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2019年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(含答案)

1、绝密启用前2019 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 仿 真 卷理科数学(十)考试时间:120 分钟;满分:150 分.题号 一 二 三 总分得分注意事项:1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 卷一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符 合 题目 要 求 的 。1已知集合 , ,则2,|Mxyxy为 实 数 ,且 ,| 2Nxyxy为 实 数 ,且的元素个数为(    )NA0 B1 C2 D32已

2、知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,若它们的中位数相同,则甲组数据的平均数为(    )A30 B31 C32 D333已知双曲线方程为 ,则该双曲线的渐近线方程为(    )2105xyA B C D4yx43yx32yx23yx4如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线 , , ,1及圆构成的在圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(    )yxA B C D1418485已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则数列 的公差为nanS2315Sna(    )A3 B C D6456设 与 均为锐角,且 ,

3、,则 的值为(    )1cos73in()14cosA B C 或 D 或71982982719857设函数 ,其中 , ,存在 使得 成立,则实2()lnfxaxa0xaR0x04f数 的值是(    )aA B C D11525128某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(    )A B C2 D443839南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实一为从隅,开平方得积 ”若把以上这

4、段文字写成公式,即 现22214cabS有周长为 且 的 ,则其面积为(    )25sin:si21:5ABCABCA B C D343245210已知数列 nb满足 , ,则该数列的前 23 项的和为124b221sincosnnb(    )A4194 B4195 C2046 D204711过点 3,0P作直线 220axby( , 不同时为零)的垂线,垂足为 M,点ab2,3N,则 M的取值范围是(    )A 05B 5,C 5,D 5,12定义:如果函数 的导函数为 ,在区间 上存在 , 使得fxfxab1x212axb,

5、 ,则称 为区间 上的“双中值函数“ 已知1fbafx2bff,b函数 是 上的“双中值函数“ ,则实数 的取值范围是(    )32mgx0, mA B C D48,48,34,3,第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 。 第 (13)(21)题 为 必 考 题 , 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 。 第 (22)(23)题 为 选 考 题 , 考 生 根 据 要 求 作 答 。二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 。13若复数 z为纯虚数,且 ( 为虚数单位) ,则 z_    

6、;    _21izi14已知向量 , ,若 ,则 _      _2,m4x,nmn215执行如下图所示的程序框图,则输出的结果 _16已知抛物线的方程为 2(0)ypx, O为坐标原点, A, B为抛物线上的点,若 为OAB等边三角形,且面积为 483,则 的值为_     _三 、 解 答 题 : 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。17已知向量 , ,函数 cos2,inxa3,1bfxmab(1)求 的最小正周期;f(2)当 时, 的最小值为 5,求 的值0,2xfxm18

7、某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前 天参加抽奖活动的人数进行统计, 表示第 天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:yxx1 2 3 4 5 6 7y5 8 8 10 14 15 17(1)经过进一步统计分析,发现 与 具有线性相关关系请根据上表提供的数据,用最小二乘法求yx出 关于 的线性回归方程 ;yxba(2)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取 600 元购物券;抽中“二等奖”可领取 300 元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券已知一次抽奖活动获得“ 一等奖 ”的概

8、率为 ,获得“ 二等奖”的概率16为 现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额13的分布列及数学期望参考公式: , , 12niixybaybx71364iy19已知四棱锥 , 平面 ,底面 为直角梯形, ,SABCDSABCDABDC, , , 是 中点90D23MS(1)求证: 平面 ;M(2)若直线 与平面 所成角的正切值为 , 是 的中点,求二面角 的余SAB2FCCAF弦值20如图, 是圆 : 内一个定点, 是圆上任意一点线段 的垂直平10N,M216xyPNP分线和半径 相交于点 PQ(1)当点 在圆上运动时,点 的轨迹 是什么曲线?并求出

9、其轨迹方E程;(2)过点 作直线 与曲线 交于 、 两点,点 关于原点 的01G,lABO对称点为 ,求 的面积 的最大值DAB S21设函数 (其中 ) 21exkfxR(1)求函数 的单调区间;f(2)当 时,讨论函数 的零点个数0kfx请 考 生 在 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ,如 果 多 做 ,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 。22已知曲线 的极坐标方程为: ,以极点为坐标原点,以极轴为 轴的正半轴建立直角1C4cosx坐标系,曲线 的参数方程为:  ( 为参数) ,点 2132xty30A,(1)求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程;1C2

10、C(2)设曲线 与曲线 相交于 , 两点,求 的值2PQAP23已知函数 12fxx(1)若不等式 有解,求实数 的最大值 ;mM(2)在(1)的条件下,若正实数 , 满足 ,证明: ab2334ab绝密 启用前2018 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 仿 真 卷理 科 数 学 ( 十 ) 答 案第 卷一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1B 2B 3C 4A 5C 6B7A 8A 9A 10A 11D 12B第 卷本卷

11、包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 。 第 (13)(21)题 为 必 考 题 , 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 。第 (22)(23)题 为 选 考 题 , 考 生 根 据 要 求 作 答 。二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 。13 1410 159 162i三 、 解 答 题 : 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。17 【答案】 (1) ;(2) T53m【解析】 (1)由题意知: cos2,in,1fxxm2 分3cos2inx,4 分im所以 的最小正周期为 6 分fxT(2

12、)由(1)知: ,2sin3fxxm当 时, 8 分0,x43,所以当 时, 的最小值为 10 分423xfx3m又 的最小值为 5, ,即 12 分f 3518 【答案】 (1) ;(2)答案见解析yx【解析】 (1)依题意: ,1 分13456747,2 分580457y, , ,3 分214ix7136ixy7123647120iixyb,4 分2ayb则 关于 的线性回归方程为 5 分x23yx(2)二人所获购物券总金额 的可能取值有 0、300、600、900、1200 元,它们所对应X的概率分别为:6 分, ,1024PX13023P,156368, 11 分9029PX12063

13、PX所以,总金额 的分布列如下表:0 300 600 900 1200总金额 的数学期望为X元12 分151036092044836E19 【答案】 (1)证明见解析;(2) 1【解析】 (1)证明:取 中点 ,连接 , ,SANMDN在 中, , , , ,SAB M 12BC 四边形 为平行四边形2 分CDN,3 分又 平面 , 平面 ,SASAD平面 4 分(2)由已知得: , , 两两垂直,以 , , 所在直线分别为 轴,ABDSABDSx轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系5 分yz, , , 平面 ,ADS就是 与平面 所成的角MS在 中, ,即 ,7 分Rt 3tan2AD32A

14、M设 ,则 , , ;2AB1C中, 为斜边 中点, ,tS SB4243则 , , , , , ,0,A,01,0C,30D,23S1,32F所以 , , ,3D,3A1,2AF设 是平面 的一个法向量,则1,xyzmC,11300  2xyACFz令 ,得 9 分1y,设 是平面 的一个法向量,则2xyz,nADF,22300  1yADFxz令 , 11 分2zn,631cos2m,二面角 的余弦值为 12 分CAFE1320 【答案】 (1) ;(2) 24xy46【解析】 (1)由题意得 ,42QMNQPMN根据椭圆的定义得点 的轨迹 是以 、 为焦点的椭圆,2

15、分E, , , 轨迹方程为 4 分2a3c1b143xy(2)由题意知 ( 为点 到直线 的距离) ,2ABDABOSdAB Ol设 的方程为 ,联立方程得 ,l1ykx21 43ykx消去 得 ,23480设 , ,则 , ,6 分1Axy,2Bxy,122834kx12834xk则 ,8 分221126k又 ,9 分2d,10 分24613ABDkS令 ,由 ,得 ,21kt20t, ,易证 在 递增, ,2461ABDtSt 12yt,123t, 面积 的最大值 12 分3ABD B S46321 【答案】 (1)答案见解析;(2)函数 在定义域 上有且只有一个零点fx,【解析】 (1)

16、函数 的定义域为 ,fx,,1 分eex xxf kk当 时,令 ,解得 0k0f 的单调递减区间是 ,单调递增区间是 ;2 分fx, 0,当 时,令 ,解得 或 1kfxlnkx 在 和 上单调递增,在 上单调递减;3 分fxln,0, l,当 时, , 在 上单调递增;4 分kfxfx,当 时,令 ,解得 或 ,所以 在 和 上单调10lnxkfx0, lnk,递增,在 上单调递减5 分0lnk,(2) ,f当 时,由(1)知,当 时,k0x,,22maxlnl1lnl10kfffkk此时 无零点,6 分f当 时, 0x,22e0fk又 在 上单调递增, 在 上有唯一的零点,f, fx,函

17、数 在定义域 上有唯一的零点;7 分x,当 时,由(1)知,当 时,klnkx,,此时 无零点;8 分max01ffff当 时, ,lnk, ln0kf2211eekkf令 , ,则 , ,2tgtetge1tg , , 在 上单调递增, ,t0tgt2, 20t 在 上单调递增,得 ,即 g2, 2e0gt 1fk 在 上有唯一的零点,故函数 在定义域 上有唯一的零fxlnk fx,点11 分综合知,当 时函数 在定义域 上有且只有一个零点12 分0fx,请 考 生 在 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ,如 果 多 做 ,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 。22 【答案】

18、 (1) , ;(2) 24xy3x3APQ【解析】 (1) , , ,cos2cos2xy, ; ,cosxinyx的直角坐标方程为: ,1C24, , 的普通方程为 5 分32xty3()yx2C3yx(2)将 , ,123xty24xy代 入得: , , ,21142tt23912tt230t, ,12t123t由 的几何意义可得: 10 分123APQtt23 【答案】 (1) ;(2)证明见解析4M【解析】 (1)若不等式 有解,只需 的最大值 即可fxmfx1maxf因为 ,所以 ,解得 ,3x1324所以实数 的最大值 5 分m4M(2)根据(1)知正实数 , 满足 ,ab234由柯西不等式可知 ,231所以, ,因为 , 均为正实数,所以216ab34ab(当且仅当 时取“=”)10 分