1、第二章 章末复习课 课时目标综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题一、选择题1在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则 abc 的值为( )1 212 1abcA.1 B2 C3 D4答案 A解析 由题意知，a ，b ，c ，12 516 316故 abc1.2已知等比数列a n，a 13，且 4a1、2a 2、a 3 成等差数列，则 a3a 4a 5 等于( )A33 B72 C84 D189答案 C解析 由题意可设公比为 q，则 4a24a 1a 3，又 a13，q2.a3 a4a 5a 1q2(1qq 2)34(124)8
2、4.3已知一个等比数列首项为 1，项数为偶数，其奇数项和为 85，偶数项之和为 170，则这个数列的项数为( )A4 B6 C8 D10答案 C解析 设项数为 2n，公比为 q.由已知 S 奇 a 1a 3a 2n1 . S 偶 a 2a 4a 2n. 得，q 2，17085S2nS 奇 S 偶 255 ，a11 q2n1 q 1 22n1 22n8.4在公差不为零的等差数列a n中，a 1，a 3，a 7 依次成等比数列，前 7 项和为 35，则数列 an的通项 an等于( )An Bn1 C 2n1 D2n1答案 B解析 由题意 a a 1a7，即(a 12d) 2a 1(a16d) ，2
3、3得 a1d2d 2.又 d0，a 12d，S 77a 1 d35d35.762d 1，a 12，a na 1(n1)dn1.5在数列a n中，a 11，a nan1 a n1 (1) n (n2，n N )，则 的值是( )a3a5A. B. C. D.1516 158 34 38答案 C解析 由已知得 a21(1) 22，a3a2a 2( 1)3，a 3 ，12 a4 (1) 4，a 43，12 123a53(1) 5，a 5 ，23 .a3a5 12 32 346已知等比数列a n的各项均为正数，数列b n满足 bnln an，b 318，b 612，则数列 bn前 n 项和的最大值等于
4、( )A126 B130 C 132 D134答案 C解析 a n是各项不为 0 的正项等比数列，bn是等差数列又 b318，b 612，b 122，d2，Sn 22n (2) n223n，nn 12(n )2232 2324当 n11 或 12 时，S n最大，(Sn)max11 22311132.二、填空题7三个数成等比数列，它们的和为 14，积为 64，则这三个数按从小到大的顺序依次为_答案 2,4,8解析 设这三个数为 ，a，aq.由 aaqa 364，得 a 4.aq aq由 aaq 44q14.解得 q 或 q2.aq 4q 12这三个数从小到大依次为 2,4,8.8一个等差数列的
5、前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项和之比为 3227，则这个等差数列的公差是_答案 5解析 S 偶 a 2a 4a 6a 8a 10a 12；S 奇 a 1a 3a 5a 7a 9a 11.则Error! ， S 奇 162，S 偶 192，S 偶 S 奇 6d30，d5.9如果 b 是 a，c 的等差中项，y 是 x 与 z 的等比中项，且 x，y ，z 都是正数，则(bc)logmx( ca)log my(ab)log mz_.答案 0解析 a，b，c 成等差数列，设公差为 d，则(bc )logmx (ca)log my (ab)log mzdlog mx2dlog
6、mydlog mzdlog m dlog m10.y2xz10等比数列a n中，S 33，S 69，则 a13a 14a 15_.答案 48解析 易知 q1，Error!， 1q 33，q 32.S6S3a13a 14a 15(a 1a 2a 3)q12S 3q1232 448.三、解答题11设a n是等差数列，b n an，已知：b 1b 2b 3 ，b 1b2b3 ，求等差数列的(12) 218 18通项 an.解 设等差数列a n的公差为 d，则 an1 a n d.bn 1bn(12)an 1(12)an (12) (12)数列 bn是等比数列，公比 q d.(12)b1b2b3b ，
7、b 2 .3218 12Error!，解得Error!或Error!.当Error! 时，q 216，q4(q40，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn (nN *)，S nb 1b 2b n，是否存在 t，使得对任意的 n 均有 Sn1nan 3总成立？若存在，求出最大的整数 t；若不存在，请说明理由t36解 (1)由题意得(a 1d)(a 113d)( a14d) 2，整理得 2a1dd 2.d0， d2a1 1.an2n1 (nN *)(2)bn ，1nan 3 12nn 1 12(1n 1n 1)Sn b1b
8、2b n12(1 12) (12 13) (1n 1n 1) .12(1 1n 1) n2n 1假设存在整数 t 满足 Sn 总成立，t36又 Sn1 S n 0，n 12n 2 n2n 1 12n 2n 1数列 Sn是单调递增的S1 为 Sn的最小值，故 0，n2,3,4，) (1)求证：数列a n是等比数列；(2)设数列a n的公比为 f(t)，作数列b n，使 b11，b n f (n2,3,4，) 求数(1bn 1)列b n的通项 bn；(3)求和：b 1b2b 2b3b 3b4b 4b5b 2n1 b2nb 2nb2n1 .(1)证明 由 a1S 11，S 21a 2，得 a2 ，
9、.3 2t3t a2a1 3 2t3t又 3tSn(2t3)S n1 3t， 3tSn1 (2t3)S n2 3t. ，得 3tan(2t3)a n1 0. ，(n2,3，) anan 1 2t 33t数列 an是一个首项为 1，公比为 的等比数列2t 33t(2)解 由 f(t) ，2t 33t 23 1t得 bnf b n1 .(1bn 1) 23数列 bn是一个首项为 1，公差为 的等差数列23bn 1 (n1) .23 2n 13(3)解 由 bn ，可知 b2n1 和 b2n是首项分别为 1 和 ，公差均为 的等差数2n 13 53 43列于是 b1b2b 2b3b 3b4b 4b5b 2n1 b2nb 2nb2n1b 2(b1b 3)b 4(b3b 5)b 6(b5b 7)b 2n(b2n1 b 2n1 ) (b2b 4b 2n) n43 4312(53 4n 13 ) (2n23n)491等差数列和等比数列各有五个量 a1，n，d，a n，S n或 a1，n，q，a n，S n.一般可以“知三求二” ，通过列方程(组 )求关键量 a1 和 d(或 q)，问题可迎刃而解2数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：建立基本量的方程(组)求解；巧用等差数列或等比数列的性质求解；构建递推关系求解