于 ( )A64 B81 C 128 D243答案 A解析 a n为等比数列， q2.a2 a3a1 a2又 a1a 23，a 11.故 a7 12664.3已知等比数列a n中，各项都是正数，且 a1， a3,2a2 成等差数列，则 等于( )12 a9 a10a7 a8A1 B12 2C32 D322 2答案 C解析 设等比数列a n的公比为 q，a1， a3,2a2 成等差数列，12a3 a
3、12a 2，a1q2a 12a 1q，q2 2q10，q 1 .2an0，q0，q1 .2 q 2(1 )232 .a9 a10a7 a8 2 24如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么( )Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac 9 Db3，ac9答案 B解析 b 2(1)(9) 9 且 b 与首项1 同号，b3，且 a，c 必同号ac b29.5一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A. B. C. D.53 43 32 12答案 A解析 设这个数为 x，则(50 x) 2(20 x )(100x)，解得 x25，这三个数 45,75,125，公
4、比 q 为 .7545 536若正项等比数列a n的公比 q1，且 a3，a 5，a 6 成等差数列，则 等于( )a3 a5a4 a6A. B.5 12 5 12C. D不确定12答案 A解析 a 3a 62a 5，a 1q2 a1q52a 1q4，q3 2q210，(q1)(q 2q1)0 ( q1)，q2 q10，q (q 1 的等比数列，若 a4，a 5 是方程 4x28x30 的两根，则a6a 7_.答案 18解析 由题意得 a4 ，a 5 ，q 3.12 32 a5a4a6 a7(a 4a 5)q2( )3218.12 329首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48，第 2n3
5、项是 192，则 n_.答案 5解析 设公比为 q，则Error! Error!q 24，得 q2.由(2) n1 16，得 n5.10一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是_答案 5 12解析 设三边为 a，aq，aq 2 (q1)，则(aq 2)2(aq) 2a 2，q 2 .5 12较小锐角记为 ，则 sin .1q2 5 12三、解答题11已知a n为等比数列，a 32，a 2a 4 ，求a n的通项公式203解 设等比数列a n的公比为 q，则 q0.a2 ，a 4a 3q2q，a3q 2q 2q .2q 203解得 q1 ，q 23.13当 q 时，a 118，13a
6、n 18 n 123 3n .(13)当 q3 时，a 1 ，29an 3n1 23 n3 .29综上，当 q 时，a n23 3n ；13当 q3 时，a n23 n3 .12已知数列a n的前 n 项和为 Sn，S n (an1) (nN *)13(1)求 a1，a 2；(2)求证：数列 an是等比数列(1)解 由 S1 (a11)，得 a1 (a11) ，13 13a1 .又 S2 (a21)，12 13即 a1a 2 (a21)，得 a2 .13 14(2)证明 当 n2 时，a nS nS n1 (an1) (an1 1)，13 13得 ，又 ，anan 1 12 a2a1 12所以
7、a n是首项为 ，公比为 的等比数列12 12能力提升13设a n是公比为 q 的等比数列，|q|1 ，令 bna n1(n1,2，)，若数列 bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则 6q_.答案 9解析 由题意知等比数列a n有连续四项在集合54，24，18,36,81中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故24,36，54,81，符合题意，则 q ，6q9.3214已知数列a n满足 a11，a n1 2a n1，(1)求证：数列a n1是等比数列；(2)求 an的表达式(1)证明 a n1 2a n1，an 112(a n1)， 2.an 1 1an 1an1是等比数列，公比为 2，首项为 2.(2)解 由(1)知a n1是等比数列公比为 2，首项 a112.an 1(a 11)2 n1 2 n.an 2n1.1等比数列的判断或证明(1)利用定义： q (与 n 无关的常数)an 1an(2)利用等比中项：a a nan2 (nN*)2n 12等比数列 an的通项公式 an a1qn1 共涉及 an， a1， q， n 四个量已知其中三个量可求得第四个