1、 1 2019 届高三年级五校联考 数学 理 试题（ I）卷 2018.12.21 一、 填空题 :本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，把答案填写在 答题卡上相应位置上 . 1.已知集合 3,2,1 aBA ，若 1BA ，则 BA . 2.函数 )32lg()( 2 xxxf 的定义域为 . 3.已知复数 z 满足 iiz 1 （ i 是虚数单位），则复数 z 的模为 . 4.右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 . 5.已知函数 0,log 0,2)(2 xxxxf x ，则 )2(ff . 6.若“ 1| ax ”是“ 2x ”的充分不必要条件，则 实数 a 的取
2、值范围为 . 7.已知 函数 axy ln 的图象与直线 1xy 相切，则实数 a 的值为 . 8.已知函数 )22)(2s in ( xy 在 6x 时取得最大值，则 的值是 . 9.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知角 的终边经过点 )2,1(A ,将角 的终边绕原点按逆时 针方向旋转 2 与角 的终边重合 ,则 )sin( 的值为 . 10.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 156,31 31 Sa ，则12aa 的取值范围 是 . 11.如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 )0(12222 babyax 的左、右顶点分别为 A 、 B ，右焦点为 F ，上顶
3、点为 C ，线段 BC 的中点为 M ，直线 AM 与椭圆的另一个交点为 D ，且 DF 垂直于 x 轴，则椭圆离心率 e 的值为 .12.如图，在 ABC 中， a、 b、 c 分别是角 A B C、 、 所对的边， FE, 是 AB 上的两个三等 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） .本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 .考试结束后，请将本试 卷和答题卡一并交回 . 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 . 3
4、作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效 . 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 . 2 分点， HG, 是 AC 上的两个三等分点，910)()( CFBHCEBG，则 Cbcos 的最小 值为 . 13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 1: 22 yxO ，直线 axyl : ，过直线 l 上点 P 作圆 O 的切线PBPA, ，切点分别为 BA, ，若存在点 P 使得 POPBPA 23 ，则实数 a 的取值范围是 . 14.已知 函数 1,22 1|,|)( 2 xaxx xaxexfx （
5、e 是自然对数的底数）恰有三个不同的零点 ，则实数 a 的取值范围是 . 二、解答题 :本大题共 6 小题，共计 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. (本小题满分 14 分 ) 已知向量 a )1,cos2( ， )sin2,1( b 且 ),0( （ 1） 若 ba/ ，求 的值； （ 2） 若52ba，求 | ba 的值 . 16. (本小题满分 14 分 ) 已知函数 xemexfxx 2)( 是定义在 1,1 的奇函数 （其中 e 是自然对数的底数） . （ 1） 求实数 m 的值； （ 2） 若 2( 1) (2 ) 0f a f a ，求实数 a 的取值范围
6、 . 17. (本小题满分 14 分 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 :C )0(12222 babyax 的右准线方 程 4: xl ，离心率21e ，左右顶点分别为 BA, ，右焦点为 F ，点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方 . 3 （ 1） 设直线 PA 的斜率为 1k ，直线 PB 的斜率为 2k ，求 21 kk 的最小值； （ 2） 点 Q 在右准线 l 上，且 QFPF ，直线 QP 交 x 负半轴于点 M ， 若 6MF ，求点 P 坐标 . 18. (本小题满分 16 分 ) 如图，港珠澳大桥连接珠海（ A 点）、澳门（ B 点）、香港（ C 点）线段
7、AB 长度为 )(10km ，线段 BC 长度为 )(40km ，且 60ABC .澳门（ B 点）与香港（ C 点）之间有一段海底隧道，连接人工岛 E 和人工岛 F ，海底隧道是以 O 为圆心，半径 )(3 310 kmR 的一段圆弧 EF ，从珠海点 A 到人工岛 E 所在的直 线 AE 与圆 O 相切，切点为点 E ， 记 )2,6, AEB. （ 1） 用 表示 AE 、 EF 及弧长 EF ； （ 2） 记路程 AE 、弧长 EF 及 、BE FC 四段长总和为 l ，当 取何值时， l 取得最小值？ 19. (本小题满分 16 分 ) 已知函数 xaxexgxxaxxf x )22
8、()2()(,ln)( 2 （ e 是自然对数的底数） . （ 1） 若 1a ，求函数 )(xf 的单调增区间； （ 2） 若关于 x 的不等式 0)( xf 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 3） 若函数 )()()( xgxfxh 在 1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围 . )(3310 kmR)(10km（第 18 题） 4 20. (本小题满分 16 分 ) 已知数列 na 、 nb 、 nc ，对于给定的正整数 k ，记 knnn aab ， knnn aac （ Nn ） .若对任意的正整数 n 满足： 1 nn bb ，且 nc 是等差数列，则称数列 na 为“ )(
9、kH ” 数列 . （ 1） 若数列 na 的前 n 项和为 2nSn ，证明： na 为 )(kH 数列； （ 2） 若数列 na 为 )1(H 数列，且 5,1,1 211 cba ，求数列 na 的通项公式； （ 3） 若数列 na 为 )2(H 数列，证明： na 是等差数列 . 5 数学试题（ II）卷 2018.12.21 21 (本小题满分 10 分 ) 已知矩阵 37 2aA的逆矩阵 abA 7 21，设曲线 F 在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线xy 2 ，求曲线 F 的方程 . 22 (本小题满分 10 分 ) 已知直线 l 的参数方程为 aty tx（ t 为参数） ，
10、以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 圆 C 的极坐标方程为 )0(02)4s in (222 ，直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点 .若弦长AB 22 ，求实数 a 的值 . 23. (本小题满分 10 分 ) 已知点 P 是抛物线 xy2 上的一点，过点 P 作两条直线 1l 与 2l ，分别与抛物线相交于 A 、 B 两点 . （ 1） 已知点 )0,0(P 且 21 ll ，求证：直线 AB 恒过定点； （ 2） 已知点 )1,1(P ，直线 AB 所在直线方程为 bxy ，且 PAB 的垂心 H 在 x 轴上，求实数 b 的值 . 6 24. (本小题满分
11、10 分 ) 已知数列 na 满足 121 nnn naaa . （ 1） 21a ，求 32,aa ，并猜想数列 na 通项公式； （ 2） 若 31a ，用数学归纳法证明 2nan 42 221 naaa nn. 7 数学试卷（ I）答案 2018.12.21 一、 填空题 : 1、 1,2,3 2、 ),3()1,( 3、 2 4、 5 5、 -2 6、 1a 7、 2 8、69、5310、 5,3211、5412、 1 13、 22,22 14、 32( , )22二、解答题 : 15、 解（ 1）因为 ba/ ，所以 1cossin4 ，所以 212sin 3 分 又因为 ),0(
12、，所以 )2,0(2 ，所以 62 或 65 ，所以 12 或 125 7 分 （漏 1解扣 2分） （ 2） 因为 52ba ，所以 52sin2cos2 ，所以 51sincos 10 分 所以 5170)1si n2()1co s2(| 22 ba 14 分 （忘记开根号扣 2分） 16、 解（ 1）因为 xemexfxx 2)( 是定义在 1,1 的奇函数，所以 0)0( f ，所以 m=14 分 当 m=1 时， xeexfxx 21)( ，所以 )(21)( xfxeexf xx 6 分 （ 2） 21)( xx eexf21 xx ee ，所以 0)( xf ，当且仅当 x=0时
13、 0)( xf ，所以 )(xf 在 1,1 单调递增 10 分 所以2221121111aaaa，所以 210 a 14 分 （忘记定义域扣 2分） 17、 解（ 1） 134 22 yx 2 分 设点 P ),( 00 yx ，则 21 kk02000000 34422 yx yx yx y 6 分 因为 3,0(0y ，所以，当 30y 时 21 kk 的最小值为 3 7 分 （用结论2221 abkk 不证明扣 2 分） （ 2）设点 P ),( 00 yx ，则 QF： )1(100 xyxy ，所以点 Q )1(3,4(00yx 9 分 因为点 P、 Q、 M 三点共线，所以 QM
14、PM kk ，所以 )1)(5(3 0020 xxy 11 分 又因为 134 2020 yx ，所以 40x 或 54 ，因为 )2,2(0 x ，所以 P )573,54( 14 分 8 18.解（ 1）在 ABE 中，由正弦定理可知： si n 35si n1060si n AEAE 2 分 在 OEF 中， si n3 320si n2 REF4 分 EF 3 3202 R 6 分 （ 2） 26,si n3 320403 320si n 35 l 8 分 2 232 22 si n3 )4c o s7c o s4c o s4(35si n3 )si nc o s4si n4c o s
15、3(35 l 10 分 即 2 2 si n3 )4co sco s2)(1co s2(35 l 12 分 由 23,0(co s t ，则 0424c o sc o s2 22 tt 14 分 当 36 时， 0l ；当 23 时， 0l l 在 )3,6( 上单调递减 ，在 )2,3( 上单调递增 答：当 3 时， l 取得最小值 .16 分 19. 解（ 1）当 1a 时， x xxxxxfxxxxf )1)(12(112)(ln)( 2 因为 0x ，所有 10 x 时， 0)( xf ； 1x 时， 0)( xf 则 )(xf 在 ),1( 上单调递增。 3 分 （ 2） （ 法 1
16、：不分参，分类讨论 ） )0(12112)( 2 xx xaxxaxxf 若 0a 时， 0)( xf ，则 )(xf 在 ),0( 上单调递减， 由 01)1( af 与 0)( xf 恒成立矛盾，所以 0a 不合题意； 5 分 （不举反例扣 1分） 若 0a 时，令 0)( xf ，则 a ax 4 8110 所以 当 00 xx 时， 0)( xf ；当 0xx 时， 0)( xf 则 )(xf 在 ),0( 0x 单调递减，在 ),( 0x 单调递增 7 分 所以 )(xf 的最小值为 00200 ln)( xxaxxf （ *）， 9 又 )1(21012 020020 xaxxax
17、带入（ *）得：000 21ln21)( xxxf ， 由 0)( xf 恒成立，所以 021ln21)( 000 xxxf，记000 21ln21)( xxxm 又 0211)( 00 xxm，则000 21ln21)( xxxm 在 ),0( 单调递减， 又 0)1( m ，所以 10 0x )11(21 020 xxa ),110 x 10 分 所以实数 a 的取值范围是 ),1 附： （法 2：分参） 0ln2 xxax 对 0x 恒成立， 2ln x xxa 令 )0(ln)(2 xx xxxm 3 ln21)( x xxxm 5 分 设 xxxF ln21)( ， 012)( xx
18、F ， xxxF ln21)( 在 ),0( 单调递减， 又 0)1( F 7 分 当 10 x 时， 0)( xF ，即 0)( xm ；当 1x 时， 0)( xF ，即 0)( xm )(xm 在 )1,0( 上递增，在 ),1( 上递减 1)1()( m a x mxm 综上，实数 a 的取值范围是 ),1 10 分 （ 3） )12)(1()( xexaxxh ， 0)1( h 设 0,12)( xexaxG x 01)(2 xexxG， 则 )(xG 在 ),0( 上单调递减， 当 0)1( G 时，即 21ea 10 x ， 0)( xG ，则 0)( xh )(xh 在 )1,
19、0( 单调递减与“ )(xh 在 1x 处取得极 大值”矛盾 21 ea 不合题意； 12 分 当 0)1( G 时，即 21ea 10 则 0)2(2)21( 2121 aeae eeeaeaaeG 由 0)1( G ， 0)21( aeG)1,21(0 aex ，使得 0)( 0 xG 14 分 当 10 xx 时， 0)( xG ，则 0)12)(1()( xexaxxh当 1x 时， 0)( xG ，则 0)12)(1()( xexaxxh)(xh 在 )1,(0x 单调递增，在 ),1( 单调递减，则 )(xh 在 1x 处取得极大值 综上 21ea 符合题意。 16 分 20. 解
20、（ 1）当 2n 时， 12)1( 221 nnnSSa nnn 2 分 当 1n 时， 111 Sa 符合上式， 则 )1(12 nnan 224,2 knckb nn 则 4, 11 nnnn ccbb 对任意的正整数 n 满足 1 nn bb ，且 nc 是公差为 4 的等差数列， na 为 )(kH 数列 .4 分 （ 3） 21,1 211 aba 由数列 na 为 )1(H 数列，则 nc 是等差数列，且 5,3 21 cc 12 ncn 即 121 naa nn 6 分 nana nn )1(1 则 nan 是常数列 naa n 011 9 分 验证： 11 nnn aab ，
21、1 nn bb 对任意正整数 n 都成立 nan 10 分 附： 121 naa nn 3221 naa nn -得： 22 nn aa kkaakkaa kk 2)1(2,12)1(2 22112 nan （ 3）由数列 na 为 )2(H 数列可知： nc 是等差数列，记公差为 d dbbaaaacc nnnnnnnn 2)()( 22422 dbb nn 231 则 022)()( 321 ddbbbb nnnn 11 又 1 nn bb 1 nn bb 13 分 数列 nb 为常数列，则 12 baab nnn 12 2 baaac nnnn 由 2)(2111 daadaacc nn
22、nnnn 16 分 na 是等差数列 . 注意：请在 答卷卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21 (本小题满分 10 分 ) 解： 10 017 237 2 aba 13140217114abab 3 分 3,5 ba ，则 37 25A 5 分 设曲线 F 上任一点 ),( yxP 变换为 ),( yxP 则 yxy yxx 37 25， 7 分 代入曲线 xy 2 得曲线 F 的方程 xy 3 10 分 （不设任意点 ),( yxP 变换为 ),( yxP 扣 1 分 ） 22 (本小题满分 10 分 ) 解：解：直线 axyl : ， 圆 4)1()1(: 22
23、yxC ， 4 分 由弦长 AB 22 22 22 ddrAB 6 分 所以圆心 C（ 1， -1）到直线 l 的距离2112 ad ， 40或a 10 分 （漏解扣 2分） 25. (本小题满分 10 分 ) 解（ 1）由题可知直线 1l 、 2l 的斜率都存在，设 kxyl :1 ， xkyl 1:2 kxy xy2 )1,1( 2 kkA 2 分 12 同理可得 ),(2 kkB 则直线 AB 所在的直线方程为 1),1(1 2 kxkky当 1k 时，直线 AB 所在的直线方程为 1x 综上，直线 AB 恒过定点 )0,1( 5 分 （不讨论 k 值扣 1分） （ 2）由 ABPH 可
24、知垂心 )0,2(H 设点 ),(),( 2211 yxByxA 由 xy bxy2得： 0)12( 22 bxbx 0412122121bbxxbxx 由 0)1()1)(2( 2111 yyxxPBHA 即 02)(2(2 22121 bbxxbxx 7 分 将 带入 得： 042 bb ，又 41b 4b 10 分 （忘记 0 扣 1分） 26. (本小题满分 10 分 ) 解（ 1） 4,3,2 321 aaa ，猜得 1nan 1 分 （ 3） 证 明 ：（ i）当 1n 时， 31a ，命题成立； （ ii）假设 ),1( Nkkkn 命题成立，即 2kak 则 1kn 时， 31
25、)2(21)(1 kkkaaa kkk 1 kn 时，命题也成立 综合（ i）（ ii）可知 2nan 对一切正整数 Nn 都成立。 4 分 （忘记 ),1( Nkk 扣 1分） 先用数学归纳法证明 12 1 nna （ i）当 1n 时， 31a ，命题成立； （ ii）假设 ),1( Nkkkn 命题成立，即 12 1 kka 则 1kn 时， 121)12(2121)( 211 kkkkkk akaaa 13 1 kn 时，命题也成立 综合（ i）（ ii）可知 12 1 nna 对一切正整数 Nn 都成立。 8 分 42)12()12()12( 213221 naaa nkn10 分 （不用数学归纳法，用放缩扣 3分）