1、2.2 等差数列(二)课时目标1进一步熟练掌握等差数列的通项公式2熟练运用等差数列的常用性质1等差数列的通项公式 ana 1(n1) d，当 d0 时，a n是关于 n 的常函数；当d0 时，a n是关于 n 的一次函数；点(n，a n)分布在以 d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点2已知在公差为 d 的等差数列a n中的第 m 项 am和第 n 项 an(mn)，则 d.am anm n3对于任意的正整数 m、n、 p、q，若 mnpq.则在等差数列 an中，a ma n与apa q之间的关系为 ama na pa q.一、选择题1在等差数列a n中，若 a2a 4a 6a 8a
2、1080，则 a7 a8 的值为( )12A4 B6C8 D10答案 C解析 由 a2a 4a 6a 8a 105a 680，a6 16， a7 a8 (2a7 a8)12 12 (a6a 8a 8) a68.12 122已知数列a n为等差数列且 a1a 7a 134，则 tan(a2a 12)的值为( )A. B3 3C D33 3答案 D解析 由等差数列的性质得 a1a 7a 133a 74，a7 .43tan(a2a 12) tan(2a7)tan83tan .23 33已知等差数列a n的公差为 d(d0) ，且 a3a 6a 10a 1332，若 am8，则 m 为( )A12 B
3、8C6 D4答案 B解析 由等差数列性质 a3a 6a 10a 13(a 3a 13)(a 6a 10)2a 82a 84a 832，a8 8，又 d0，m 8.4如果等差数列a n中，a 3a 4a 512，那么 a1a 2 a 7 等于( )A14 B21C28 D35答案 C解析 a 3a 4a 53a 412 ，a4 4.a1a 2a 3a 7( a1a 7)(a 2a 6)(a 3a 5)a 47a 428.5设公差为2 的等差数列a n，如果 a1a 4a 7 a9750，那么a3a 6a 9a 99 等于( )A182 B78C148 D82答案 D解析 a 3a 6a 9a 9
4、9(a 12d) (a 42d)(a 72d)( a972d)(a 1a 4a 97)2d33502(2)3382.6若数列a n为等差数列，a pq，a qp(pq) ，则 apq 为( )Apq B0C(pq) D.p q2答案 B解析 d 1，ap aqp q q pp qap qa pqdqq(1)0.二、填空题7若a n是等差数列，a 158，a 6020，则 a75_.答案 24解析 a 60a 1545d，d ，415a75a 6015d20424.8已知a n为等差数列，a 1a 3a 5105，a 2a 4a 6 99，则 a20_.答案 1解析 a 1a 3a 5105，3
5、a 3105，a 335.a2 a4a 63a 499.a4 33， da 4a 32.a20a 416d3316(2)1.9已知 是等差数列，且 a46，a 64，则 a10_.1an答案 125解析 2d，即 d .1a6 1a4 14 16 124所以 4d ，所以 a10 .1a10 1a6 14 16 512 12510已知方程(x 22xm)( x22xn) 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则14|m n| _.答案 12解析 由题意设这 4 个根为 ， d， 2d， 3d.14 14 14 14则 2，d ，这 4 个根依次为 ，14 (14 3d) 12 1434547
6、4n ，14 74 716m 或 n ，m ，34 54 1516 1516 716|mn| .12三、解答题11等差数列a n的公差 d0，试比较 a4a9 与 a6a7 的大小解 设 ana 1(n1)d，则 a4a9a 6a7(a 13d)( a1 8d)(a 15d)( a16d)(a 11a 1d24d 2)( a 11a 1d30d 2)21 216d 20，所以 a4a9a6a7.12已知等差数列a n中，a 1a 4a 715，a 2a4a645， 求此数列的通项公式解 a1a 72a 4，a 1a 4 a73a 415，a4 5.又 a2a4a645，a 2a69，即(a 4
7、2d)(a 4 2d)9，(5 2d)(52d)9，解得 d2.若 d2，a na 4(n4)d2n3；若 d2，a na 4(n4)d132n.能力提升13在 3 与 27 之间插入 7 个数，使这 9 个数成等差数列，则插入这 7 个数中的第 4 个数值为( )A18 B9C12 D15答案 D解析 设这 7 个数分别为 a1，a 2，a 7，公差为 d，则 2738d，d3.故 a434315.14已知两个等差数列a n：5,8,11，b n：3,7,11，都有 100 项，试问它们有多少个共同的项？解 在数列a n中，a 15，公差 d1853.an a1(n1)d 13n2.在数列b
8、 n中，b 13，公差 d2734，bn b1(n1)d 24n1.令 anb m，则 3n24m1，n 1.4m3m、 nN*，m3k (kN*)，又Error! ，解得 0m75.03k75，0 k25，k 1,2,3， 25两个数列共有 25 个公共项1在等差数列a n中，当 mn 时，d 为公差公式，利用这个公式很容易求am anm n出公差，还可变形为 ama n( mn) d.2等差数列a n中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列3等差数列a n中，若 mnpq，则 ana ma pa q(n，m，p，qN *)，特别地，若 mn2p，则 ana m2a p.