1、习题课(2)课时目标1能由简单的递推公式求出数列的通项公式；2掌握数列求和的几种基本方法1等差数列的前 n 项和公式：S n na 1 d.na1 an2 nn 122等比数列前 n 项和公式：(1)当 q1 时，S nna 1；(2)当 q1 时，S n .a11 qn1 q a1 anq1 q3数列a n的前 n 项和 Sna 1a 2a 3a n，则 an Error!.4拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1) ；1nn 1 1n 1n 1(2) ( )；12n 12n 1 12 12n 1 12n 1(3) .1n n 1 n 1 n一、选择题1数列a n的前 n 项和为 Sn，若
2、an ，则 S5 等于( )1nn 1A1 B. C. D.56 16 130答案 B解析 a n ，1nn 1 1n 1n 1S5 (1 )( )( )12 12 13 15 161 .16 562数列a n的通项公式 an ，若前 n 项的和为 10，则项数为( )1n n 1A11 B99 C 120 D121答案 C解析 a n ，1n n 1 n 1 nSn 110，n120.n 13数列 1 ，2 ，3 ，4 ，的前 n 项和为( )12 14 18 116A. (n2n2) B. n(n1) 112 12n 12 12n 1C. (n2n2) D. n(n1) 2(1 )12 1
3、2n 12 12n答案 A解析 1 2 3 (n )12 14 18 12n(12n)( )12 14 12n nn 12121 12n1 12 (n2n) 112 12n (n2n2) .12 12n4已知数列a n的通项 an2n1，由 bn 所确定的数列b n的a1 a2 a3 ann前 n 项之和是( )An(n2) B. n(n4) C. n(n5) D. n(n7)12 12 12答案 C解析 a 1a 2a n (2n4) n 22n.n2bn n2， bn的前 n 项和 Sn .nn 525已知 Sn1234(1) n1 n，则 S17S 33S 50 等于( )A0 B1 C
4、 1 D2答案 B解析 S 17(12)(3 4)(1516)179，S33(12) (34)(3132)3317，S50(12) (34)(4950)25，所以 S17S 33S 501.6数列a n满足 a1，a 2a 1，a 3a 2，a na n1 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，那么 an等于( )A2 n1 B2 n1 1 C2 n1 D4 n1答案 A解析 由于 ana n1 12 n1 2 n1 ，那么 ana 1(a 2a 1)(a na n1 )122 n1 2 n1.二、填空题7一个数列a n，其中 a13，a 26，a n2 a n1 a n，那么这个数列的第 5
5、 项是_答案 68在数列a n中，a n1 ，对所有正整数 n 都成立，且 a12，则 an_.2an2 an答案 2n解析 a n1 ， .2an2 an 1an 1 1an 12 是等差数列且公差 d .1an 12 (n1) ，1an 1a1 12 12 n 12 n2an .2n9在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是_答案 1 473解析 100 内所有能被 3 整除的数的和为：S 13699 1 683.333 992100 内所有能被 21 整除的数的和为：S 221426384210.100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为S1S 2
6、1 6832101 473.10数列a n中，S n是其前 n 项和，若 a11，a n1 Sn (n1)，则 an_.13答案 Error!解析 a n1 Sn，a n2 Sn1 ，13 13an 2a n1 (Sn1 S n) an1 ，13 13an 2 an1 (n1)43a2 S1 ，a nError!.13 13三、解答题11已知等差数列a n满足：a 37，a 5a 726，a n的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn (nN *)，求数列b n的前 n 项和 Tn.1a2n 1解 (1)设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d.因为 a37，a 5a
7、726，所以Error!解得Error! 所以 an32( n1) 2n1，S n3n 2n 22n.nn 12所以，a n2n1，S nn 22n.(2)由(1)知 an2n1，所以 bn 1a2n 1 12n 12 1 14 1nn 1 ，14(1n 1n 1)所以 Tn (1 )14 12 12 13 1n 1n 1 (1 ) ，14 1n 1 n4n 1即数列b n的前 n 项和 Tn .n4n 112设数列a n满足 a12，a n1 a n32 2n1 .(1)求数列a n的通项公式；(2)令 bnna n，求数列b n的前 n 项和 Sn.解 (1)由已知，当 n1 时，a n1
8、 (a n1 a n)(a na n1 ) (a 2a 1)a 13(2 2n1 2 2n3 2)22 2(n1) 1 .而 a12，符合上式，所以数列a n的通项公式为 an2 2n1 .(2)由 bnna nn2 2n1 知Sn1222 332 5n2 2n1 ， 从而 22Sn12 322 532 7n2 2n1 . 得(12 2)Sn22 32 52 2n1 n2 2n1 ，即 Sn (3n 1)22n1 219能力提升13在数列a n中，a 12，a n1 a nln ，则 an等于 ( )(1 1n)A2ln n B2(n1)ln n C2nln n D1nln n答案 A解析 a
9、 n1 a nln ，(1 1n)an 1a nln ln ln(n1) ln n.(1 1n) n 1n又 a12，an a1(a 2a 1)(a 3a 2)( a4a 3)(a na n1 )2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3 ln nln( n1) 2ln nln 12ln n.14已知正项数列a n的前 n 项和 Sn (an1) 2，求a n的通项公式14解 当 n1 时，a 1S 1，所以 a1 (a11) 2，14解得 a11.当 n2 时，a nS nS n1 (an1) 2 (an1 1) 2 (a a 2a n2a n1 )，14 14 14 2n 2n 1a a 2(a na n1 )0 ，2n 2n 1(ana n1 )(ana n1 2)0.an an1 0，a na n1 2 0.an an1 2.an是首项为 1，公差为 2 的等差数列an 12(n1)2n1.1递推公式是表示数列的一种重要方法由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法2求数列前 n 项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法