1、绝密启用前2019 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 仿 真 卷理科数学（十）考试时间：120 分钟；满分：150 分.题号 一 二 三 总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题目 要 求 的 。1已知集合 ， ，则2,|Mxyxy为 实 数 ,且 ,| 2Nxyxy为 实 数 ,且的元素个数为（ ）NA0 B1 C2 D32已
2、知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A30 B31 C32 D333已知双曲线方程为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）2105xyA B C D4yx43yx32yx23yx4如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线 ， ， ，1及圆构成的在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）yxA B C D1418485已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的公差为nanS2315Sna（ ）A3 B C D6456设 与 均为锐角，且 ，
3、，则 的值为（ ）1cos73in()14cosA B C 或 D 或71982982719857设函数 ，其中 ， ，存在 使得 成立，则实2()lnfxaxa0xaR0x04f数 的值是（ ）aA B C D11525128某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C2 D443839南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实一为从隅，开平方得积 ”若把以上这
4、段文字写成公式，即 现22214cabS有周长为 且 的 ，则其面积为（ ）25sin:si21:5ABCABCA B C D343245210已知数列 nb满足 ， ，则该数列的前 23 项的和为124b221sincosnnb（ ）A4194 B4195 C2046 D204711过点 3,0P作直线 220axby（ ， 不同时为零）的垂线，垂足为 M，点ab2,3N，则 M的取值范围是（ ）A 05B 5,C 5,D 5,12定义：如果函数 的导函数为 ，在区间 上存在 ， 使得fxfxab1x212axb，
5、 ，则称 为区间 上的“双中值函数“ 已知1fbafx2bff,b函数 是 上的“双中值函数“ ，则实数 的取值范围是（ ）32mgx0, mA B C D48,48,34,3,第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 。 第 (13)(21)题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 。 第 (22)(23)题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 。13若复数 z为纯虚数，且 （ 为虚数单位） ，则 z_
6、; _21izi14已知向量 ， ，若 ，则 _ _2，m4x，nmn215执行如下图所示的程序框图，则输出的结果 _16已知抛物线的方程为 2(0)ypx， O为坐标原点， A， B为抛物线上的点，若 为OAB等边三角形，且面积为 483，则 的值为_ _三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。17已知向量 ， ，函数 cos2,inxa3,1bfxmab（1）求 的最小正周期；f（2）当 时， 的最小值为 5，求 的值0,2xfxm18
7、某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前 天参加抽奖活动的人数进行统计， 表示第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：yxx1 2 3 4 5 6 7y5 8 8 10 14 15 17（1）经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系请根据上表提供的数据，用最小二乘法求yx出 关于 的线性回归方程 ；yxba（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取 600 元购物券；抽中“二等奖”可领取 300 元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券已知一次抽奖活动获得“ 一等奖 ”的概
8、率为 ，获得“ 二等奖”的概率16为 现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额13的分布列及数学期望参考公式： ， ， 12niixybaybx71364iy19已知四棱锥 ， 平面 ，底面 为直角梯形， ，SABCDSABCDABDC， ， ， 是 中点90D23MS（1）求证： 平面 ；M（2）若直线 与平面 所成角的正切值为 ， 是 的中点，求二面角 的余SAB2FCCAF弦值20如图， 是圆 ： 内一个定点， 是圆上任意一点线段 的垂直平10N,M216xyPNP分线和半径 相交于点 PQ（1）当点 在圆上运动时，点 的轨迹 是什么曲线？并求出
9、其轨迹方E程；（2）过点 作直线 与曲线 交于 、 两点，点 关于原点 的01G,lABO对称点为 ，求 的面积 的最大值DAB S21设函数 （其中 ） 21exkfxR（1）求函数 的单调区间；f（2）当 时，讨论函数 的零点个数0kfx请 考 生 在 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ,如 果 多 做 ,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 。22已知曲线 的极坐标方程为： ，以极点为坐标原点，以极轴为 轴的正半轴建立直角1C4cosx坐标系，曲线 的参数方程为： ( 为参数) ，点 2132xty30A,（1）求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；1C2
10、C（2）设曲线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值2PQAP23已知函数 12fxx（1）若不等式 有解，求实数 的最大值 ；mM（2）在（1）的条件下，若正实数 ， 满足 ，证明： ab2334ab绝密 启用前2018 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 仿 真 卷理 科 数 学 （ 十 ） 答 案第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1B 2B 3C 4A 5C 6B7A 8A 9A 10A 11D 12B第 卷本卷
11、包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 。 第 (13)(21)题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 。第 (22)(23)题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 。13 1410 159 162i三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。17 【答案】 （1） ；（2） T53m【解析】 （1）由题意知： cos2,in,1fxxm2 分3cos2inx，4 分im所以 的最小正周期为 6 分fxT（2
12、）由（1）知： ，2sin3fxxm当 时， 8 分0,x43，所以当 时， 的最小值为 10 分423xfx3m又 的最小值为 5， ，即 12 分f 3518 【答案】 （1） ；（2）答案见解析yx【解析】 （1）依题意： ，1 分13456747，2 分580457y， ， ，3 分214ix7136ixy7123647120iixyb，4 分2ayb则 关于 的线性回归方程为 5 分x23yx（2）二人所获购物券总金额 的可能取值有 0、300、600、900、1200 元，它们所对应X的概率分别为：6 分， ，1024PX13023P，156368， 11 分9029PX12063
13、PX所以，总金额 的分布列如下表：0 300 600 900 1200总金额 的数学期望为X元12 分151036092044836E19 【答案】 （1）证明见解析；（2） 1【解析】 （1）证明：取 中点 ，连接 ， ，SANMDN在 中， ， ， ， ，SAB M 12BC 四边形 为平行四边形2 分CDN，3 分又 平面 ， 平面 ，SASAD平面 4 分（2）由已知得： ， ， 两两垂直，以 ， ， 所在直线分别为 轴，ABDSABDSx轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系5 分yz， ， ， 平面 ，ADS就是 与平面 所成的角MS在 中， ，即 ，7 分Rt 3tan2AD32A
14、M设 ，则 ， ， ；2AB1C中， 为斜边 中点， ，tS SB4243则 ， ， ， ， ， ，0,A,01,0C,30D,23S1,32F所以 ， ， ,3D,3A1,2AF设 是平面 的一个法向量，则1,xyzmC，11300 2xyACFz令 ，得 9 分1y,设 是平面 的一个法向量，则2xyz,nADF，22300 1yADFxz令 ， 11 分2zn,631cos2m,二面角 的余弦值为 12 分CAFE1320 【答案】 （1） ；（2） 24xy46【解析】 （1）由题意得 ，42QMNQPMN根据椭圆的定义得点 的轨迹 是以 、 为焦点的椭圆，2
15、分E， ， ， 轨迹方程为 4 分2a3c1b143xy（2）由题意知 （ 为点 到直线 的距离） ，2ABDABOSdAB Ol设 的方程为 ，联立方程得 ，l1ykx21 43ykx消去 得 ，23480设 ， ，则 ， ，6 分1Axy,2Bxy,122834kx12834xk则 ，8 分221126k又 ，9 分2d，10 分24613ABDkS令 ，由 ，得 ，21kt20t， ，易证 在 递增， ，2461ABDtSt 12yt,123t， 面积 的最大值 12 分3ABD B S46321 【答案】 （1）答案见解析；（2）函数 在定义域 上有且只有一个零点fx,【解析】 （1）
16、函数 的定义域为 ，fx,，1 分eex xxf kk当 时，令 ，解得 0k0f 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；2 分fx， 0,当 时，令 ，解得 或 1kfxlnkx 在 和 上单调递增，在 上单调递减；3 分fxln,0, l,当 时， ， 在 上单调递增；4 分kfxfx,当 时，令 ，解得 或 ，所以 在 和 上单调10lnxkfx0， lnk,递增，在 上单调递减5 分0lnk,（2） ，f当 时，由（1）知，当 时，k0x,，22maxlnl1lnl10kfffkk此时 无零点，6 分f当 时， 0x,22e0fk又 在 上单调递增， 在 上有唯一的零点，f, fx,函
17、数 在定义域 上有唯一的零点；7 分x,当 时，由（1）知，当 时，klnkx,，此时 无零点；8 分max01ffff当 时， ，lnk, ln0kf2211eekkf令 ， ，则 ， ，2tgtetge1tg ， ， 在 上单调递增， ，t0tgt2, 20t 在 上单调递增，得 ，即 g2, 2e0gt 1fk 在 上有唯一的零点，故函数 在定义域 上有唯一的零fxlnk fx,点11 分综合知，当 时函数 在定义域 上有且只有一个零点12 分0fx,请 考 生 在 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ,如 果 多 做 ,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 。22 【答案】
18、 （1） ， ；（2） 24xy3x3APQ【解析】 （1） ， ， ，cos2cos2xy， ； ，cosxinyx的直角坐标方程为： ，1C24， ， 的普通方程为 5 分32xty3()yx2C3yx（2）将 ， ，123xty24xy代 入得： ， ， ，21142tt23912tt230t， ，12t123t由 的几何意义可得： 10 分123APQtt23 【答案】 （1） ；（2）证明见解析4M【解析】 （1）若不等式 有解，只需 的最大值 即可fxmfx1maxf因为 ，所以 ，解得 ，3x1324所以实数 的最大值 5 分m4M（2）根据（1）知正实数 ， 满足 ，ab234由柯西不等式可知 ，231所以， ，因为 ， 均为正实数，所以216ab34ab(当且仅当 时取“=”)10 分