1、广东省广州市 2016 年中考数学试卷（解析版二）一、选择题（2016 广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作九章算术的“方程 ”一章，在世界数学史上首次正式引入负数如果收入 100 元记作+100 元那么 80元表示（ ）A支出 20 元 B收入 20 元 C支出 80 元 D收入 80 元【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示【解答】解：根据题意，收入 100 元记作+100 元，则80 表示支出 80 元故选：C【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负” 的相对性，确定一对具有相反意义的量2如图所示的几何体左视图是（ ）A B C
2、 D【分析】根据几何体的左视图的定义判断即可【解答】解：如图所示的几何体左视图是 A，故选 A【点评】本题考查了由几何体来判断三视图，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力3据统计，2015 年广州地铁日均客运量均为 6 590 000 人次，将 6 590 000 用科学记数法表示为（ ）A6.5910 4 B65910 4 C65.910 5 D6.59 106【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是
3、正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 6 590 000 用科学记数法表示为：6.5910 6故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 09 这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）A B C D【分析】最后一个数字可能是 09 中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可【解答
4、】解：共有 10 个数字，一共有 10 种等可能的选择，一次能打开密码的只有 1 种情况，一次能打开该密码的概率为 故选 A【点评】此题考查了概率公式的应用注意概率=所求情况数与总情况数之比5下列计算正确的是（ ）A Bxy 2C2 D（xy 3） 2=x2y6【分析】分别利用二次根式加减运算法则以及分式除法运算法则和积的乘方运算法则化简判断即可【解答】解：A、 无法化简，故此选项错误；B、xy 2 =2xy3，故此选项错误；C、2 +3 ，无法计算，故此选项错误；D、（xy 3） 2=x2y6，正确故选：D【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及分式除法运算和积的乘方运算，正确掌握相关运算
5、法则是解题关键6一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均 80 千米/小时的速度用了 4 个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时汽车的速度 v 千米/小时与时间 t 小时的函数关系是（ ）Av=320t Bv= Cv=20t Dv=【分析】根据路程=速度时间，利用路程相等列出方程即可解决问题【解答】解：由题意 vt=804，则 v= 故选 B【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型7如图，已知ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6 ，DE 是 AC 的垂直平分线，DE 交 AB 于点 D，连接 CD，则 CD=（ ）A3 B
6、4 C4.8 D5【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形，进而得出线段 DE 是ABC 的中位线，再利用勾股定理得出 AD，再利用线段垂直平分线的性质得出 DC 的长【解答】解：AB=10 ，AC=8，BC=6，BC2+AC2=AB2，ABC 是直角三角形，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=EC=4，DE BC，且线段 DE 是ABC 的中位线，DE=3，AD=DC= =5故选：D【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出 AD 的长是解题关键8若一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）Aab0 Ba
7、 b0 Ca 2+b0 Da+b0【分析】首先判断 a、b 的符号，再一一判断即可解决问题【解答】解：一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，a0，b0，abO，故 A 错误，ab 0，故 B 错误，a2+b0，故 C 正确，a+b 不一定大于 0，故 D 错误故选 C【点评】本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定 a、b的符号，属于中考常考题型9对于二次函数 y= +x4，下列说法正确的是（ ）A当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 B当 x=2 时，y 有最大值3C图象的顶点坐标为（ 2， 7） D图象与 x 轴有两个交点【分析】先用配方法把函数化
8、为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解【解答】解：二次函数 y= +x4 可化为 y= （x2） 23，又 a= 0当 x=2 时，二次函数 y= x2+x4 的最大值为3故选 B【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法10定义运算：ab=a（1b）若 a，b 是方程 x2x+ m=0（m0）的两根，则 bbaa 的值为（ ）A0 B1 C2 D与 m 有关【分析】由根与系数的关系可找出 a+b=1，ab= m，根据新运算，找出 bbaa=b（1 b）a（ 1a），将其中的 1 替换成 a+b，即可得出结论【解
9、答】解：a，b 是方程 x2x+ m=0（m0）的两根，a+b=1，ab= mbbaa=b（1b） a（1a ）=b（a+b b）a（a+b a）=abab=0故选 A【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出 a+b=1，ab= m本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键二填空题（本大题共六小题，每小题 3 分，满分 18 分）11分解因式：2a 2+ab= a （2a+b） 【分析】直接把公因式 a 提出来即可【解答】解：2a 2+ab=a（2a+b）故答案为：a（2a+b ）【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是
10、解题的关键12代数式 有意义时，实数 x 的取值范围是 x9 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，9x 0，解得，x9，故答案为：x9 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键13如图，ABC 中，AB=AC ，BC=12cm，点 D 在 AC 上，DC=4cm将线段 DC 沿着CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，点 E，F 分别落在边 AB，BC 上，则EBF 的周长为 13 cm【分析】直接利用平移的性质得出 EF=DC=4cm，进而得出 BE=EF=4cm，进而求出答案【解答】解
11、：将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，EF=DC=4cm，FC=7cm，AB=AC，BC=12cm，B=C，BF=5cm，B=BFE，BE=EF=4cm，EBF 的周长为：4+4+5=13（cm ）故答案为：13【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出 BE 的长是解题关键14分式方程 的解是 x=1 【分析】根据解分式方程的方法可以求得分式方程 的解，记住最后要进行检验，本题得以解决【解答】解：方程两边同乘以 2x（x3），得x3=4x解得，x= 1，检验：当 x=1 时，2x（x3） 0，故原分式方程的解是 x=1，故答案为：x=1【点评】本题考查分式方程的
12、解，解题的关键是明确解分式方程的解得方法，注意最后要进行检验15如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P 为切点，AB=12 ，OP=6，则劣弧 AB 的长为 8 【分析】连接 OA、OB，由切线的性质和垂径定理易得 AP=BP= ，由锐角三角函数的定义可得AOP=60 ，利用弧长的公式可得结果【解答】解：连接 OA、OB，AB 为小O 的切线，OPAB，AP=BP= ， = ，AOP=60，AOB=120， OAP=30，OA=2OP=12，劣弧 AB 的长为： = =8故答案为：8【点评】本题主要考查了切线的性质，垂径定理和弧长公式，利用三角函数求得AOP
13、=60是解答此题的关键16如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC，BD 是对角线将DCB 绕着点 D 顺时针旋转45得到DGH，HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG则下列结论：四边形 AEGF 是菱形AEDGEDDFG=112.5BC+FG=1.5其中正确的结论是 【分析】首先证明ADEGDE，再求出AEF 、AFE 、GEF、GFE 的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形，AD=DC=BC=AB，DAB= ADC=DCB=ABC=90，ADB= BDC=CAD=CAB=45，DHG 是由 DBC 旋转得
14、到，DG=DC=AD，DGE= DCB=DAE=90，在 RTADE 和 RTGDE 中，AEDGED，故正确，ADE=EDG=22.5，AE=EG ，AED=AFE=67.5，AE=AF，同理 EG=GF，AE=EG=GF=FA，四边形 AEGF 是菱形，故正确，DFG=GFC+DFC=BAC+DAC+ADF=112.5，故正确AE=FG=EG=BG，BE= AE，BEAE，AE ，CB+FG1.5，故 错误故答案为【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型三、
15、解答题17解不等式组 并在数轴上表示解集【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心” 的原则在数轴上将解集表示出来【解答】解：解不等式 2x5，得：x ，解不等式 3（x+2）x+4，得：x1，不等式组的解集为： 1x ，将不等式解集表示在数轴上如图：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键18如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=AO，求 ABD 的度数
16、【分析】首先证明 OA=OB，再证明 ABO 是等边三角形即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，OA=OC，OB=OD ，AC=BD，AO=OB，AB=AO，AB=AO=BO，ABO 是等边三角形，ABD=60【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型19某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学” 比赛现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为个小组打，各项成绩均按百分制记录甲、乙、丙三个小组各项得分如表：小组 研究报告 小组展示 答辩甲 91 80
17、78乙 81 74 85丙 79 83 90（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；（2）如果按照研究报告占 40%，小组展示占 30%，答辩占 30%计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？【分析】（1）根据表格可以求得各小组的平均成绩，从而可以将各小组的成绩按照从大到小排列；（2）根据题意可以算出各组的加权平均数，从而可以得到哪组成绩最高【解答】解：（1）由题意可得，甲组的平均成绩是： （分），乙组的平均成绩是： （分），丙组的平均成绩是： （分），从高分到低分小组的排名顺序是：丙甲乙；（2）由题意可得，甲组的平均成绩是： （分），乙组的平均成绩是： （分），丙组的平均
18、成绩是： （分），由上可得，甲组的成绩最高【点评】本题考查算术平均数、加权平均数、统计表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件20已知 A= （a，b0 且 ab）（1）化简 A；（2）若点 P（a，b）在反比例函数 y= 的图象上，求 A 的值【分析】（1）利用完全平方公式的展开式将（a+b） 2 展开，合并同类型、消元即可将 A进行化解；（2）由点 P 在反比例函数图象上，即可得出 ab 的值，代入 A 化解后的分式中即可得出结论【解答】解：（1）A= ，= ，= ，= （2）点 P（a，b）在反比例函数 y= 的图象上，ab=5，A= = 【点评】本题考查了分式的化解求值以及反比
19、例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）将原分式进行化解；（2）找出 ab 值本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原分式进行化解，再代入 ab 求值即可21如图，利用尺规，在ABC 的边 AC 上方作CAE=ACB，在射线 AE 上截取AD=BC，连接 CD，并证明：CD AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【分析】利用尺规作EAC= ACB 即可，先证明四边形 ABCD 是平行四边形，再证明CDAB 即可【解答】解：图象如图所示，EAC=ACB，ADCB，AD=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的
20、关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型22如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B，D，从无人机 A 上看目标 B，D 的俯角分别为 30，60 ，此时无人机的飞行高度 AC 为 60m，随后无人机从 A 处继续飞行 30 m到达 A处，（1）求 A，B 之间的距离；（2）求从无人机 A上看目标 D 的俯角的正切值【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过 A作 AEBC 交 BC 的延长线于 E，连接 AD，于是得到AE=AC=60，CE=AA=30 ，在 RtABC 中，求得 DC= AC=20 ，然后根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：（1）由题意得
21、：ABD=30，ADC=60，在 RtABC 中，AC=60m，AB= = =120（m）；（2）过 A作 AEBC 交 BC 的延长线于 E，连接 AD，则 AE=AC=60，CE=AA =30 ，在 RtABC 中，AC=60m， ADC=60，DC= AC=20 ，DE=50 ，tanAAD=tanADC= = = 答：从无人机 A上看目标 D 的俯角的正切值是 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形注意方程思想与数形结合思想的应用23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+3 与 x 轴交于点 C，与直线 AD 交于点
22、A（ ， ），点 D 的坐标为（ 0，1）（1）求直线 AD 的解析式；（2）直线 AD 与 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 AD 上一动点（不与点 B 重合），当BOD与BCE 相似时，求点 E 的坐标【分析】（1）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，用待定系数法将 A（ ， ），D（0，1）的坐标代入即可；（2）由直线 AD 与 x 轴的交点为（2，0），得到 OB=2，由点 D 的坐标为（0，1），得到 OD=1，求得 BC=5，根据相似三角形的性质得到 或 ，代入数据即可得到结论【解答】解：（1）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，将 A（ ， ），D（0，1）代入得： ，
23、解得： 故直线 AD 的解析式为：y= x+1；（2）直线 AD 与 x 轴的交点为（2，0），OB=2，点 D 的坐标为（0，1），OD=1，y=x+3 与 x 轴交于点 C（3，0），OC=3，BC=5BOD 与BCE 相似， 或 ， = = 或 ，BE=2 ，CE= ，或 CE= ，E（ 2，2），或（3， ）【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键24已知抛物线 y=mx2+（12m）x+13m 与 x 轴相交于不同的两点 A、B（1）求 m 的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标；（3）当 m8
24、 时，由（2）求出的点 P 和点 A，B 构成的ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的 m 值【分析】（1）根据题意得出=（1 2m） 24m（1 3m）=（14m ） 20，得出 14m0，解不等式即可；（2）y=m（x 22x3）+x+1，故只要 x22x3=0，那么 y 的值便与 m 无关，解得 x=3 或x=1（舍去，此时 y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4 ）；（3）由|AB|=|x AxB|得出|AB|=| 4|，由已知条件得出 4，得出 0| 4| ，因此|AB|最大时，| |= ，解方程得出 m=8，或 m= （舍去），即可得出结果【解答】（1）解：当 m=0
25、 时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；当 m0 时，抛物线 y=mx2+（1 2m）x+1 3m 与 x 轴相交于不同的两点 A、B，=（1 2m） 24m（13m）=（14m） 20，14m0，m ；（2）证明：抛物线 y=mx2+（12m ）x+13m ，y=m（x 22x3）+x+1，抛物线过定点说明在这一点 y 与 m 无关，显然当 x22x3=0 时，y 与 m 无关，解得：x=3 或 x=1，当 x=3 时，y=4，定点坐标为（3，4）；当 x=1 时，y=0，定点坐标为（1，0），P 不在坐标轴上，P（ 3，4）；（3）解：|AB|=|xAxB|= = = =| |=| 4|，
26、 m8， 4， 40，0 | 4| ，|AB|最大时，| |= ，解得：m=8，或 m= （舍去），当 m=8 时，|AB|有最大值 ，此时ABP 的面积最大，没有最小值，则面积最大为： |AB|yP= 4= 【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点 P 的坐标是解决问题的关键25如图，点 C 为ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在 上，且不与点 B，D 重合），ACB=ABD=45（1）求证：BD 是该外接圆的直径；（2）连结 CD，求证： AC=BC+CD；（3）若ABC 关于直线 AB 的对称图形为
27、 ABM，连接 DM，试探究 DM2，AM 2，BM 2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【分析】（1）要证明 BD 是该外接圆的直径，只需要证明BAD 是直角即可，又因为ABD=45，所以需要证明ADB=45；（2）在 CD 延长线上截取 DE=BC，连接 EA，只需要证明EAF 是等腰直角三角形即可得出结论；（3）过点 M 作 MFMB 于点 M，过点 A 作 AFMA 于点 A，MF 与 AF 交于点 F，证明AMF 是等腰三角形后，可得出 AM=AF，MF= AM，然后再证明ABF ADM 可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出 DM2，AM 2，BM 2 三者之间的数量关系【
28、解答】解：（1） = ，ACB=ADB=45，ABD=45，BAD=90，BD 是ABD 外接圆的直径；（2）在 CD 的延长线上截取 DE=BC，连接 EA，ABD=ADB，AB=AD，ADE+ADC=180，ABC+ADC=180，ABC=ADE，在ABC 与ADE 中，ABCADE（SAS），BAC=DAE，BAC+CAD=DAE+CAD，BAD=CAE=90， =ACD=ABD=45，CAE 是等腰直角三角形， AC=CE， AC=CD+DE=CD+BC；（3）过点 M 作 MFMB 于点 M，过点 A 作 AFMA 于点 A，MF 与 AF 交于点 F，连接BF，由对称性可知：AMB=ACB=45，FMA=45，AMF 是等腰直角三角形，AM=AF，MF= AM，MAF+MAB=BAD+MAB，FAB=MAD，在ABF 与 ADM 中，ABFADM（SAS），BF=DM，在 RtBMF 中，BM2+MF2=BF2，BM2+2AM2=DM2【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形