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2016年湖南省株洲市中考数学试卷含答案解析

1、第 1 页(共 24 页)2016 年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题(每小题只有一个正确答案,本题共 10 小题,共 30 分)1下列数中,3 的倒数是( )A B C 3 D32下列等式错误的是( )A (2mn) 2=4m2n2 B (2mn) 2=4m2n2C (2m 2n2) 3=8m6n6 D ( 2m2n2) 3=8m5n53甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩(环)及方差统计如表,现要根据这些数据,从中选出一人参加比赛,如果你是教练员,你的选择是( )队员 平均成绩 方差甲 9.7 2.12乙 9.6 0.56丙 9.7 0.56丁 9.6 1.34A甲 B乙 C丙 D

2、丁4如图,在三角形 ABC 中,ACB=90,B=50,将此三角形绕点 C 沿顺时针方向旋转后得到三角形 ABC,若点 B恰好落在线段 AB 上,AC、AB 交于点 O,则COA的度数是( )A50 B60 C70 D805不等式 的解集在数轴上表示为( )A B CD6在解方程 时,方程两边同时乘以 6,去分母后,正确的是( )A2x1 +6x=3( 3x+1) B2( x1)+6x=3(3x+1)C2(x1)+x=3(3x+1) D (x1)+x=3(x+1)第 2 页(共 24 页)7已知四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC、BD 交于点 O,E 是 BC 的中点,以下说法错误的

3、是( )AOE= DCBOA=OC CBOE=OBA DOBE=OCE8如图,以直角三角形 a、b、c 为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足 S1+S2=S3 图形个数有( )A1 B2 C3 D49已知,如图一次函数 y1=ax+b 与反比例函数 y2= 的图象如图示,当 y1y 2 时,x 的取值范围是( )Ax2 Bx5 C2x 5 D0x2 或 x510已知二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象经过点 A( 1,2) ,B(2,5) ,顶点坐标为(m,n) ,则下列说法错误的是( )Ac3 Bm Cn 2 Db1二、填空题(本题共 8

4、 小题,每题 3 分,共 24 分)11计算:3a(2a 1)= 12据民政部网站消息,截至 2014 年底,我国 60 岁以上老年人口已经达到 2.12 亿,其中2.12 亿用科学记数法表示为 第 3 页(共 24 页)13从 1,2,399,100 个整数中,任取一个数,这个数大于 60 的概率是 14如图,正六边形 ABCDEF 内接于半径为 3 的圆 O,则劣弧 AB 的长度为 15分解因式:(x8) (x+2 )+6x= 16ABC 的内切圆的三个切点分别为 D、E、F,A=75,B=45 ,则圆心角EOF= 度17已知 A、B、C、D 是平面坐标系中坐标轴上的点,且AOBCOD设直

5、线 AB 的表达式为 y1=k1x+b1,直线 CD 的表达式为 y2=k2x+b2,则 k1k2= 18已知点 P 是ABC 内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则 P 点叫ABC的费马点(Fermat point) 已经证明:在三个内角均小于 120的ABC 中,当APB=APC=BPC=120 时,P 就是ABC 的费马点若点 P 是腰长为 的等腰直角三角形 DEF 的费马点,则 PD+PE+PF= 三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分)19计算: 20先化简,再求值: ,其中 x=3第 4 页(共 24 页)21某社区从 2011 年开始,组织全民健身活动,结合社区条件

6、,开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目,现将参加项目活动总人数进行统计,并绘制成每年参加总人数折线统计图和 2015 年各活动项目参与人数的扇形统计图,请你根据统计图解答下列题(1)2015 年比 2011 年增加 人;(2)请根据扇形统计图求出 2015 年参与跑步项目的人数;(3)组织者预计 2016 年参与人员人数将比 2015 年的人数增加 15%,名各活动项目参与人数的百分比与 2016 年相同,请根据以上统计结果,估计 2016 年参加太极拳的人数22某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核,规定如下:考核综合评价得分由测试成绩(满分 100 分)和平时成绩(满分 1

7、00 分)两部分组成,其中测试成绩占 80%,平时成绩占 20%,并且当综合评价得分大于或等于 80 分时,该生综合评价为 A 等(1)孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为 185 分,而综合评价得分为 91 分,则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分?(2)某同学测试成绩为 70 分,他的综合评价得分有可能达到 A 等吗?为什么?(3)如果一个同学综合评价要达到 A 等,他的测试成绩至少要多少分?23已知正方形 ABCD 中,BC=3 ,点 E、F 分别是 CB、CD 延长线上的点,DF=BE,连接 AE、AF ,过点 A 作 AHED 于 H 点(1)求证:ADFABE;(2)若 B

8、E=1,求 tanAED 的值24平行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C 在反比例函数 y= (k0)图象上,点 B、D 在x 轴上,且 B、D 两点关于原点对称,AD 交 y 轴于 P 点(1)已知点 A 的坐标是(2 ,3) ,求 k 的值及 C 点的坐标;(2)若APO 的面积为 2,求点 D 到直线 AC 的距离第 5 页(共 24 页)25已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径,C 是圆上一点,D 是 BC 延长线上一点,过点 D 的直线交 AC 于 E 点,且AEF 为等边三角形(1)求证:DFB 是等腰三角形;(2)若 DA= AF,求证:CFAB26已知二次函数 y=x2(

9、2k+1)x+k 2+k(k0)(1)当 k= 时,求这个二次函数的顶点坐标;(2)求证:关于 x 的一元次方程 x2(2k+1)x+k 2+k=0 有两个不相等的实数根;(3)如图,该二次函数与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点的左侧) ,与 y 轴交于 C 点,P 是 y 轴负半轴上一点,且 OP=1,直线 AP 交 BC 于点 Q,求证: 第 6 页(共 24 页)第 7 页(共 24 页)2016 年湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题只有一个正确答案,本题共 10 小题,共 30 分)1下列数中,3 的倒数是( )A B C 3 D3【考点】倒数【分

10、析】根据倒数的定义,用 1(3) ,算出结果即是 3 的倒数【解答】解:1(3)= = 故选 A2下列等式错误的是( )A (2mn) 2=4m2n2 B (2mn) 2=4m2n2C (2m 2n2) 3=8m6n6 D ( 2m2n2) 3=8m5n5【考点】幂的乘方与积的乘方【分析】根据幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值,再判断即可【解答】解:A、结果是 4m2n2,故本选项错误;B、结果是 4m2n2,故本选项错误;C、结果是 8m6n6,故本选项错误;B、结果是8m 6n6,故本选项正确;故选 D3甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩(环)及方差统计如表,现要根据这些数据,

11、从中选出一人参加比赛,如果你是教练员,你的选择是( )队员 平均成绩 方差甲 9.7 2.12乙 9.6 0.56丙 9.7 0.56丁 9.6 1.34A甲 B乙 C丙 D丁【考点】方差【分析】首先比较平均数,然后比较方差,方差越小,越稳定【解答】解: = =9.7,S 2 甲 S 2 乙 ,第 8 页(共 24 页)选择丙故选 C4如图,在三角形 ABC 中,ACB=90,B=50,将此三角形绕点 C 沿顺时针方向旋转后得到三角形 ABC,若点 B恰好落在线段 AB 上,AC、AB 交于点 O,则COA的度数是( )A50 B60 C70 D80【考点】旋转的性质【分析】由三角形的内角和为

12、 180可得出A=40,由旋转的性质可得出 BC=BC,从而得出B=BBC=50 ,再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论【解答】解:在三角形 ABC 中,ACB=90,B=50 ,A=180 ACB B=40 由旋转的性质可知:BC=BC,B=BBC=50 又BBC=A+ACB=40+ACB ,ACB=10 ,COA=AOB =OBC+ACB=B+ACB=60故选 B5不等式 的解集在数轴上表示为( )A B CD【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集,再根

13、据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则判断即可【解答】解:解不等式 2x1 1,得:x1,解不等式 x2 0,得:x2,不等式组的解集为:1x2,第 9 页(共 24 页)故选:C6在解方程 时,方程两边同时乘以 6,去分母后,正确的是( )A2x1 +6x=3( 3x+1) B2( x1)+6x=3(3x+1)C2(x1)+x=3(3x+1) D (x1)+x=3(x+1)【考点】解一元一次方程【分析】方程两边同时乘以 6,化简得到结果,即可作出判断【解答】解:方程两边同时乘以 6 得:2(x1)+6x=3(3x+1) ,故选 B7已知四边形 ABCD 是平行四边形

14、,对角线 AC、BD 交于点 O,E 是 BC 的中点,以下说法错误的是( )AOE= DCBOA=OC CBOE=OBA DOBE=OCE【考点】平行四边形的性质【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项 A、B、C 正确;由OBOC,得出OBEOCE,选项 D 错误;即可得出结论【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形,OA=OC,OB=OD,ABDC,又点 E 是 BC 的中点,OE 是BCD 的中位线,OE= DC,OEDC,OEAB,BOE=OBA,选项 A、B、C 正确;OBOC ,OBEOCE,选项 D 错误;故选:D8如图,以直角三角形 a、b、c 为边,向外作等边

15、三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足 S1+S2=S3 图形个数有( )第 10 页(共 24 页)A1 B2 C3 D4【考点】勾股定理【分析】根据直角三角形 a、b、c 为边,应用勾股定理,可得 a2+b2=c2(1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出 3 个三角形的面积;然后根据 a2+b2=c2,可得 S1+S2=S3(2)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出 3 个半圆的面积;然后根据a2+b2=c2,可得 S1+S2=S3(3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出 3 个等腰直角三角形的面积;然后根据 a2+

16、b2=c2,可得 S1+S2=S3(4)第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出 3 个正方形的面积;然后根据a2+b2=c2,可得 S1+S2=S3【解答】解:(1)S 1= a2,S 2= b2,S 3= c2,a 2+b2=c2, a2+ b2= c2,S 1+S2=S3(2)S 1= a2,S 2= b2,S 3= c2,a 2+b2=c2, a2+ b2= c2,S 1+S2=S3(3)S 1= a2,S 2= b2,S 3= c2,a 2+b2=c2, a2+ b2= c2,S 1+S2=S3(4)S 1=a2,S 2=b2,S 3=c2,a 2+b2=c2,S 1+S2=

17、S3第 11 页(共 24 页)综上,可得面积关系满足 S1+S2=S3 图形有 4 个故选:D9已知,如图一次函数 y1=ax+b 与反比例函数 y2= 的图象如图示,当 y1y 2 时,x 的取值范围是( )Ax2 Bx5 C2x 5 D0x2 或 x5【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】根据图象得出两交点的横坐标,找出一次函数图象在反比例图象下方时 x 的范围即可【解答】解:根据题意得:当 y1y 2 时,x 的取值范围是 0x2 或 x5故选:D10已知二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象经过点 A( 1,2) ,B(2,5) ,顶点坐标为(m,n) ,则下列说法错

18、误的是( )Ac3 Bm Cn 2 Db1【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征【分析】根据已知条件得到 ,解方程组得到 c=32a3,b=1 a1,求得二次函数的对称轴为 x= = = ,根据二次函数的顶点坐标即可得到结论【解答】解:由已知可知: ,消去 b 得:c=32a 3,消去 c 得:b=1a 1,对称轴:x= = = ,第 12 页(共 24 页)A(1 ,2) ,a0,那么顶点的纵坐标为函数的最小值,n2,故 B 错二、填空题(本题共 8 小题,每题 3 分,共 24 分)11计算:3a(2a 1)= a+1 【考点】整式的加减【分析】原式去括号合并即可得到结果【解答

19、】解:原式=3a2a +1=a+1,故答案为:a+112据民政部网站消息,截至 2014 年底,我国 60 岁以上老年人口已经达到 2.12 亿,其中2.12 亿用科学记数法表示为 2.1210 8 【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时,n 是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数【解答】解:2.12 亿=212000000=2.1210 8,故答案为:2.1210 813从 1,2,399,100 个整数中

20、,任取一个数,这个数大于 60 的概率是 0.4 【考点】概率公式【分析】直接利用概率公式计算【解答】解:从 1,2,399,100 个整数中,任取一个数,这个数大于 60 的概率= =0.4故答案为 0.414如图,正六边形 ABCDEF 内接于半径为 3 的圆 O,则劣弧 AB 的长度为 【考点】正多边形和圆;弧长的计算【分析】求出圆心角AOB 的度数,再利用弧长公式解答即可【解答】解:如图,连接 OA、OB,第 13 页(共 24 页)ABCDEF 为正六边形,AOB=360 =60,的长为 =故答案为:15分解因式:(x8) (x+2 )+6x= (x+4) (x4) 【考点】因式分解

21、-运用公式法【分析】原式去括号、合并同类项后,运用平方差公式分解即可得到结果【解答】解:原式=x 2+2x8x16+6x=x216=(x+4) (x 4) ,故答案为:(x+4) (x4) 16ABC 的内切圆的三个切点分别为 D、E、F,A=75,B=45 ,则圆心角EOF= 120 度【考点】三角形的内切圆与内心【分析】首先根据A=75,B=45,求出C=60;然后根据ABC 的内切圆的三个切点分别为 D、E、F ,可得OEC=OFC=90,再根据四边形 OEFC 的内角和等于 360,求出圆心角EOF 的度数是多少即可【解答】解:A=75,B=45,C=180 7545=10545第 1

22、4 页(共 24 页)=60ABC 的内切圆的三个切点分别为 D、E、F,OEC=OFC=90 ,四边形 OECF 的内角和等于 360,EOF=360(90+90+60)=360240=120故答案为:12017已知 A、B、C、D 是平面坐标系中坐标轴上的点,且AOBCOD设直线 AB 的表达式为 y1=k1x+b1,直线 CD 的表达式为 y2=k2x+b2,则 k1k2= 1 【考点】两条直线相交或平行问题;全等三角形的性质【分析】根据 A(0,a) 、B (b,0) ,得到 OA=a,OB=b,根据全等三角形的性质得到OC=a,OD= b,得到 C(a , 0) ,D(0,b) ,求

23、得 k1= ,k 2= ,即可得到结论【解答】解:设点 A(0,a) 、B(b,0) ,OA=a,OB= b,AOBCOD,OC=a,OD= b,C(a ,0) , D(0,b) ,k 1= = ,k 2= = ,k 1k2=1,故答案为:118已知点 P 是ABC 内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则 P 点叫ABC的费马点(Fermat point) 已经证明:在三个内角均小于 120的ABC 中,当APB=APC=BPC=120 时,P 就是ABC 的费马点若点 P 是腰长为 的等腰直角三角形 DEF 的费马点,则 PD+PE+PF= +1 第 15 页(共 24 页)【考点】

24、解直角三角形;等腰直角三角形【分析】根据题意首先画出图形,过点 D 作 DMEF 于点 M,过 E、F 分别作MEP=MFP=30就可以得到满足条件的点 P,根据特殊直角三角形才求出PE,PF,PM ,DP 的长,进而得出答案【解答】解:如图:等腰 RtDEF 中,DE=DF= ,过点 D 作 DMEF 于点 M,过 E、F 分别作MEP=MFP=30,则 EM=DM=1,故 cos30= ,解得:PE=PF= = ,则 PM= ,故 DP=1 ,则 PD+PE+PF=2 +1 = +1故答案为: +1三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分)19计算: 【考点】实数的运算;零指数幂;特殊

25、角的三角函数值【分析】原式利用算术平方根定义,乘方的意义,以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解:原式=3+1 2=220先化简,再求值: ,其中 x=3【考点】分式的化简求值【分析】首先通分计算括号里面的,再计算乘法,把多项式分解因式后约分,得出化简结果,再代入 x 的值计算即可【解答】解:= 第 16 页(共 24 页)= ,当 x=3 时,原式= = 21某社区从 2011 年开始,组织全民健身活动,结合社区条件,开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目,现将参加项目活动总人数进行统计,并绘制成每年参加总人数折线统计图和 2015 年各活动项目参与人数的扇形统计图,请你根

26、据统计图解答下列题(1)2015 年比 2011 年增加 990 人;(2)请根据扇形统计图求出 2015 年参与跑步项目的人数;(3)组织者预计 2016 年参与人员人数将比 2015 年的人数增加 15%,名各活动项目参与人数的百分比与 2016 年相同,请根据以上统计结果,估计 2016 年参加太极拳的人数【考点】折线统计图;用样本估计总体;扇形统计图【分析】 (1)用 2015 年的人数2011 年的人数即可;(2)用 2015 年总人数参与跑步项目的人数所占的百分数即可;(3)2015 年总人数(1+15%)参加太极拳的人数所占的百分数即可【解答】解:(1)1600610=(人) ;

27、故答案为:990 人;(2)160055%=880(人) ;答:2015 年参与跑步项目的人数为 880 人;(3)1600(1+15%)( 155%30%5%)=184(人) ;答:估计 2016 年参加太极拳的人数为 184 人22某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核,规定如下:考核综合评价得分由测试成绩(满分 100 分)和平时成绩(满分 100 分)两部分组成,其中测试成绩占 80%,平时成绩占 20%,并且当综合评价得分大于或等于 80 分时,该生综合评价为 A 等(1)孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为 185 分,而综合评价得分为 91 分,则孔明同学测试成绩和平

28、时成绩各得多少分?(2)某同学测试成绩为 70 分,他的综合评价得分有可能达到 A 等吗?为什么?(3)如果一个同学综合评价要达到 A 等,他的测试成绩至少要多少分?【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用第 17 页(共 24 页)【分析】 (1)分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为 185 分,而综合评价得分为 91 分,分别得出等式求出答案;(2)利用测试成绩占 80%,平时成绩占 20%,进而得出答案;(3)首先假设平时成绩为满分,进而得出不等式,求出测试成绩的最小值【解答】解:(1)设孔明同学测试成绩为 x 分,平时成绩为 y 分,依题意得:解之得:答:孔明同

29、学测试成绩位 90 分,平时成绩为 95 分;(2)由题意可得:807080%=24 ,2420%=120100,故不可能(3)设平时成绩为满分,即 100 分,综合成绩为 10020%=20,设测试成绩为 a 分,根据题意可得:20+80%a80,解得:a75答:他的测试成绩应该至少为 75 分23已知正方形 ABCD 中,BC=3 ,点 E、F 分别是 CB、CD 延长线上的点,DF=BE,连接 AE、AF ,过点 A 作 AHED 于 H 点(1)求证:ADFABE;(2)若 BE=1,求 tanAED 的值【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质【分析】 (1)根据辅助线的性质得到

30、 AD=AB,ADC=ABC=90 ,由邻补角的定义得到ADF= ABE=90,于是得到结论;(2)过点 A 作 AHDE 于点 H,根据勾股定理得到 AE= ,ED= =5,根据三角形的面积 SAED= ADBA= ,S ADE= EDAH= ,求得 AH=1.8,由三角函数的定义即可得到结论【解答】解:(1)正方形 ABCD 中,AD=AB, ADC=ABC=90,ADF= ABE=90,在ADF 与 ABE 中,第 18 页(共 24 页),ADF ABE ;(2)过点 A 作 AHDE 于点 H,在 Rt ABE 中, AB=BC=3,BE=1,AE= ,ED= =5,S AED= A

31、DBA= ,SADE= EDAH= ,解出 AH=1.8,在 Rt AHE 中,EH=2.6,tanAED= 24平行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C 在反比例函数 y= (k0)图象上,点 B、D 在x 轴上,且 B、D 两点关于原点对称,AD 交 y 轴于 P 点(1)已知点 A 的坐标是(2 ,3) ,求 k 的值及 C 点的坐标;(2)若APO 的面积为 2,求点 D 到直线 AC 的距离【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;平行四边形的性质第 19 页(共 24 页)【分析】 (1)根据点 A 的坐标是( 2,3) ,平行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C 在反比例函数 y=

32、 (k0)图象上,点 B、D 在 x 轴上,且 B、D 两点关于原点对称,可以求得 k的值和点 C 的坐标;(2)根据APO 的面积为 2,可以求得 OP 的长,从而可以求得点 P 的坐标,进而可以求得直线 AP 的解析式,从而可以求得点 D 的坐标,再根据等积法可以求得点 D 到直线 AC的距离【解答】解:(1)点 A 的坐标是( 2,3) ,平行四边形 ABCD 的两个顶点 A、C 在反比例函数 y= (k0)图象上,点 B、D 在 x 轴上,且 B、D 两点关于原点对称,3= ,点 C 与点 A 关于原点 O 对称,k=6,C(2,3) ,即 k 的值是 6,C 点的坐标是( 2,3)

33、;(2)APO 的面积为 2,点 A 的坐标是(2,3) , ,得 OP=2,设过点 P(0,2) ,点 A(2,3)的直线解析式为 y=ax+b,解得, ,即直线 PC 的解析式为 y= ,将 y=0 代入 y= ,得 x4,OP=4,A(2,3) ,C( 2,3) ,AC= ,设点 D 到 AC 的距离为 m,S ACD=SODA+SODC, ,解得,m= ,即点 D 到直线 AC 的距离是 第 20 页(共 24 页)25已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径,C 是圆上一点,D 是 BC 延长线上一点,过点 D 的直线交 AC 于 E 点,且AEF 为等边三角形(1)求证:DFB 是

34、等腰三角形;(2)若 DA= AF,求证:CFAB【考点】圆周角定理;等腰三角形的判定与性质;垂径定理【分析】 (1)由 AB 是O 直径,得到ACB=90 ,由于AEF 为等边三角形,得到CAB=EFA=60 ,根据三角形的外角的性质即可得到结论;(2)过点 A 作 AMDF 于点 M,设 AF=2a,根据等边三角形的性质得到FM=EN=a,AM= a,在根据已知条件得到 AB=AF+BF=8a,根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a,推出ECF= EFC ,根据三角形的内角和即可得到结论【解答】解:(1)AB 是O 直径,ACB=90,AEF 为等边三角形,CAB=EFA=6

35、0 ,B=30 ,EFA=B+FDB ,B=FDB=30,DFB 是等腰三角形;(2)过点 A 作 AMDF 于点 M,设 AF=2a,AEF 是等边三角形,FM=EN=a,AM= a,在 Rt DAM 中, AD= AF=2 a,AM= ,DM=5a,DF=BF=6a ,AB=AF+BF=8a ,在 Rt ABC 中,B=30 ,ACB=90,AC=4a,AE=EF=AF=CE=2a,ECF= EFC ,AEF=ECF+EFC=60,CFE=30 ,AFC=AFE+EFC=60 +30=90,CF AB第 21 页(共 24 页)26已知二次函数 y=x2(2k+1)x+k 2+k(k0)(

36、1)当 k= 时,求这个二次函数的顶点坐标;(2)求证:关于 x 的一元次方程 x2(2k+1)x+k 2+k=0 有两个不相等的实数根;(3)如图,该二次函数与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点的左侧) ,与 y 轴交于 C 点,P 是 y 轴负半轴上一点,且 OP=1,直线 AP 交 BC 于点 Q,求证: 【考点】二次函数综合题【分析】 (1)直接将 k 的值代入函数解析式,进而利用配方法求出顶点坐标;(2)利用根的判别式得出=1,进而得出答案;(3)根据题意首先表示出 Q 点坐标,以及表示出 OA,AB 的长,再利用两点之间距离求出 AQ 的长,进而求出答案【解答】解:(1)

37、将 k= 代入二次函数可求得,y=x2+2x+=(x+1) 2 ,第 22 页(共 24 页)故抛物线的顶点坐标为:(1, ) ;(2)一元次方程 x2(2k+ 1)x+k 2+k=0,=b 24ac=(2k+1) 24(k 2+k)=10,关于 x 的一元次方程 x2( 2k+1)x+k 2+k=0 有两个不相等的实数根;(3)由题意可得:点 P 的坐标为(0,1) ,则 0=x2(2k+1)x+k 2+k0=(xk 1) (xk) ,故 A(k,0) ,B(k+1,0) ,当 x=0,则 y=k2+k,故 C(0,k 2+k)则 AB=k+1k=1,OA=k ,可得,yBC=kx+k2+k,当 x1=kx+k2+k,解得:x=k+ ,则代入原式可得:y= ,则点 Q 坐标为运用距离公式得:AQ 2=( ) 2+( ) 2= ,则 OA2=k2,AB 2=1,故 + = +1= = ,第 23 页(共 24 页)则 第 24 页(共 24 页)2016 年 8 月 24 日