1、数学(理科)试题 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷 页,第卷 页,共 分,测试时间 分钟注意事项:选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上第卷(共 分)一、选择题(本大题共 个小题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)已知集合A x|x ,B x| x ,则ABA ( , ) B ( , ) C ( , ) D ( , ) ( , )设i是虚数单位,z是复数z的共轭复数,若z i,则复数ziz在复平面内对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限已
2、知a,b都是实数,那么“ a b”是“a b ”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件在平面直角坐标系xOy中,M(a,b)为不等式组xy x y x 所表示的区域上任意动点,则b a 的最大值为A B C D 南宋数学家秦九韶在数书九章中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法,已知f(x) x x x ,程序框图设计的是求f(x )的值,在M处应填的执行语句是A niB n iC ni D n i双曲线xa yb (a ,b ) ,M、N为双曲线上关于原点对称的两点,P为双曲线上的点,且直线PM、PN斜率分别为k 、k ,若k k ,则双曲线离心
3、率为A B C D 数学(理科)试题 第页(共页)某学校随机抽查了本校 个同学,调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(单位:分钟) ,根据所得数据的茎叶图,以为组距将数据分为组,分别是 , ) , , ) , , , ,作出频率分布直方图如图所示,则原始的茎叶图可能是 A B C D 将函数f(x) s i n x c o s x的图象向左平移个单位,再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) ,得到yg(x)的图象,则关于yg(x)的图象,下列结论不正确 的是A 周期为 B 关于点 , 对称C 在 , 单调递增D 在 , 单调递减在ax( ) 的展开式中,x项的系数等于 ,则a
4、x xdx等于A l n B l n C l n D l n 如图,圆M、圆N、圆P彼此相外切,且内切于正三角形ABC中,在正三角形ABC内随机取一点,则此点取自三角形MNP(阴影部分)的概率是A B C D 已知定义在R上的函数f(x)满足:( )f( x) f(x) ;( )f(x ) f(x ) ;( )x ,x , 时, (x x ) f(x ) f(x ) 则f( ) ,f( ) ,f( )大小关系Af( ) f( ) f( ) Bf( ) f( ) f( )Cf( ) f( ) f( ) Df( ) f( ) f( )数学(理科)试题 第页(共页) 已知长方体ABCDABCD中,底
5、面ABCD的长AB ,宽BC ,高AA ,点M,N分别是BC,CD的中点,点P在上底面ABCD中,点Q在AN上,若PM ,则PQ长度的最小值是A B C D 第卷(共 分)二、填空题(每小题分,共计 分) 已知a ( , ) ,b (k, ) ,若(ab) a,则a在b方向上射影的数量 已知抛物线y px(p )的焦点为F,其准线与双曲线y x 相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p 如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为 三角形ABC中,AB ,AC ,以B为直角顶点作等腰直角三角形BCD(A、D在BC两侧) ,当BAC变化时,线段AD的长度最大值为三、解答题(本大
6、题共小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (本小题满分 分)设Sn为数列an的前n项和,且a ,当n 时, (n )an (n )Sn n(n ) ,nN( )证明:数列Snn 为等比数列;( )记TnS S Sn,求Tn (本小题满分 分)手机作为客户端越来越为人们所青睐,通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式在某市,随机调查了 名顾客购物时使用手机支付的情况,得到如下的 列联表,已知从使用手机支付的人群中随机抽取人,抽到青年的概率为 ( )根据已知条件完成 列联表,并根据此资料判断是否有 的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关” ? 列联表:青年中老年合计使用手机支
7、付 不使用手机支付 合计 数学(理科)试题 第页(共页)( )现采用分层抽样的方法从这 名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为 的样本,再从中随机抽取人,求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望附:K n(adbc)(ab) (cd) (ac) (bd)P(K k ) k (本小题满分 分)如图所示,正四棱椎PABCD中,底面ABCD的边长为 ,侧棱长为 ( )若点E为PD上的点,且PB平面EAC试确定E点的位置;( )在( )的条件下,点F为线段PA上的一点且PF PA ,若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为 ,求实数的值 (本小题满分 分)设椭圆C
8、:xa yb (ab )的离心率是 ,A、B分别为椭圆的左顶点、上顶点,原点O到AB所在直线的距离为 ( )求椭圆C的方程;( )已知直线l:ykxm与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的端点) ,AHMN,垂足为H,且AH MH HN ,求证:直线l恒过定点 (本小题满分 分)设函数f(x) l nxae xa,aR( )当a 时,证明f(x)在( , )是增函数;( )若当x ( , )时,f(x ) ,求a取值范围 (本小题满分 分)选修 :坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴非负半轴重合,直线l的参数方程为:x tc o syts i n(t为参数,
9、, ) ) ,曲线C的极坐标方程为: c o s( )写出曲线C在直角坐标系下的标准方程;( )设直线l与曲线C相交于P,Q两点,若|PQ| ,求直线l的斜率 (本小题满分 分)选修 :不等式选讲已知函数f(x) |a x| |a x| ,a为实数( )当a 时,求不等式f(x) 的解集;( )求f(a)的最小值数学(理科)试题 第页(共页)数学(理科)试题参考答案 一、选择题(本大题共 个小题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) A A D D B A B D B C C C二、填空题:本大题共小题,每小题分,共 分把答案填在答题卡的相应位置 三、解答题:本大题共小题,共 分
10、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解: ( )当n 时,anSnSn ,所以(n ) (SnSn ) (n )Sn n(n ) , 分即(n )Sn nSn n(n ) ,则Snn Sn n , 分所以Snn Sn n ,又S ,故数列Snn 是首项为 ,公比为的等比数列分( )由( )知Snn S n n,所以Snn nn, 分故Tn ( n n) ( n)分设M n n,则M n n ,所以M nn n n n n ,所以M (n ) n , 分所以Tn (n ) n n(n ) 分 解: ( ) 从使用手机支付的人群中随机抽取人,抽到青年的概率为 使用手机支付的人群中的青年的人数为
11、 人, 分则使用手机支付的人群中的中老年的人数为 人,所以 列联表为:青年中老年合计使用手机支付 不使用手机支付 合计 分K的观测值k ( ) 分 ,P(K ) ,故有 的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”分数学(理科)试题答案 第页(共页)( )根据分层抽样原理,从这 名顾客中抽取 人,抽到“使用手机支付”的人数为 ,“不使用手机支付”的人数为分设随机抽取的人中“使用手机支付”的人数为随机变量X则X , , , P(X ) CCC 分P(X ) CCC 分P(X ) CCC 分P(X ) CCC 分所求随机变量X的概率分布为X P 分期望EX 分 解: ( )设BD交AC于点O,连接O
12、EPB平面AEC,平面AEC平面BDPOEPBOE分又O为BD的中点在BDP中E为PD中点分( )连接OP,由题知PO平面ABCD,且ACBD以OC ,OD ,OP所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系如图分OPPD OD A( , , ) ,B( , , ) ,C( , , ) ,D( , , ) ,P( , , )则E , , 分设平面AEC的法向量为m (x ,y ,z )则mOC mCE x y z 令z ,得平面AEC的一个法向量m ( , , ) 分设平面BDF的法向量n (x ,y ,z )由PF PA得F( , , ) 分数学(理科)试题答案 第页(共页)nOD nDF y x
13、( ) z 令z 得平面BDF的一个法向量n ( ), , 分由平面AEC与平面ADF所成锐二面角的余弦为 则c o s m,n mn|m| |n| 分解得: 分 解: ( )由eca 得:c a,b a直线AB方程为:y x a分da a 分解得:a b 分椭圆C的方程为x y 分( )由题意联立ykxmx y 得, ( k )x kmx m 由 ( km) ( k ) ( m ) 得k m 设M(x ,y ) ,N(x ,y ) ,则x x km k ,xx m k 分AM AN (AH HM ) (AH HN ) AH AH HN AH HM HM HN (由射影定理得AMAN,相应得分
14、) 分所以(x ) (x ) yy 即( k )xx ( km) (x x ) m k km m 分所以k m或k m均适合 分当k m时,直线l过点A,舍去, 分当k m时,直线l:ykx k过定点 , 分数学(理科)试题答案 第页(共页) 解: ( )证明:当a 时,f(x) ex xxex (x ) 分令g(x) ex xg(x) ex 令g(x) 得x 当x ( , )时,g(x) ,g(x)单调递减当x ( , )时,g(x) ,g(x)单调递增分x 时,g(x) m i n g( ) 即 g(x) f(x) f(x)在( , )上为增函数分( )设h(x) f(x ) l n (x
15、 ) aexa (x )h(x) x aexexa(x )(x )ex分令p(x) exa(x ) ,则p(x) exa分当a 时,p(x) e a a p(x)在( , )上单调递增p(x) p( ) a h(x) h(x)在( , )上单调递增h(x) h( ) ,所以结论成立分当a 时,由p(x) 得x l nax ( ,l na)时,p(x) ,p(x)单调递减又p( ) a x ( ,l na)时,p(x) 恒成立即h(x) x ( ,l na)时,h(x)单调递减此时,h(x) h( ) ,结论不成立 分综上,a 分(说明:用洛必达法则给分标准: 证明单调性分; 说明型分; 求出极
16、限值分; 得出最后结论分)数学(理科)试题答案 第页(共页) 解: ( ) c o s, c o s, 分由 x y ,c o sx,得x y x分所以曲线C在直角坐标系下的标准方程为(x ) y 分( )把x tc o syts i n代入x y x,整理得t tc o s 分 c o s c o s 设其两根分别为t ,t ,则t t c o s,tt , 分 |PQ| |t t | (t t ) tt c o s 分得c o s 分所以直线l的斜率为 分 解: ( )当a 时,不等式f(x) 即f(x) |x | |x |x| , 分当x 时,得f(x) ,无解; 分当x , ) ( , 时,得f(x) |x| ,解得|x| ,得 x 或 x ;分当x 时,得f(x) ,无解; 分综上不等式f(x) 的解集为 , , 分( )f(a) |a | |a |a| a |a |a| , 分当a 或a 时,f(a) a|a| |a| , 分当 a 且a 时,f(a) |a| , 分综上知,f(a)的最小值为 分数学(理科)试题答案 第页(共页)