1、2.5 等比数列的前 n 项和(二)课时目标1熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题2能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题1等比数列a n的前 n 项和为 Sn，当公比 q1 时，S n ；当a11 qn1 q a1 anq1 qq1 时，S nna 1.2等比数列前 n 项和的性质：(1)连续 m 项的和 (如 Sm、S 2mS m、S 3mS 2m)，仍构成等比数列(注意：q1 或 m为奇数)(2)Smn S mq mSn(q 为数列 an的公比)(3)若a n是项数为偶数、公比为 q 的等比数列，则 q.S偶S奇3解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中
2、建立等比数列模型一、选择题1在各项都为正数的等比数列a n中，首项 a13，前 3 项和为 21，则 a3a 4a 5 等于( )A33 B72 C 84 D189答案 C解析 由 S3a 1(1qq 2)21 且 a13，得qq 260.q0 ，q2.a 3a 4a 5q 2(a1a 2a 3) 22S384.2某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为( )A1.1 4a B1.1 5a C10a(1.1 51) D11a(1.1 51)答案 D解析 注意去年产值为 a，今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a,1.12a,1.1
3、3a,1.14a,1.15a.1.1a1.1 2a1.1 3a1.1 4a 1.15a11a(1.1 51)3已知a n是首项为 1 的等比数列，S n 是a n的前 n 项和，且 9S3S 6，则数列 的1an前 5 项和为( )A. 或 5 B. 或 5 C. D.158 3116 3116 158答案 C解析 若 q1，则由 9S3S 6 得 93a16a 1，则 a10，不满足题意，故 q1.由 9S3S 6 得 9 ，a11 q31 q a11 q61 q解得 q2.故 ana 1qn1 2 n1 ，( )n1 .1an 12所以数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，其前 5
4、项和为1an 12S5 .11 1251 12 31164一弹性球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A300 米 B299 米 C 199 米 D166 米答案 A解析 小球 10 次着地共经过的路程为 10010050100 8299 300(米)(12) 39645在等比数列中，S 3013S 10，S 10S 30140，则 S20 等于( )A90 B70 C 40 D30答案 C解析 q1 (否则 S303S 10)，由Error! ， Error!，Error!，q 20q 10120.q
5、103， S20 S 10(1q 10)a11 q201 q10(13) 40.6某企业在今年年初贷款 a 万元，年利率为 ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A. 万元 B. 万元a1 1 5 1 a1 51 5 1C. 万元 D. 万元a1 51 4 1 a1 5答案 B解析 设每年偿还 x 万元，则：xx (1)x(1 ) 2x(1 )3x(1) 4a(1 )5，x .a1 51 5 1二、填空题7等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S1,2S2,3S3 成等差数列，则 an的公比为_答案 13解析 由已知 4S2S 13S 3，即 4(a1a 2
6、)a 13(a 1a 2a 3)a2 3a3，an的公比 q .a3a2 138在等比数列a n中，已知 S448，S 860，则 S12_.答案 63解析 方法一 S 82S 4，q1，由已知得Error!由得1q 4 ，q 4 54 14将代入得 64，a11 qS12 64(1 )63.a11 q121 q 143方法二 因为a n为等比数列，所以 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 也成等比数列，所以(S 2nS n)2S n(S3nS 2n)，所以 S3n S 2n，S2n Sn2Sn所以 S12 S 8 6063.S8 S42S4 60 482489一个蜂巢里有一只蜜蜂，第 1
7、 天，它飞出去找回了 2 个伙伴；第 2 天，3 只蜜蜂飞出去，各自找回了 2 个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第 6 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂答案 729解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 13，q3，第 6 天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为 a63 6729( 只) 10某工厂月生产总值的平均增长率为 q，则该工厂的年平均增长率为_答案 (1q) 121解析 设第一年第 1 个月的生产总值为 1，公比为(1q)，该厂第一年的生产总值为S11(1 q) (1q) 2 (1q) 11.则第 2 年第 1 个月的生产总值为(1q) 12，第 2 年全年生产总值 S2
8、(1 q)12(1q) 13(1q) 23(1q) 12S1，该厂生产总值的平均增长率为 1(1q) 121.S2 S1S1 S2S1三、解答题11为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该矿区计划从 2010 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减少 10%.(1)以 2010 年为第一年，设第 n 年出口量为 an 吨，试求 an 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2010 年最多出口多少吨？( 保留一位小数)参考数据：0.9 100.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1 a，
9、公比q110% 0.9，a na0.9 n1 (n1)(2)10 年的出口总量 S10 10a(1 0.9 10)a1 0.9101 0.9S1080， 10a(10.9 10)80，即 a ，a12.3.81 0.910故 2010 年最多出口 12.3 吨12某市 2008 年共有 1 万辆燃油型公交车，有关部门计划于 2009 年投入 128 辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%，试问：(1)该市在 2015 年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ？(lg 6572.82，lg 1320.30，lg 30.4
10、8)解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 an，其中a1128，q1.5，则在 2015 年应该投入的电力型公交车为 a7a 1q61281.5 61 458( 辆)(2)记 Sna 1a 2a n，依据题意，得 ，Sn10 000 Sn13于是 Sn 5 000(辆)，即 1.5n .1281 1.5n1 1.5 65732两边取常用对数，则 nlg 1.5lg ，65732即 n 7.3，又 nN ，因此 n8.lg 657 5lg 2lg 3 lg 2所以到 2016 年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 .13能力提升13有纯酒精 a L(a1)，从中取出
11、 1 L，再用水加满，然后再取出 1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_L.答案 8(1 1a)(2 1a)解析 用a n表示每次取出的纯酒精，a 11，加水后浓度为 1 ，a 21 ，a 1a 1a 1a加水后浓度为 2，a 3 2，(1 1a)(a 1a ) (1 1a) (1 1a)依次类推：a 9 8，a 10 9.(1 1a) (1 1a) 8 9 8 .(1 1a) (1 1a) (1 1a)(2 1a)14现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款
12、1 万元，第一年可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 5 千元，两方案使用期都是 10 年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息 10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？( 精确到千元，数据 1.1102.594,1.3 1013.79)解 甲方案 10 年中每年获利数组成首项为 1，公比为 130%的等比数列，其和为1(130%) (130%) 2 (1 30%) 9 42.63(万元) ，1.310 11.3 1到期时银行贷款的本息为10(10.1) 10102.59425.94(万元) ，甲方案扣除贷款本息后，净获利约为426325.9416.7(万元)乙方案 10 年中逐年获利数组成等差数列，11.5(190.5)101 5.5232.50(万元) ，而贷款本利和为111(1 10%)(110%) 91.11.110 11.1 117.53(万元) 乙方案扣除贷款本息后，净获利约为325017.5315.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利1准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误2利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型要确定 a1 与项数 n 的实际含义，同时要搞清是求 an 还是求 Sn 的问题