1、第二章 数 列2.1 数列的概念与简单表示法(一)课时目标1理解数列及其有关概念；2理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3对于比较简单的数列，会根据其前 n 项写出它的通项公式1按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项) ，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项2数列的一般形式可以写成 a1，a 2，a n，简记为a n3项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列4如果数列a n的第 n 项与序号 n 之间的关系
2、可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式一、选择题1数列 2,3,4,5，的一个通项公式为( )Aa nn Ba nn1Ca nn2 Da n2n答案 B2已知数列a n的通项公式为 an ，则该数列的前 4 项依次为( )1 1n 12A1,0,1,0 B0,1,0,1C. ，0，0 D2,0,2,012 12答案 A3若数列的前 4 项为 1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )Aa n 1(1) n1 12Ba n 1cos(n180)12Ca nsin 2(n90)Da n(n1)(n2) 1(1) n1 12答案 D解析 令 n1,2,3,4 代入验证即可4
3、已知数列a n的通项公式为 ann 2n50，则8 是该数列的 ( )A第 5 项 B第 6 项C第 7 项 D非任何一项答案 C解析 n 2n508，得 n7 或 n6(舍去) 5数列 1,3,6,10，的一个通项公式是( )Aa nn 2n1 Ba nnn 12Ca n Da nn 21nn 12答案 C解析 令 n1,2,3,4，代入 A、B、C、D 检验即可排除 A、B、D，从而选 C.6设 an (nN *)，那么 an1 a n等于( )1n 1 1n 2 1n 3 12nA. B.12n 1 12n 2C. D. 12n 1 12n 2 12n 1 12n 2答案 D解析 a n
4、 1n 1 1n 2 1n 3 12nan 1 ，1n 2 1n 3 12n 12n 1 12n 2an 1a n .12n 1 12n 2 1n 1 12n 1 12n 2二、填空题7已知数列a n的通项公式为 anError!.则它的前 4 项依次为 _答案 4,7,10,158已知数列a n的通项公式为 an (nN *)，那么 是这个数列的第_1nn 2 1120项答案 10解析 ，1nn 2 1120n(n2) 10 12，n10.9用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数 an与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是_答案 a n2n1解析 a 13，a
5、2325，a 33227，a 432229，a n2n1.10传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前 570 年 公元前 500 年) 学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第 10 个三角形数是_答案 55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，第 10 个三角形数为：12341055.三、解答题11根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，(2)0.8,0.88,0.888，(3) ， ， ， ， ，1214 581316 293
6、26164(4) ，1， ， ，32 710 917(5)0,1,0,1，解 (1)符号问题可通过(1) n或(1) n1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an( 1) n(6n5)(nN *)(2)数列变形为 (10.1)， (10.01) ，89 89(10.001)，a n (nN*)89 89(1 110n)(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第1 项变为 ，因此原数列可化为 ， ， ， ，2 32 21 321 22 322 23 323 24 324an (1
7、) n (nN*)2n 32n(4)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的3255 710 917通项公式为 bn2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16即数列n 2，可得分母的通项公式为 cnn 21，可得它的一个通项公式为 an (nN*)2n 1n2 1(5)anError!或 an (nN*)1 1n2或 an (nN*)1 cos n212已知数列 ；9n2 9n 29n2 1 (1)求这个数列的第 10 项；(2) 是不是该数列中的项，为什么？98101(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间
8、 内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由(13，23)(1)解 设 f(n)9n2 9n 29n2 1 .3n 13n 23n 13n 1 3n 23n 1令 n10，得第 10 项 a10f(10) .2831(2)解 令 ，得 9n300.3n 23n 1 98101此方程无正整数解，所以 不是该数列中的项98101(3)证明 a n 1 ，3n 23n 1 3n 1 33n 1 33n 1又 nN*，0 1，0a n1.33n 1数列中的各项都在区间(0,1)内(4)解 令 an ，则Error! ，13 3n 23n 123即Error! . n .76 83又 nN*，当
9、且仅当 n2 时，上式成立，故区间 上有数列中的项，且只有一项(13，23)为 a2 .47能力提升13数列 a，b，a，b，的一个通项公式是_答案 a n (1) n1a b2 (a b2 )解析 a ，b ，a b2 a b2 a b2 a b2故 an (1) n1 .a b2 (a b2 )14根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有多少个点解 图(1)只有 1 个点，无分支；图(2)除中间 1 个点外，有两个分支，每个分支有 1 个点；图(3)除中间 1 个点外，有三个分支，每个分支有 2 个点；图 (4)除中间 1 个点外，有四个分支，每个分支有 3 个
10、点；猜测第 n 个图中除中间一个点外，有 n 个分支，每个分支有( n 1)个点，故第 n 个图中点的个数为 1n(n1) n 2n1.1与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的(2)可重复性：数列中的数可以重复(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关2并非所有的数列都能写出它的通项公式例如， 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141，它没有通项公式3如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式例如：数列1,1，1,1，1,1，的通项公式可写成 an(1) n，也可以写成 an(1) n2 ，还可以写成anError! 其中 kN*.