1、2.4 等比数列(二)课时目标1进一步巩固等比数列的定义和通项公式2掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题1一般地，如果 m，n，k，l 为正整数，且 mnkl，则有 amana kal，特别地，当 mn2k 时， amana .2k2在等比数列a n中，每隔 k 项(kN *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列3如果a n，b n均为等比数列，且公比分别为 q1，q 2，那么数列 ，a nbn， ，1an bnan|an|仍是等比数列，且公比分别为 ，q 1q2， ，|q 1|.1q1 q2q1一、选择题1在等比数列a n中，a 11，公比|q| 1.若 ama 1a2a
2、3a4a5，则 m 等于( )A9 B10C11 D12答案 C解析 在等比数列a n中， a11，ama 1a2a3a4a5a q10q 10.51ama 1qm1 q m1 ，m 110，m11.2已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 yx 22x3 的顶点是( b，c)，则 ad 等于( )A3 B2 C1 D2答案 B解析 y(x1) 22，b 1，c2.又 a，b，c，d 成等比数列，adbc2.3若 a，b，c 成等比数列，m 是 a，b 的等差中项，n 是 b，c 的等差中项，则 ( )am cnA4 B3 C2 D1答案 C解析 设等比数列公比为 q.由题意知：m ，n ，
3、a b2 b c2则 2.am cn 2aa b 2cb c 21 q 2q1 q4已知各项为正数的等比数列a n中，a 1a2a35，a 7a8a910，则 a4a5a6 等于( )A5 B72C6 D4 2答案 A解析 a 1a2a3a 5，a 2 .32 35a7a8a9a 10，a 8 .38 310a a 2a8 50 ，25 35013又 数列a n各项为正数，a5 50 .16a4a5a6a 50 5 .3512 25在由正数组成的等比数列a n中，若 a4a5a63，log 3a1log 3a2log 3a8log 3a9 的值为( )A. B. C2 D343 34 43答案
4、 A解析 a 4a6a ，a 4a5a6a 3，得 a53 .25 3513a1a9a 2a8a ，25log3a1log 3a2log 3a8log 3a9log 3(a1a2a8a9)log 3a log 33 .4543 436在正项等比数列a n中，a n1 an，a 2a86，a 4a 65，则 等于( )a5a7A. B. C. D.56 65 23 32答案 D解析 设公比为 q，则由等比数列a n各项为正数且 an1 an知 0q1，由 a2a86，得 a 6.25a5 ，a 4a 6 q 5.66q 6解得 q ， ( )2 .26 a5a7 1q2 62 32二、填空题7在
5、等比数列a n中，a 11，a 516，则 a3_.答案 4解析 由题意知，q 4 16，q 24，a 3a 1q24.a5a18已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4 成等比数列，则 a2_.答案 6解析 由题意知，a 3a 14，a 4a 16.a1， a3，a 4 成等比数列，a a 1a4， (a14) 2(a 1 6)a1，23解得 a18，a 26.9在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，则插入的 6 个数的积为_答案 8解析 设这 8 个数组成的等比数列为a n，则 a11，a 82.插入的 6 个数的积为 a2a3a4a5a6a7(a
6、 2a7)(a3a6)(a4a5)(a 1a8)32 38.10已知数列1，a 1，a 2，4 成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，则的值是_a2 a1b2答案 12解析 1，a 1，a 2，4 成等差数列，设公差为 d，则 a2a 1d (4)(1)1，13 1，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，b (1) (4) 4，b 2 2.2若设公比为 q，则 b2(1)q 2， b20.b22， .a2 a1b2 1 2 12三、解答题11有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为 21，中间两项和为 18，求这四个数解 设这四个数分别为 x，y,18
7、y, 21x，则由题意得Error!，解得Error! 或Error!.故所求的四个数为 3,6,12,18 或 ， ， ， .754 454 274 9412设a n、b n是公比不相等的两个等比数列，c na nb n，证明数列 cn不是等比数列证明 设a n、b n的公比分别为 p、q，p0，q0，pq，c na nb n.要证c n不是等比数列，只需证 c c 1c3 成立即可2事实上，c (a 1pb 1q)2a p2b q22a 1b1pq，2 21 21c1c3(a 1b 1)(a1p2b 1q2)a p2b q2a 1b1(p2q 2)21 21由于 c1c3c a1b1(pq
8、) 20，因此 c c 1c3，故c n不是等比数列2 2能力提升13若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列，c、a、b 成等比数列，且a3bc10，则 a 等于( )A4 B2 C2 D4答案 D解析 依题意有Error!代入求得 b2.从而Error! a 22a80，解得 a2 或 a4.当 a2 时，c2，即 abc 与已知不符，a4.14等比数列a n同时满足下列三个条件：a 1a 611 a 3a4 三个数 a2，a ，a 4 依次成等差数列，试求数列 an329 23 23 4a的通项公式解 由等比数列的性质知 a1a6a 3a4329Error!解得Error!求Error!
9、当Error! 时 q2an 2n113a2a 4 ，2a 23 49 329 23 329 a2，a ，a 4 成等差数列 ，23 23 49an 2n113当Error! 时 q ，a n 26n12 13a2a 4 2a ，23 49 23不符合题意，通项公式 an 2n1 .131等比数列的基本量是 a1 和 q，依据题目条件建立关于 a1 和 q 的方程(组) ，然后解方程(组)，求得 a1 和 q 的值，再解决其它问题2如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在 an， an1 ， an2 ，使 a anan2 .2n 13巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要