1、2.5 等比数列的前 n 项和(一)课时目标1掌握等比数列前 n 项和公式的推导方法2会用等比数列前 n 项和公式解决一些简单问题1等比数列前 n 项和公式：(1)公式：S nError!.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略 q1 的情况2若a n是等比数列，且公比 q1，则前 n 项和 Sn (1q n)A( qn1)其中a11 qA .a1q 13推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前 n 项和一、选择题1设 Sn为等比数列a n的前 n 项和，8a 2a 50，则 等于 ( )S5S2A11 B5C8 D11答案 D解析 由 8a
2、2a 50 得 8a1qa 1q40，q2，则 11.S5S2 a11 25a11 222记等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S32，S 618，则 等于( )S10S5A3 B5C31 D33答案 D解析 由题意知公比 q1， S6S3a11 q61 qa11 q31 q1q 39，q 2， 1q 5S10S5a11 q101 qa11 q51 q12 533.3设等比数列a n的公比 q2，前 n 项和为 Sn，则 等于 ( )S4a2A2 B4C. D.152 172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4a 1a 2a 3a 4 a 2a 2qa 2q2，a2q得 1qq
3、 2 .S4a2 1q 152方法二 S 4 ，a 2a 1q，a11 q41 q .S4a2 1 q41 qq 1524设a n是由正数组成的等比数列，S n为其前 n 项和，已知 a2a41，S 37，则 S5 等于( )A. B.152 314C. D.334 172答案 B解析 a n是由正数组成的等比数列，且 a2a41，设 an的公比为 q，则 q0，且 a 1，即 a31.23S3 7， a1a 2a 3 17，1q2 1q即 6q2q10.故 q 或 q (舍去)，12 13a1 4.1q2S5 8(1 ) .41 1251 12 125 3145在数列a n中，a n1 ca
4、 n(c 为非零常数)，且前 n 项和为 Sn3 nk ，则实数 k 的值为( )A0 B1 C 1 D2答案 C解析 当 n1 时，a 1S 13k，当 n2 时，a nS nS n1 (3 nk) (3 n1 k)3 n3 n1 23 n1 .由题意知a n为等比数列，所以 a13k2，k 1.6在等比数列a n中，公比 q 是整数，a 1a 418，a 2 a312，则此数列的前 8 项和为( )A514 B513 C512 D510答案 D解析 由 a1a 418 和 a2a 312，得方程组Error!，解得Error!或Error!.q 为整数， q2，a 12，S 8 2 925
5、10.228 12 1二、填空题7若a n是等比数列，且前 n 项和为 Sn3 n1 t ，则 t_.答案 13解析 显然 q1，此时应有 SnA(q n1) ，又 Sn 3nt，t .13 138设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a11，S 64S 3，则 a4_.答案 3解析 S 64S 3 q 33(q 31 不合题意，舍去 )a11 q61 q 4a11 q31 qa4 a1q3133.9若等比数列a n中，a 11，a n512，前 n 项和为 Sn341，则 n 的值是_答案 10解析 S n ，341 ，a1 anq1 q 1 512q1 qq2，又a na 1qn1
6、，512(2) n1 ，n 10.10如果数列a n的前 n 项和 Sn2a n1，则此数列的通项公式 an_.答案 2 n1解析 当 n1 时，S 12a 11，a 12a 11， a11.当 n2 时，a nS nS n1 (2a n1) (2a n1 1)an 2an1 ，a n是等比数列，an 2n1 ，nN *.三、解答题11在等比数列a n中，a 1a n66，a 3an2 128，S n 126，求 n 和 q.解 a3an2 a 1an，a 1an128，解方程组Error!得Error! 或Error! 将代入 Sn ，可得 q ，a1 anq1 q 12由 ana 1qn1
7、 可解得 n6.将代入 Sn ，可得 q2，a1 anq1 q由 ana 1qn1 可解得 n6.故 n6，q 或 2.1212求和：S nx2x 23x 3 nx n (x0) 解 分 x1 和 x1 两种情况(1)当 x1 时，S n123n .nn 12(2)当 x1 时，S nx2x 23 x3nx n，xSnx 22x 3 3x4(n1) xnnx n1 ，(1x) Snx x 2x 3x nnx n1 nx n1 .x1 xn1 xSn .x1 xn1 x2 nxn 11 x综上可得 SnError!.能力提升13已知 Sn为等比数列a n的前 n 项和，S n54，S 2n60
8、，求 S3n.解 方法一 由题意 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n成等比数列，62 54(S3n60)，S 3n .1823方法二 由题意得 a1，S n 54 a11 qn1 qS2n 60 a11 q2n1 q由得 1q n ，109qn ， ，19 a11 q 9548S3n (1 ) .a11 q3n1 q 9548 193 182314已知数列a n的前 n 项和 Sn2 n2 4.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bna nlog2an，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)由题意，S n2 n2 4，n2 时，a nS nS n1 2 n2 2 n1 2 n1
9、，当 n1 时，a 1S 12 344，也适合上式，数列 an的通项公式为 an 2n1 ，nN *.(2)bn anlog2an( n1)2 n1 ，Tn 22232 342 4n2 n( n1)2 n1 ， 2Tn22 332 442 5n2 n1 (n1)2 n2 . 得，Tn2 32 32 42 52 n1 ( n1)2 n22 3 (n 1)2n2231 2n 11 22 32 3(2n1 1)( n1)2 n2(n1)2 n2 232n1(n1)2 n2 2n2 n2 n2 .1在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n，n，q，S n，其中首项 a1 和公比 q 为基本量，且“知三求二” 2前 n 项和公式的应用中，注意前 n 项和公式要分类讨论，即 q1 和 q1 时是不同的公式形式，不可忽略 q1 的情况3一般地，如果数列a n是等差数列，b n是等比数列且公比为 q，求数列a nbn的前 n 项和时，可采用错位相减的方法求和