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江苏省五校2019届高三12月联考数学(文)试卷试卷及答案

1、 1 2019 届高三年级五校联考 数学 文 试题( I)卷 2018.12.21 一、 填空题 :本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,把答案填写在 答题卡上相应位置上 . 1.已知集合 3,2,1 aBA ,若 1BA ,则 BA . 2.函数 )32lg()( 2 xxxf 的定义域为 . 3.已知复数 z 满足 iiz 1 ( i 是虚数单位),则复数 z 的模为 . 4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 . 5.已知函数 0,log 0,2)(2 xxxxf x ,则 )2(ff . 6.若“ 1| ax ”是“ 2x ”的充分不必要条件,则 实数 a 的取

2、值范围为 . 7.已知 函数 axy ln 的图象与直线 1xy 相切,则实数 a 的值为 . 8.已知函数 )22)(2s in ( xy 在 6x 时取得最大值,则 的值是 . 9.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知角 的终边经过点 )2,1(A ,将角 的终边绕原点按逆时 针方向旋转 2 与角 的终边重合 ,则 )sin( 的值为 . 10.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 156,31 31 Sa ,则12aa 的取值范围 是 . 11.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 )0(12222 babyax 的左、右顶点分别为 A 、 B ,右焦点为 F ,上顶

3、点为 C ,线段 BC 的中点为 M ,直线 AM 与椭圆的另一个交点为 D ,且 DF 垂直于 x 轴,则椭圆离心率 e 的值为 .12.如图,在 ABC 中, a、 b、 c 分别是角 A B C、 、 所对的边, FE, 是 AB 上的两个三等 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题第 20 题,共 20 题) .本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟 .考试结束后,请将本试 卷和答题卡一并交回 . 2答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 . 3

4、作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置 作答一律无效 . 4如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗 . 2 分点, HG, 是 AC 上的两个三等分点,910)()( CFBHCEBG,则 Cbcos 的最小 值为 . 13.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 1: 22 yxO ,直线 axyl : ,过直线 l 上点 P 作圆 O 的切线PBPA, ,切点分别为 BA, ,若存在点 P 使得 POPBPA 23 ,则实数 a 的取值范围是 . 14.已知 函数 1,22 1|,|)( 2 xaxx xaxexfx (

5、e 是自然对数的底数)恰有三个不同的零点 ,则实数 a 的取值范围是 . 二、解答题 :本大题共 6 小题,共计 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. (本小题满分 14 分 ) 已知向量 a )1,cos2( , )sin2,1( b 且 ),0( ( 1) 若 ba/ ,求 的值; ( 2) 若52ba,求 | ba 的值 . 16. (本小题满分 14 分 ) 已知函数 xemexfxx 2)( 是定义在 1,1 的奇函数 (其中 e 是自然对数的底数) . ( 1) 求实数 m 的值; ( 2) 若 2( 1) (2 ) 0f a f a ,求实数 a 的取值范围

6、 . 17. (本小题满分 14 分 ) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 :C )0(12222 babyax 的右准线方 程 4: xl ,离心率21e ,左右顶点分别为 BA, ,右焦点为 F ,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方 . 3 ( 1) 设直线 PA 的斜率为 1k ,直线 PB 的斜率为 2k ,求 21 kk 的最小值; ( 2) 点 Q 在右准线 l 上,且 QFPF ,直线 QP 交 x 负半轴于点 M , 若 6MF ,求点 P 坐标 . 18. (本小题满分 16 分 ) 如图,港珠澳大桥连接珠海( A 点)、澳门( B 点)、香港( C 点)线段

7、AB 长度为 )(10km ,线段 BC 长度为 )(40km ,且 60ABC .澳门( B 点)与香港( C 点)之间有一段海底隧道,连接人工岛 E 和人工岛 F ,海底隧道是以 O 为圆心,半径 )(3 310 kmR 的一段圆弧 EF ,从珠海点 A 到人工岛 E 所在的直 线 AE 与圆 O 相切,切点为点 E , 记 )2,6, AEB. ( 1) 用 表示 AE 、 EF 及弧长 EF ; ( 2) 记路程 AE 、弧长 EF 及 、BE FC 四段长总和为 l ,当 取何值时, l 取得最小值? 19. (本小题满分 16 分 ) 已知函数 xaxexgxxaxxf x )22

8、()2()(,ln)( 2 ( e 是自然对数的底数) . ( 1) 若 1a ,求函数 )(xf 的单调增区间; ( 2) 若关于 x 的不等式 0)( xf 恒成立,求实数 a 的取值范围; ( 3) 若函数 )()()( xgxfxh 在 1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围 . )(3310 kmR)(10km(第 18 题) 4 20. (本小题满分 16 分 ) 已知数列 na 、 nb 、 nc ,对于给定的正整数 k ,记 knnn aab , knnn aac ( Nn ) .若对任意的正整数 n 满足: 1 nn bb ,且 nc 是等差数列,则称数列 na 为“ )(

9、kH ” 数列 . ( 1) 若数列 na 的前 n 项和为 2nSn ,证明: na 为 )(kH 数列; ( 2) 若数列 na 为 )1(H 数列,且 5,1,1 211 cba ,求数列 na 的通项公式; ( 3) 若数列 na 为 )2(H 数列,证明: na 是等差数列 . 5 数学试卷( I)答案 2018.12.21 一、 填空题 : 1、 1,2,3 2、 ),3()1,( 3、 2 4、 5 5、 -2 6、 1a 7、 2 8、69、5310、 5,3211、5412、 1 13、 22,22 14、 32( , )22二、解答题 : 15、 解( 1)因为 ba/ ,

10、所以 1cossin4 ,所以 212sin 3 分 又因为 ),0( ,所以 )2,0(2 ,所以 62 或 65 ,所以 12 或 125 7 分 (漏 1解扣 2分) ( 2) 因为 52ba ,所以 52sin2cos2 ,所以 51sincos 10 分 所以 5170)1si n2()1co s2(| 22 ba 14 分 (忘记开根号扣 2分) 16、 解( 1)因为 xemexfxx 2)( 是定义在 1,1 的奇函数,所以 0)0( f ,所以 m=14 分 当 m=1 时, xeexfxx 21)( ,所以 )(21)( xfxeexf xx 6 分 ( 2) 21)( x

11、x eexf21 xx ee ,所以 0)( xf ,当且仅当 x=0时 0)( xf ,所以 )(xf 在 1,1 单调递增 10 分 所以2221121111aaaa,所以 210 a 14 分 (忘记定义域扣 2分) 17、 解( 1) 134 22 yx 2 分 设点 P ),( 00 yx ,则 21 kk02000000 34422 yx yx yx y 6 分 因为 3,0(0y ,所以,当 30y 时 21 kk 的最小值为 3 7 分 (用结论2221 abkk 不证明扣 2 分) ( 2)设点 P ),( 00 yx ,则 QF: )1(100 xyxy ,所以点 Q )1

12、(3,4(00yx 9 分 因为点 P、 Q、 M 三点共线,所以 QMPM kk ,所以 )1)(5(3 0020 xxy 11 分 又因为 134 2020 yx ,所以 40x 或 54 ,因为 )2,2(0 x ,所以 P )573,54( 14 分 6 18.解( 1)在 ABE 中,由正弦定理可知: si n 35si n1060si n AEAE 2 分 在 OEF 中, si n3 320si n2 REF4 分 EF 3 3202 R 6 分 ( 2) 26,si n3 320403 320si n 35 l 8 分 2 232 22 si n3 )4c o s7c o s4

13、c o s4(35si n3 )si nc o s4si n4c o s3(35 l 10 分 即 2 2 si n3 )4co sco s2)(1co s2(35 l 12 分 由 23,0(co s t ,则 0424c o sc o s2 22 tt 14 分 当 36 时, 0l ;当 23 时, 0l l 在 )3,6( 上单调递减 ,在 )2,3( 上单调递增 答:当 3 时, l 取得最小值 .16 分 19. 解( 1)当 1a 时, x xxxxxfxxxxf )1)(12(112)(ln)( 2 因为 0x ,所有 10 x 时, 0)( xf ; 1x 时, 0)( xf

14、 则 )(xf 在 ),1( 上单调递增。 3 分 ( 2) ( 法 1:不分参,分类讨论 ) )0(12112)( 2 xx xaxxaxxf 若 0a 时, 0)( xf ,则 )(xf 在 ),0( 上单调递减, 由 01)1( af 与 0)( xf 恒成立矛盾,所以 0a 不合题意; 5 分 (不举反例扣 1分) 若 0a 时,令 0)( xf ,则 a ax 4 8110 所以 当 00 xx 时, 0)( xf ;当 0xx 时, 0)( xf 则 )(xf 在 ),0( 0x 单调递减,在 ),( 0x 单调递增 7 分 所以 )(xf 的最小值为 00200 ln)( xxa

15、xxf ( *), 7 又 )1(21012 020020 xaxxax带入( *)得:000 21ln21)( xxxf , 由 0)( xf 恒成立,所以 021ln21)( 000 xxxf,记000 21ln21)( xxxm 又 0211)( 00 xxm,则000 21ln21)( xxxm 在 ),0( 单调递减, 又 0)1( m ,所以 10 0x )11(21 020 xxa ),110 x 10 分 所以实数 a 的取值范围是 ),1 附: (法 2:分参) 0ln2 xxax 对 0x 恒成立, 2ln x xxa 令 )0(ln)(2 xx xxxm 3 ln21)(

16、 x xxxm 5 分 设 xxxF ln21)( , 012)( xxF , xxxF ln21)( 在 ),0( 单调递减, 又 0)1( F 7 分 当 10 x 时, 0)( xF ,即 0)( xm ;当 1x 时, 0)( xF ,即 0)( xm )(xm 在 )1,0( 上递增,在 ),1( 上递减 1)1()( m a x mxm 综上,实数 a 的取值范围是 ),1 10 分 ( 3) )12)(1()( xexaxxh , 0)1( h 设 0,12)( xexaxG x 01)(2 xexxG, 则 )(xG 在 ),0( 上单调递减, 当 0)1( G 时,即 21e

17、a 10 x , 0)( xG ,则 0)( xh )(xh 在 )1,0( 单调递减与“ )(xh 在 1x 处取得极 大值”矛盾 21 ea 不合题意; 12 分 当 0)1( G 时,即 21ea 8 则 0)2(2)21( 2121 aeae eeeaeaaeG 由 0)1( G , 0)21( aeG)1,21(0 aex ,使得 0)( 0 xG 14 分 当 10 xx 时, 0)( xG ,则 0)12)(1()( xexaxxh当 1x 时, 0)( xG ,则 0)12)(1()( xexaxxh)(xh 在 )1,(0x 单调递增,在 ),1( 单调递减,则 )(xh 在

18、 1x 处取得极大值 综上 21ea 符合题意。 16 分 20. 解( 1)当 2n 时, 12)1( 221 nnnSSa nnn 2 分 当 1n 时, 111 Sa 符合上式, 则 )1(12 nnan 224,2 knckb nn 则 4, 11 nnnn ccbb 对任意的正整数 n 满足 1 nn bb ,且 nc 是公差为 4 的等差数列, na 为 )(kH 数列 .4 分 ( 3) 21,1 211 aba 由数列 na 为 )1(H 数列,则 nc 是等差数列,且 5,3 21 cc 12 ncn 即 121 naa nn 6 分 nana nn )1(1 则 nan 是

19、常数列 naa n 011 9 分 验证: 11 nnn aab , 1 nn bb 对任意正整数 n 都成立 nan 10 分 附: 121 naa nn 3221 naa nn -得: 22 nn aa kkaakkaa kk 2)1(2,12)1(2 22112 nan ( 3)由数列 na 为 )2(H 数列可知: nc 是等差数列,记公差为 d dbbaaaacc nnnnnnnn 2)()( 22422 dbb nn 231 则 022)()( 321 ddbbbb nnnn 9 又 1 nn bb 1 nn bb 13 分 数列 nb 为常数列,则 12 baab nnn 12

20、2 baaac nnnn 由 2)(2111 daadaacc nnnnnn 16 分 na 是等差数列 . 注意:请在 答卷卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21 (本小题满分 10 分 ) 解: 10 017 237 2 aba 13140217114abab 3 分 3,5 ba ,则 37 25A 5 分 设曲线 F 上任一点 ),( yxP 变换为 ),( yxP 则 yxy yxx 37 25, 7 分 代入曲线 xy 2 得曲线 F 的方程 xy 3 10 分 (不设任意点 ),( yxP 变换为 ),( yxP 扣 1 分 ) 22 (本小题满分 10

21、分 ) 解:解:直线 axyl : , 圆 4)1()1(: 22 yxC , 4 分 由弦长 AB 22 22 22 ddrAB 6 分 所以圆心 C( 1, -1)到直线 l 的距离2112 ad , 40或a 10 分 (漏解扣 2分) 23. (本小题满分 10 分 ) 解( 1)由题可知直线 1l 、 2l 的斜率都存在,设 kxyl :1 , xkyl 1:2 kxy xy2 )1,1( 2 kkA 2 分 10 同理可得 ),(2 kkB 则直线 AB 所在的直线方程为 1),1(1 2 kxkky当 1k 时,直线 AB 所在的直线方程为 1x 综上,直线 AB 恒过定点 )0

22、,1( 5 分 (不讨论 k 值扣 1分) ( 2)由 ABPH 可知垂心 )0,2(H 设点 ),(),( 2211 yxByxA 由 xy bxy2得: 0)12( 22 bxbx 0412122121bbxxbxx 由 0)1()1)(2( 2111 yyxxPBHA 即 02)(2(2 22121 bbxxbxx 7 分 将 带入 得: 042 bb ,又 41b 4b 10 分 (忘记 0 扣 1分) 24. (本小题满分 10 分 ) 解( 1) 4,3,2 321 aaa ,猜得 1nan 1 分 ( 1) 证 明 :( i)当 1n 时, 31a ,命题成立; ( ii)假设

23、),1( Nkkkn 命题成立,即 2kak 则 1kn 时, 31)2(21)(1 kkkaaa kkk 1 kn 时,命题也成立 综合( i)( ii)可知 2nan 对一切正整数 Nn 都成立。 4 分 (忘记 ),1( Nkk 扣 1分) 先用数学归纳法证明 12 1 nna ( i)当 1n 时, 31a ,命题成立; ( ii)假设 ),1( Nkkkn 命题成立,即 12 1 kka 则 1kn 时, 121)12(2121)( 211 kkkkkk akaaa 11 1 kn 时,命题也成立 综合( i)( ii)可知 12 1 nna 对一切正整数 Nn 都成立。 8 分 42)12()12()12( 213221 naaa nkn10 分 (不用数学归纳法,用放缩扣 3分)