1、2.1 数列的概念与简单表示法(二)课时目标1了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列1如果数列a n的第 1 项或前几项已知，并且数列a n的任一项 an与它的前一项an1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 递推公式2数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集 1,2,3，n)的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值3一般地，一个数列a n，如果从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，即an1 an，那么这个数列叫做递增
2、数列如果从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，即an1 a11a301.所以，数列a n的前 30 项中最大的项是 a10，最小的项是 a9.二、填空题7已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且有 a13,4S n6a n an1 4S n1 ，则an_.答案 32 1n8已知数列a n满足：a 1a 21，a n2 a n1 a n，(nN *)，则使 an100 的 n 的最小值是_答案 129若数列a n满足：a 11，且 (nN *)，则当 n2 时，a n_.an 1an n 2n答案 nn 12解析 a 11，且 (nN*)an 1an n 2n a2a1a3a2a4a3 an
3、1an 2 anan 1 ，314253 nn 2n 1n 1即 an .nn 1210已知数列a n满足：a na n1 ，a nn 2n，nN *，则实数 的最小值是_答案 3解析 a na n1 n 2n (n1) 2 (n1)(2n1)，nN *3.三、解答题11在数列a n中，a 1 ，a n1 (n2，nN *)12 1an 1(1)求证：a n3 a n； (2) 求 a2 011.(1)证明 a n3 1 11an 2 11 1an 1111 11 1an1 1 111 anan 11an 1 anan 11 1an 11(1a n)a n.an 3a n.(2)解 由(1)知
4、数列a n的周期 T3，a1 ，a 21，a 32.12又 a2 011a 36701 a 1 ， a2 011 .12 1212已知 an (nN *)，试问数列a n中有没有最大项？如果有，求出这个最9nn 110n大项；如果没有，说明理由解 因为 an1 a n n1 (n2) n(n1)(910) (910) n1 n1 ，则(910) n 2 109n 1 (910) 8 n9当 n7 时， n1 0，(910) 8 n9当 n8 时， n1 0，(910) 8 n9当 n9 时， n1 a10a11a12，故数列a n存在最大项，最大项为 a8a 9 .99108能力提升13已知数
5、列a n满足 a11，a n1 a n ，nN *，则通项公式1nn 1an_.答案 1n解析 a n1 a n ，1nn 1a2 a1 ；112a3a 2 ；123a4a 3 ；134 ana n1 ；1n 1n以上各式累加得，a na 1 112 123 1n 1n1 12 12 13 1n 1 1n1 .1nan 11 ，a n .1n 1n14设a n是首项为 1 的正项数列，且(n1) a na a n1 an0( n1,2,3，)，2n 1 2n则它的通项公式是_答案 1n解析 (n1)a na anan1 0，2n 1 2n(n1)a n1 na n(an1 a n)0，an0，
6、a na n1 0，(n1) an1 na n0.方法一 .an 1an nn 1 a2a1a3a2a4a3a5a4 anan 1 ，12233445 n 1n .ana1 1n又 a11， an a1 .1n 1n方法二 (n1)a n1 na n0，nan(n1) an1 1a 11，nan1，a n .1n函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型) ，由于它的定义域是 N*或它的子集1,2，n，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即 anan1 )，则图象呈上升趋势，即数列递增，即a n递增a n1 an对任意的 n (nN*)都成立类似地，有a n递减a n1 an对任意的 n(nN*)都成立