1、 第 1页（共 31页） 2017-2018学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1（ 4分）下列方程是关于 x的一元二次方程的是（ ） A x+3y=0 B x2+2y=0 C x2+3x=0 D x+3=0 2（ 4分）如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 3点（ 2， 4）在反比例函数 y= 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是 ( ) A（ 2， 4） B（ 1， 8） C（ 2， 4） D（ 4， 2） 4（ 4分）如图，已知在 Rt ABC中
2、， C=90， AB=5， BC=3，则 cosB 的值是 ( ) A B C D 5（ 4 分）在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3左右，则布袋中白球可能有（ ） A 15个 B 20 个 C 30个 D 35 个 6（ 4分）抛物线 y= （ x 3） 2+1的顶点坐标为（ ） A（ 3， 1） B（ 3， 1） C（ 3、 1） D（ 3， 1） 7（ 4分）若关于 x 的方程 x2+2x a=0有两个相等的实数根，则 a的值为（ ） A 1 B 1 C 4 D 4 8（ 4 分）如图，小芳和爸
3、爸正在散步，爸爸身高 1.8m，他在地面上的影长为2.1m若小芳比爸爸矮 0.3m，则她的影长为（ ） A 1.3m B 1.65m C 1.75m D 1.8m 8题图 第 2页（共 31页） 9（ 4分）如图，双曲线 y= （ k 0）与 O在第一象限内交于 P、 Q两点，分别过 P、 Q两点向 x轴和 y轴作垂线，已知点 P坐标为（ 1， 3），则图中阴影部分的面积为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10（ 4分）如图，已知 O是正方形 ABCD 的外接圆，点 E是弧 AD 上任意一点，则 BEC的度数为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 11（ 4 分）如图， M 是
4、平行四边形 ABCD 的 AB 边中点， CM 交 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD的面积的比是（ ） A 1： 3 B 1： 4 C 1： 6 D 5： 12 12（ 4 分）二次函数 y=ax2+bx+c（ a 0）的图象如图，给出下列四个结论： abc 0； 4ac b2 0； 4a+c 2b； 3b+2c 0； m（ am+b） +b a（ m 1）其中结论正确的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 第 3页（共 31页） 二、填空题：（本大题共 6个小题，每小题 4分，共 24 分，） 13（ 4 分）假如一只小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并
5、随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色的方砖上的概率是 14（ 4分）如图，在 ABC中， B=90， D、 E分别是边 AB、 AC的中点， DE=4，BC=8，则 ADE与 ABC的周长的比是 15（ 4分）二次函数 y=ax+bx+c的部分对 应值如下表： x 3 2 0 1 4 5 y 7 0 8 9 0 7 二次函数 y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线 x= 16如图： M为反比例函数 图象上一点， MA y轴于 A， S MAO=2时， k= 17（ 4 分）如图， ABC 为等腰直角三角形， A=90， AB=AC= ， A 与 BC相切于 D，则图中阴影部分的面积是 第 4
6、页（共 31页） 18（ 4 分）如图， ABC ADE， BAC= DAE=90， AB=6， AC=8， F 为 DE 中点，若点 D 在直线 BC 上运动，连接 CF，则在点 D 运动过程中，线段 CF 的最小值是 三、解答题：（本大题共 9个小题，共 78 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（ 6分）解方程： x2+8x 9=0 20（ 6分）如图， D 是 ABC的边 AC上的一点，连接 BD，已知 ABD= C， AB=6，AD=4，求线段 CD的长 21（ 6 分）如图， CB 是 O 的直径， P 是 CB 延长线上一点， PB=2， PA 切 O 于A点，
7、PA=4求 O 的半径 第 5页（共 31页） 22（ 8分）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到 社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）该阅览室在 2015 年图书借阅总量是 7500本， 2017年图书借阅总量是 10800本 （ 1）求该社区的图书借阅总量从 2015年至 2017年的年平均增长率； （ 2）如果每年的增长率相同，预计 2018年图书借阅总量是多少本？ 23（ 8分）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字 1、 2、 3、 4的红色卡片和三张分别写有数字 1、 2、 3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同 （ 1）从中任意抽取一张卡片，
8、求该卡片上写有数字 2的概率； （ 2）将三张 蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成个两位数，求这个两位数大于 30 的概率 24（ 10分）已知：如图，直线 与双曲线 交于 A、 B两点，且点 A的坐标为（ 6， m） （ 1）求双曲线 的解析式； （ 2）点 C（ n， 4）在双曲线 上，求 AOC 的面积； （ 3）在（ 2）的条件下，在 x 轴上找出一点 P，使 AOC 的面积等于 AOP 的面积的三倍请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 第 6页（共 31页） 25（ 10分）关于
9、三角函数有 如下公式： sin（ +） =sin cos +cos sin，sin（） =sin cos cos sin cos（ +） =cos cos sin sin， cos（） =cos cos +sin sin tan（ +） = （ 1 tan tan 0） tan（） = （ 1+tan tan 0） 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值 如： tan105 =tan（ 45 +60） = 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题： 如图，两座 建筑物 AB和 DC的水平距离 BC为 24米，从点 A测得点 D的俯角 =15，测得点 C的
10、俯角 =75，求建筑物 CD的高度 26（ 12分）已知正方形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O （ 1）如图 1， E， G 分别是 OB， OC上的点， CE 与 DG的延长线相交于点 F若 DF CE，求证： OE=OG； （ 2）如图 2， H 是 BC 上的点，过点 H 作 EH BC，交线段 OB 于点 E，连结 DH 交CE于点 F，交 OC于点 G若 OE=OG， 求证： ODG= OCE； 当 AB=1时，求 HC 的长 第 7页（共 31页） 27（ 12分）如图，抛物线 y=ax2 2x+c（ a 0）与 x轴、 y轴分别交于点 A， B，C三点，已知点 A（
11、2， 0），点 C（ 0， 8），点 D是抛物线的顶点 （ 1）求抛物线的解析式及顶点 D的坐标； （ 2）如图 1，抛物线的对称轴与 x轴交于点 E，第四象限的抛物线上有一点 P，将 EBP 沿直线 EP 折叠，使点 B 的对应点 B落在抛物线的对称轴上，求点 P 的坐标； （ 3）如图 2，设 BC 交抛物线的对称轴于点 F，作直线 CD，点 M 是直线 CD 上的动点，点 N 是平面内一点，当以点 B， F， M， N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 M的坐标 第 8页（共 31页） 2017-2018 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题
12、（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1（ 4分）下列方程是关于 x的一元二次方程的是（ ） A x+3y=0 B x2+2y=0 C x2+3x=0 D x+3=0 【分析】 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，逐一判断可得 【解答】 解： A、 x+3y=0是关于 x、 y的二元一次方程，不符合题意； B、 x2+2y=0中多了一 个未知数，不符合题意； C、 x2+3x=0是关于 x的一元二次方程，符合题意； D、 x+3=0是关于 x 的一元一次方程，不符合题意； 故选：
13、C 【点评】 本题主要考查一元二次方程，解题的关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程 2（ 4分）如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】 根据圆锥的三视图进行判断，即可得到其主视图 【解答】 解：根据圆锥的摆放位置，可知从正面看圆锥所得的图形是三角形， 故该圆锥的主视图是三角形， 第 9页（共 31页） 故选： A 【点评】 本题主要考查了几何体的三视图，解决问题的关键是掌握圆锥的三视图的特征 3（ 4分）点（ 2， 4）在反比例函数 y= 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A（ 2， 4） B（ 1， 8） C（ 2，
14、4） D（ 4， 2） 【分析】 由点（ 2， 4）在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出 k值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为 k值，由此即可得出结论 【解答】 解： 点（ 2， 4）在反比例函数 y= 的图象上， k=2 （ 4） = 8 A 中 2 4=8； B 中 1 （ 8） =8； C 中 2 （ 4） =8； D 中 4 （ 2） = 8， 点（ 4， 2）在反比例函数 y= 的图象上 故选： D 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数 k本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上
15、点的坐标特征求出 k值是关键 4（ 4 分）如图，已知在 Rt ABC 中， C=90， AB=5， BC=3，则 cosB 的值是（ ） A B C D 【分析】 根据余弦的定义解答即可 第 10页（共 31页） 【解答】 解：在 Rt ABC中， BC=3， AB=5， cosB= = ， 故选： A 【点评】 本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角 A的邻边 a与斜边 c的比叫做 A的余弦是解题的关键 5（ 4 分）在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3左右，则布袋中白球可能有（ ） A 15个
16、 B 20 个 C 30个 D 35 个 【分析】 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解 【解答】 解：设袋中有黄球 x个，由题意得 =0.3， 解得 x=15，则白球可能有 50 15=35个 故选： D 【点评】 本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数 6（ 4分）抛物线 y= （ x 3） 2+1的顶点坐标为（ ） A（ 3， 1） B（ 3， 1） C（ 3、 1） D（ 3， 1） 【分析】 根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可 【解答】 解：抛物线
17、 y= （ x 3） 2+1的顶点坐标为（ 3， 1） 故选： B 【点评】 本题考查了二次函数的性 质，熟练掌握利用二次函数顶点式解析式求顶点的方法是解题的关键 7（ 4分）若关于 x 的方程 x2+2x a=0有两个相等的实数根，则 a的值为（ ） A 1 B 1 C 4 D 4 第 11页（共 31页） 【分析】 根据方程的系数结合根的判别式可得出关于 a的一元一次方程，解方程即可得出结论 【解答】 解： 方程 x2+2x a=0有两个相等的实数根， =22 4 1 （ a） =4+4a=0， 解得： a= 1 故选： A 【点评】 本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，根据根的判别式
18、找出关于a的一元一次方程是解题的关键 8（ 4 分）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高 1.8m，他在地面上的影长为2.1m若小芳比爸爸矮 0.3m，则她的影长为（ ） A 1.3m B 1.65m C 1.75m D 1.8m 【分析】 在同一时刻物高和影长成正比，即太阳光线照到两个物体上光线、物体、影子三者形成的直角三角形相似 【解答】 解：根据相同时刻的物高与影长成比例， 设小芳的影长为 xm， 则 ， 解得 x=1.75m 故选： C 【点评】 在同一时刻物高和影长成正比，本题就是考查相似三角形的性质，对应边的比相等 9（ 4分）如 图，双曲线 y= （ k 0）与 O在第一象限内交于
19、 P、 Q两点，分别第 12页（共 31页） 过 P、 Q两点向 x轴和 y轴作垂线，已知点 P坐标为（ 1， 3），则图中阴影部分的面积为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 根据反比例函数图象和圆的性质得到点 P 与点 Q 关于直线 y=x 对称， Q点的坐标为（ 3， 1），则图中阴影部分为两个边长分别为 1 和 2 的矩形，然后根据矩形的面积公式求解 【解答】 解： 双曲线 y= （ k 0）与 O 在第一象限内交于 P、 Q 两点， 点 P与点 Q关于直线 y=x对称， Q点的坐标为（ 3， 1）， 图中阴影部分的面积 =2 （ 3 1） =4 故选： D 【点评】 本题
20、考查了反比例函数 y= （ k 0）系数 k的几何意义：从反比例函数y= （ k 0）图象上任意一点向 x轴和 y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 |k| 10（ 4分）如图，已知 O是正方形 ABCD 的外接圆，点 E是弧 AD 上任意一点，则 BEC的度数为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【分析】 首先连接 OB， OC，由 O 是正方形 ABCD 的外接圆，即可求得 BOC 的第 13页（共 31页） 度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 一半，即可求得 BEC的度数 【解答】 解：连接 OB， OC， O是正方形 ABCD 的
21、外接圆， BOC=90， BEC= BOC=45 故选： B 【点评】 此题考查了圆周角定理与圆的内接多边形的知识此题难度不大，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用 11（ 4 分）如图， M 是平行四边形 ABCD 的 AB 边中点， CM 交 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD的面积的比是（ ） A 1： 3 B 1： 4 C 1： 6 D 5： 12 【分析】 先过 E作 GH CD，分别交 AB、 CD 于 H、 G，再设 EH=h， BM=a， S BEM=ah=x，根据平行四边形的性质，结合 M是 AB中点，可得 AB=CD=2a，再利用 AB CD，
22、根据平行线分线段成比例定理的推论可知 BME DCE，根据比例线段易得GH=3h，根据三角形面积公式以及平行四边形的面积公式易求 S 平行四边形 ABCD以及 S 阴影 ，进而可求它们的比值 【解答】 解：如右图，过 E作 GH CD，分别交 AB、 CD于 H、 G， 设 EH=h， BM=a， S BEM= ah=x，那么 第 14页（共 31页） M是 AB中点， BM= AB， 四边形 ABCD是 ， AB=CD， AB CD， AB=CD=2a， AB CD， BME DCE， EH： GE=BM： CD=1： 2， GH=3h， S 四边形 ABCD=AB GH=2a 3h=6ah
23、=12x， S CBE=S MBC S BME= a3h ah=ah=2x， 同理有 S MED=2x， S 阴影 =S CBE+S MED=4x， S 阴影 ： S 四边形 ABCD=4x： 12x=1： 3 故选： A 【点评】 本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、三角形的面积、平行线分线段成比例定理的推论，解题 的关键是过 E 作 GH CD，制造出三角形、平行四边形的高，从而便于计算 12（ 4 分）二次函数 y=ax2+bx+c（ a 0）的图象如图，给出下列四个结论： abc 0； 4ac b2 0； 4a+c 2b； 3b+2c 0； m（ am+b） +b a（
24、 m 1）其中结论正确的个数是（ ） 第 15页（共 31页） A 2 B 3 C 4 D 5 【分析】 根据抛物线开口方向、对称轴、与 y 轴交点可判断 ；根据抛物线与 x轴交点个数可判断 ；根据 x=0与 x= 2关于对称轴 x= 1对称，且 x=0时 y0，可判断 ；根据 x=1时， y 0，且对称轴为 x= 1可判断 ；由抛物线在 x= 1时有最大值，可判断 【解答】 解： 由抛物线图象得：开口向下，即 a 0； c 0， = 1 0，即b=2a 0， abc 0，选项 正确； 抛物线图象与 x轴有两个交点， =b2 4ac 0，即 4ac b2 0，选项 正确； 抛物线对称轴为 x=
25、 1，且 x=0时， y 0， 当 x= 2时， y=4a 2b+c 0，即 4a+c 2b，选项 错误； 抛物线对称轴 x= 1，即 = 1， a= b， 由图象可知，当 x=1 时， y=a+b+c= +c 0， 故 3b+2c 0，选项 正确； 由图象可知，当 x= 1时 y取得最大值， m 1， am2+bm+c a b+c，即 am2+bm+b a， m（ am+b） +b a，选项 正确； 故正确的有： ， 故选： C 【点评】 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数 y=ax2+bx+c第 16页（共 31页） 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y轴的交点抛
26、物线与 x轴交点的个数确定是解题的关键 二、填空题：（本大题共 6个小题，每小题 4分，共 24 分，） 13（ 4 分）假如一只小猫在如图所示的地板上自由地 走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色的方砖上的概率是 【分析】 根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值 【解答】 解：观察这个图可知：黑色区域（ 4块）的面积占总面积（ 16块）的 ，故其概率为 故答案为： 【点评】 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（ A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（ A）发生
27、的概率 14（ 4分）如图，在 ABC中， B=90， D、 E分别是边 AB、 AC的中点， DE=4，BC=8，则 ADE与 ABC的周长的比是 1： 2 【分析】 先根据三角形中位线定理求得 DE BC， DE= BC，再证得 ADE ABC，然后由相似三角形的周长比等于相似比，即可求得 ADE与 ABC的周长的比 第 17页（共 31页） 【解答】 解： D、 E分别是边 AB、 AC的中点， DE BC， DE= BC， ADE ABC， ADE与 ABC的周长的比是： 1： 2 故答案为： 1： 2 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理此题比较简单，注意掌握
28、数 形结合思想的应用 15（ 4分）二次函数 y=ax+bx+c的部分对应值如下表： x 3 2 0 1 4 5 y 7 0 8 9 0 7 二次函数 y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线 x= 1 【分析】 根据表格中的数据和二次函数具有对称性，可以求得函数的对称轴，从而可以解答本题 【解答】 解：由表格可得， 二次函数 y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线 x= ， 故答案为： 1 【点评】 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 16（ 4 分）如图： M 为反比例函数 图象上一点， MA y 轴于 A， S MAO=2 时，k= 4 【分析】 根据
29、反比例函数 y= （ k 0）系数 k的几何意义得到 S AOM= |k|=2，然第 18页（共 31页） 后根据 k 0去绝对值得到 k的值 【解答】 解： AB x轴， S AOM= |k|=2， k 0， k= 4 故答案为 4 【点评】 本题考查了反比例函数 y= （ k 0）系数 k的几何意义：从反比例函数y= （ k 0）图象上任意一点向 x轴和 y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 |k| 17（ 4 分）如图， ABC 为 等腰直角三角形， A=90， AB=AC= ， A 与 BC相切于 D，则图中阴影部分的面积是 【分析】 用图中等腰直角三角形的面积减去扇形的面积即可
30、得到阴影部分的面积 【解答】 解：连接 AD， BC为 A切线， BC AD， AD=1， S ABC= =1， S 扇形 = = ， S 阴影 =S ABC S 扇形 =1 = ， 故答案为 第 19页（共 31页） 【点评】 本题考查了切线的性质、等腰三角形的相关计算及扇形面积的计算，将不规则图形的面积转化为两个规则图形面积的差或和是解题的关键 18（ 4 分） 如图， ABC ADE， BAC= DAE=90， AB=6， AC=8， F 为 DE 中点，若点 D 在直线 BC 上运动，连接 CF，则在点 D 运动过程中，线段 CF 的最小值是 4 【分析】 连接 CE，根据 DCE=9
31、0， F 是 DE 的中点，可得 CF= DE，再根据当AD BC时， AD最短，此时 DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得 DE的最小值，即可得出 CF的最小值 【解答】 解：如图，连接 CE， ABC ADE， ACD= AEG， 又 AGE= DGC， AGE DGC， = ， 又 AGD= EGC， AGD EGC， 第 20页（共 31页） ADG= ECG， 又 Rt ADE中， ADG+ AEG=90， ECG+ ACD=90，即 DCE=90， F是 DE的中点， CF= DE， ABC ADE， 当 AD BC时， AD 最短，此时 DE最短， 当 AD
32、BC时， AD= =4.8， = ，即 = ， DE=8， CF= 8=4 故答案为： 4 【点评】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上中线的性质的应用，解题时注意：在直角三角形中 ，斜边上的中线等于斜边的一半解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值 三、解答题：（本大题共 9个小题，共 78 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（ 6分）解方程： x2+8x 9=0 【分析】 利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程 【解答】 解：由原方程，得 （ x+9）（ x 1） =0， 解得 x1= 9， x2=1 【点评】 本题考查了解一元二
33、次方程因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这 就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 第 21页（共 31页） 20（ 6分）如图， D 是 ABC的边 AC上的一点，连接 BD，已知 ABD= C， AB=6，AD=4，求线段 CD的长 【分析】 由已知角相等，加上公共角，得到三角形 ABD与三角形 ACB 相似，由相似得比例，将 AB与 AD长代入即可求出 CD 的长 【解答】 解：在 ABD和 ACB中， ABD= C， A
34、= A， ABD ACB， = ， AB=6， AD=4， AC= = =9， CD=AC AD=9 4=5 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 21（ 6 分）如图， CB 是 O 的直径， P 是 CB 延长线上一点， PB=2， PA 切 O 于A点， PA=4求 O 的半径 【分析】 连接 OA，根据切线的性质得出 OAP=90，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可 第 22页（共 31页） 【解答】 解： 连接 OA，设 O的半径为 R， PA切 O于 A点， OA PA， OAP=90， 由勾股定理得： AO2+PA2=OP2
35、， R2+42=（ R+2） 2， 解得： R=3（负数舍去）， 即 O的半径是 3 【点评】 本题考查了切线的性质和勾股定理，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径 22（ 8分）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）该阅览室在 2015 年图书借阅总量是 7500本， 2017年图书借阅总量是 10800本 （ 1）求该社区的图书借阅总量从 2015年至 2017年的年平均增长率； （ 2）如果每年的增长率相同，预计 2018年图书借阅总量是多少 本？ 【分析】 （ 1）经过两次增长，求年平均增长
36、率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果设这两年的年平均增长率为 x，则经过两次增长以后图书馆有书7500（ 1+x） 2本，即可列方程求解； （ 2）根据增长率来求 2018年图书借阅总量 【解答】 解：（ 1）设该社区的图书借阅总量从 2014年至 2016年的年平均增长率为 x，根据题意得 7500（ 1+x） 2=10800， 即（ 1+x） 2=1.44， 解得： x1=0.2， x2= 2.2（舍去） 第 23页（共 31页） 答：该社区的图书借阅总量从 2014年至 2016 年的年平均增长率为 20%； （ 2） 10800（ 1+0.2） =12960（本） 答：预计 20
37、18年图书借阅总量是 12960本 【点评】 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键 23（ 8分）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字 1、 2、 3、 4的红色卡片和三张分别写有数字 1、 2、 3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同 （ 1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字 2的概率； （ 2）将三张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒 子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成个两位数，求这个两位数大于 30 的
38、概率 【分析】 （ 1）由在 7张卡片中共有两张卡片写有数字 2，利用概率公式求解即可求得答案； （ 2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与这个两位数大于 30的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解：（ 1） 在 7张卡片中共有两张卡片写有数字 2， 从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字 2的概率是 ； （ 2）组成的所有两位数列表 得： 1 2 3 4 1 11 21 31 41 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 共有 12种等可能的结果，这个两位数大于 30的有 6种情况 这个两位数大于 30的概率为： = 第 24页（共 31页）
39、【点评】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率 =所求情况数与总情况数之比 24（ 10分）已知：如图，直线 与双曲线 交于 A、 B两点，且点 A的坐标为（ 6， m） （ 1）求双曲线 的解析式； （ 2）点 C（ n， 4）在双曲线 上，求 AOC 的面积； （ 3）在（ 2）的条件下，在 x 轴上找出一点 P，使 AOC 的面积等于 AOP 的面积的三倍请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 【分析】 （ 1）先把点 A（ 6， m）代入 y= x 可求出
40、 m 确定 A 点坐标，然后把 A 点坐标再代入 即可求出 k的值，从而确定双曲线 的解析式； （ 2）作 CD x 轴于 D 点， AE x 轴于 E 点，先把点 C（ n， 4）代入 可求出n的值，则可确定点 C的坐标为（ 3， 4），根据反比例函数的性质得到 S OCD=S AOE= 12=6，然后利用 S AOC=S 四边形 COEA S AOE=S 四边形 COEA S COD=S 梯形 CDEA，进行计算； （ 3）由（ 2）得到 S AOC=9，则 S AOP=3，而 A 点坐标为（ 6， 2），设 P点坐标为（ x，0），则 2 |x|=3，解出 x即可得到 P点坐标 【解答】
41、 解：（ 1） 点 A（ 6， m）在直线 y= x上， 第 25页（共 31页） m= 6=2， 点 A（ 6， 2）在双曲线 上， ，解得 k=12， 双曲线的解析式为 y= ； （ 2）作 CD x轴于 D点， AE x轴于 E点，如图， 点 C（ n， 4）在双曲线 上， ，解得 n=3，即点 C的坐标为（ 3， 4）， 点 A， C都在双曲线 上， S OCD=S AOE= 12=6， S AOC=S 四边形 COEA S AOE=S 四边形 COEA S COD=S 梯形 CDEA， S AOC= （ CD+AE） DE= （ 4+2） （ 6 3） =9； （ 3） S AOC=
42、9， S AOP=3， 设 P点坐标为（ x， 0），而 A点坐标为（ 6， 2）， S AOP= 2 |x|=3，解得 x= 3， P（ 3， 0）或 P（ 3， 0） 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比 例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式也考查了待定系数法求函数的解析式以及第 26页（共 31页） 三角形的面积公式 25（ 10分）关于三角函数有如下公式： sin（ +） =sin cos +cos sin，sin（） =sin cos cos sin cos（ +） =cos cos sin sin， cos（） =cos cos +sin sin t
43、an（ +） = （ 1 tan tan 0） tan（） = （ 1+tan tan 0） 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化 为特殊角的三角函数来求值 如： tan105 =tan（ 45 +60） = 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题： 如图，两座建筑物 AB和 DC的水平距离 BC为 24米，从点 A测得点 D的俯角 =15，测得点 C的俯角 =75，求建筑物 CD的高度 【分析】 根据题意得到 tan75 =2+ ， tan15 =2 ，如图，延长 CD 交 BC的延长线 AE于 E，解直角三角形即可得到结论 【解答】 解： tan75 =tan（ 30
44、+45） = = =2+ ， tan15 =tan（ 45 30） = =2 ， 如图，过 A作 AE CD交 CD延长线于 E， 在 Rt AEC中， AE=BC=24m， CAE=75， tan75 = ， 第 27页（共 31页） CE=AEtan75 =（ 48+24 ） m， 在 Rt AED中， tan DAE=tan15 = ， DE=AEtan15 =48 24 m， CD=CE DE=48 m 答：建筑物 CD的高度是 48 m 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 26（ 12分）已知正方形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O （ 1）如图 1， E， G 分别是 OB， OC上的点， CE 与 DG的延长线相交于点 F若 DF CE，求证： OE=OG； （ 2）如图 2， H 是 BC 上的点，过点 H 作 EH BC，交线段 OB 于点 E，连结 DH