1、2017-2018 学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是（ ）A3cm B3.5 cm C4cm D7.5cm2下列事件中，随机事件是（ ）A任意画一个圆的内接四边形，其对角互补B现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式C从分别写有数字 1，2，3 的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是 0D通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在 0以下3下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D4小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王
2、字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长100cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 O 并将其吊起来，在中点的左侧距离中点 25cm 处挂了一个重 1.6N 的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm 时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是（ ）A1.28N B1.6 N C2N D2.5N5如图，ABCABC，AD 和 AD分别是ABC 和AB C的高，若 AD2，A D3，则 ABC 与A B C的面积的比为（ ）A4：9 B9： 4 C2：3 D3：26如图，AB 为 O 的直径，C，D 为 O 上的两点
3、，若 AB14，BC 7则BDC的度数是（ ）A15 B30 C45 D607如图，在ABC 中，BAC90，ABAC 4，以点 C 为中心，把ABC 逆时针旋转 45，得到A BC，则图中阴影部分的面积为（ ）A2 B2 C4 D48如图，一条抛物线与 x 轴相交于 M、N 两点（点 M 在点 N 的左侧），其顶点 P 在线段 AB 上移动若点 A、 B 的坐标分别为（2，3）、（1，3），点 N 的横坐标的最大值为 4，则点 M 的横坐标的最小值为（ ）A1 B 3 C5 D7二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，O 的半径为 3，则正六边
4、形 ABCDEF 的边长为 10如图，把ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转，得到 A BC，点 C 恰好在 BC上，旋转角为 ，则C的度数为 （用含 的式子表示）11在反比例函数 的图象上有两点 A（x 1， y1），B（x 2，y 2），x1x 20，y 1y 2，则 m 的取值范围是 12如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，PO 与 AB 相交于点C，PA6，APB60 ，则 OC 的长为 13如图，双曲线 y 与抛物线 yax 2+bx+c 交于点 A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），由图象可得不等式组 0 +bx+c 的解集为 14如图，在
5、平面直角坐标系中，COD 可以看作是AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB 得到COD 的过程： 15“ 的估计”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，其过程如下：如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数 m 与正方形内的米粒数 n，并计算频率 ；在相同条件下，大量重复以上试验，当 显现出一定稳定性时，就可以估计出 的值为 请说出其中所蕴含的原理： 16下面是“作顶角为 120的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：ABC，AB AC， A120求作：ABC 的外接圆作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB
6、的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接BO；（3）以 O 为圆心， BO 为半径作OO 即为所求作的圆请回答：该尺规作图的依据是 三、解答题（本题共 68 分，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26-27 题，每小题 5 分，第 28 题 8 分）17小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程已知：如图，在ABC 和AB C中，AA，B B 求证：ABCA BC证明：在线段 AB上截取 ADAB，过点 D 作 DEB C，交 AC于点 E由此得到A DEAB CADEBBB ，
7、ADEBAA，ADEABC ABCABC小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作A DE 与 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作A DE 与 ；（3）最后，可证得ABCAB C18如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，对角线 AC 是O 的直径，AB2，ADB45求 O 半径的长19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，3），点 B（4，0），点C（0， 1）（1）以点 C 为中心，把ABC 逆时针旋转 90，画出旋转后的图形AB C；（2）在（1）中的条件下，点 A 经过的路径 的长为 （结果保留
8、）；写出点 B的坐标为 20图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m 时，水面宽 8m水面上升 3 米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种方法方法一 如图 1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当y3 时，求出此时自变量 x 的取值，即可解决这个问题方法二 如图 2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当 y 时，求出此时自变量 x 的取值，即可解决这个问题21有两盏节能灯，每一盏
9、能通电发亮的概率都是 50%，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y 2x3 与双曲线 交于 M（a，2），N（1， b）两点（1）求 k，a ，b 的值；（2）若 P 是 y 轴上一点，且MPN 的面积是 7，直接写出点 P 的坐标 23如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 CD 中点，点 P 在射线 AB 上，过点 P 作线段 AE 的垂线段，垂足为 F（1）求证：PAFAED；（2）连接 PE，若存在点 P 使PEF 与AED 相似，直接写出 PA 的长
10、 24如图，在ABC 中，C90，以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D，O 的切线DE 交 AC 于点 E（1）求证：E 是 AC 中点；（2）若 AB10，BC6，连接 CD，OE，交点为 F，求 OF 的长25ACB 中，C90，以点 A 为中心，分别将线段 AB，AC 逆时针旋转 60得到线段 AD，AE，连接 DE，延长 DE 交 CB 于点 F（1）如图 1，若B30，CFE 的度数为 ；（2）如图 2，当 30B60时，依题意补全图 2；猜想 CF 与 AC 的数量关系，并加以证明26如图，直线 AM 和 AN 相交于点 A，MAN30，在射线 AN 上取一点 B，使AB6c
11、m ，过点 B 作 BCAM 于点 C，D 是线段 AB 上的一个动点（不与点 B 重合），过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E（1）确定点 B 的位置，在线段 AB 上任取一点 D，根据题意，补全图形；（2）设 ADx cm，CE y cm，探究函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组对应值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5y/cm 5.2 4.4 3.8 3.5 8.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）建立平面直角坐标系 xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；结合画出的函数图象，解决问题
12、：当 AD 为 RtCDE 斜边 CE 上的中线时，AD 的长度约为 cm（结果保留一位小数）27已知抛物线 l1 与 l2 形状相同，开口方向不同，其中抛物线 l1：yax 28ax 交x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB6；抛物线 l2 与 l1 交于点 A 和点C（5， n）（1）求抛物线 l1，l 2 的表达式；（2）当 x 的取值范围是 时，抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线 MNy 轴，交 x 轴，l 1，l 2 分别相交于点 P（m ，0），M，N，当 1m7时，求线段 MN 的最大值28在平面直角坐标系 xOy 中
13、，点 A （0，6），点 B 在 x 轴的正半轴上若点 P，Q在线段 AB 上，且 PQ 为某个一边与 x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q 的“X 矩形”下图为点 P，Q 的“X 矩形 ”的示意图（1）若点 B（4，0），点 C 的横坐标为 2，则点 B，C 的“X 矩形”的面积为 （2）点 M，N 的“X 矩形”是正方形，当此正方形面积为 4，且点 M 到 y 轴的距离为 3 时，写出点 B 的坐标，点 N 的坐标及经过点 N 的反比例函数的表达式；当此正方形的对角线长度为 3，且半径为 r 的O 与它没有交点，直接写出 r 的取值范围 2017-2018 学年北京市朝阳区九年
14、级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是（ ）A3cm B3.5 cm C4cm D7.5cm【分析】根据圆的知识，连接两平行切线切点的线段就是直径【解答】解：此刻度尺的超始端值为 3.5cm，末端刻度为 7.5cm，所以圆的直径是：7.53.54cm，故选：C 【点评】本题考查了切线的性质，明确连接两切点之间线段就是圆的直径是本题的关键2下列事件中，随机事件是（ ）A任意画一个圆的内接四边形，其对角互补B现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式C从
15、分别写有数字 1，2，3 的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是 0D通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在 0以下【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【解答】解：A、是必然事件，故 A 不符合题意；B、是随机事件，故 B 符合题意；C、是不可能事件，故 C 不符合题意；D、是必然事件，故 D 不符合题意；故选：B【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件3下列图形中既是轴对称图形，又
16、是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合4小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理小楠决定自己也尝试一下，她找
17、了一根长100cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 O 并将其吊起来，在中点的左侧距离中点 25cm 处挂了一个重 1.6N 的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm 时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是（ ）A1.28N B1.6 N C2N D2.5N【分析】由题意得：物体的重量与力矩成反比，设：苹果的重量为 x 千克，则：251.620x，即可求解【解答】解：由题意得：物体的重量与力矩成反比，设：苹果的重量为 x 千克，则： 251.620x ，解得：x2（ N），故选：C 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问
18、题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式5如图，ABCABC，AD 和 AD分别是ABC 和AB C的高，若 AD2，A D3，则 ABC 与A B C的面积的比为（ ）A4：9 B9： 4 C2：3 D3：2【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论【解答】解：AD 和 A D分别是ABC 和AB C的高，若AD2，A D3，其相似比为 2：3，ABC 与AB C 的面积的比为 4：9；故选：A【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键6如图，AB 为 O 的直径，C，D 为 O 上的两点，若 AB14，B
19、C 7则BDC的度数是（ ）A15 B30 C45 D60【分析】只要证明OCB 是等边三角形，可得CDB COB 即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OCAB14，BC7，OB OCBC7，OCB 是等边三角形，COB60，CDB COB30，故选：B【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型7如图，在ABC 中，BAC90，ABAC 4，以点 C 为中心，把ABC 逆时针旋转 45，得到A BC，则图中阴影部分的面积为（ ）A2 B2 C4 D4【分析】根据阴影部分的面积是（扇形 CBB的面积CA B的面积）+（ABC
20、 的面积扇形 CAA的面积），代入数值解答即可【解答】解：在ABC 中，BAC90，ABAC 4，BC ，ACBACB45，阴影部分的面积 2 ，故选：B【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为 n，半径为 r 的扇形的面积为 S 8如图，一条抛物线与 x 轴相交于 M、N 两点（点 M 在点 N 的左侧），其顶点 P 在线段 AB 上移动若点 A、 B 的坐标分别为（2，3）、（1，3），点 N 的横坐标的最大值为 4，则点 M 的横坐标的最小值为（ ）A1 B 3 C5 D7【分析】根据顶点 P 在线段 AB 上移动，又知点 A、B 的坐标分别为（2，3）、（1，3），分别求出
21、对称轴过点 A 和 B 时的情况，即可判断出 M 点横坐标的最小值【解答】解：根据题意知，点 N 的横坐标的最大值为 4，此时对称轴过 B 点，点 N 的横坐标最大，此时的 M 点坐标为（2，0），当对称轴过 A 点时，点 M 的横坐标最小，此时的 N 点坐标为（1，0），M 点的坐标为（5，0），故点 M 的横坐标的最小值为5，故选：C 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于 x 轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，O 的半径为 3，则正六边
22、形 ABCDEF 的边长为 3 【分析】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，同时也是正六边形 ABCDEF 的边长【解答】解：正六边形 ABCDEF 内接于O，O 的半径为 3，而正六边形可以分成六个边长的正三角形，正多边形的半径即为正三角形的边长，正三角形的边长为 3，正六边形 ABCDEF 的边长为 3，故答案为：3【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题关键是根据正六边形可以分成六个边长的正三角形解答10如图，把ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转，得到 A BC，点 C 恰好在 BC上，旋转角为 ，则C的度数为 90 （用含 的式子
23、表示）【分析】根据旋转的性质可得 ACAC，CAC，CC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解【解答】解：ABC 绕着点 A 顺时针方向旋转 得到A B C，ACAC，CAC，CC，C （180）90 ，C 90 故答案为：90 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，旋转前后对应边相等，对应角相等11在反比例函数 的图象上有两点 A（x 1， y1），B（x 2，y 2），x1x 20，y 1y 2，则 m 的取值范围是 m 【分析】根据题意可得双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x的增大而减小，进而可得 32m0，再解即可【解答】解：x 1x 20 ，
24、y 1y 2，32m0，解得：m ，故答案为：m 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）反比例函数 y （k0）的图象是双曲线；（2）当 k0 ，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；（3）当 k0 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大12如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，PO 与 AB 相交于点C，PA6，APB60 ，则 OC 的长为 【分析】根据切线长定理易证 PAPB，则ABP 是等边三角形，PO 是APB 的平分线，利用三角
25、函数逐个求解即可【解答】解：连接 OAPA，PB 切O 于点 A，B，OAP90 ，APO APB 30，OA ，AOP60OC OA ，故答案为：【点评】本题考查了切线长定理以及三角函数，正确利用三角函数确定三角形的边的关系是关键13如图，双曲线 y 与抛物线 yax 2+bx+c 交于点 A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），由图象可得不等式组 0 +bx+c 的解集为 x 2x x 3 【分析】根据函数图象写出 x 轴上方且抛物线在双曲线上方部分的 x 的取值范围即可【解答】解：由图可知，x 2x x 3 时，0 ax 2+bx+c，所以，不等式组 0 ax
26、 2+bx+c 的解集是 x2xx 3故答案为：x 2x x 3【点评】本题考查了二次函数与不等式组，此类题目，准确识图，利用数形结合的思想求解更简便14如图，在平面直角坐标系中，COD 可以看作是AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB 得到COD 的过程： 以原点 O 为位似中心，位似比为 ，在原点 O 同侧将 AOB 缩小，再将得到的三角形沿 y 轴翻折得到 COD 【分析】根据位似和对称进行解答即可【解答】解：以原点 O 为位似中心，位似比为 ，在原点 O 同侧将AOB 缩小，再将得到的三角形沿 y 轴翻折得到 COD，故答案为：以原点 O 为位
27、似中心，位似比为 ，在原点 O 同侧将AOB 缩小，再将得到的三角形沿 y 轴翻折得到 COD【点评】考查了坐标与图形变化位似，对称，解题时需要注意：位似比和位似中心15“ 的估计”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，其过程如下：如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数 m 与正方形内的米粒数 n，并计算频率 ；在相同条件下，大量重复以上试验，当 显现出一定稳定性时，就可以估计出 的值为 请说出其中所蕴含的原理： 用频率估计概率 【分析】根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论【解答】解：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒
28、数 m 与正方形内的米粒数 n，并计算频率 ；在相同条件下，大量重复以上试验，当 显现出一定稳定性时，就可以估计出 的值为 其中所蕴含的原理是用频率估计概率故答案为：用频率估计概率【点评】本题主要考查用频率估计概率，根据几何概型的概率公式，进行估计是解决本题的关键，比较基础16下面是“作顶角为 120的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：ABC，AB AC， A120求作：ABC 的外接圆作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接BO；（3）以 O 为圆心， BO 为半径作OO 即为所求作的圆请回答：该尺规作图的依据是 四边形相等的四
29、边形是菱形、有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形、圆的定义 【分析】由作图知 ABOBOCAC 可判定四边形 ABOC 为菱形，根据BAC120知BAO CAO60，从而得 BAO CAO60，即OAB、OAC 为等边三角形，继而由 OBOAOC 可得所求作的圆【解答】解：如图，连接 OA、OC，由作图知 BABO 、OC OA，ABAC，ABOBOCAC ，四边形 ABOC 为菱形（四边形相等的四边形是菱形），又BAC120，BAO CAO60 ，则OAB、 OAC 为等边三角形（有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形），OB OA OC，点 A、B 、C 在以 O 为圆心、OB 为半
30、径的圆上（圆的定义），综上，该尺规作图的依据为：四边形相等的四边形是菱形、有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形、圆的定义【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及圆的定义三、解答题（本题共 68 分，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26-27 题，每小题 5 分，第 28 题 8 分）17小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程已知：如图，在ABC 和AB C中，AA，B B 求证：ABCA BC证明：在线段 AB上截取 AD
31、AB，过点 D 作 DEB C，交 AC于点 E由此得到A DEAB CADEBBB ，ADEBAA，ADEABC ABCABC小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ，可以判定所作A DE 与 A BC相似 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作A DE 与 ABC 全等 ；（3）最后，可证得ABCAB C【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可【解答】解：小明将证明的基本思路概括如下：（1）首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的
32、三角形与原三角形相似，可以判定所作ADE 与A BC相似；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作A DE 与ABC全等；（3）最后，可证得ABCAB C故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；A BC相似；ABC 全等【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟记平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似是解决问题的关键18如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，对角线 AC 是O 的直径，AB2，ADB45求 O 半径的长【分析】根据圆周角定理得ABC90，然后在 RtABC 利用勾股定理计算即可【解答】解：
33、AC 是O 的直径，ABC90，ADB45 ，ACBADB 45 ，AB2，BCAB2，AC ，O 半径的长为 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，3），点 B（4，0），点C（0， 1）（1）以点 C 为中心，把ABC 逆时针旋转 90，画出旋转后的图形AB C；（2）在（1）中的条件下，点 A 经过的路径 的长为 （结果保留 ）；写出点 B的坐标为 （1，3） 【分析】（1）根据旋转的定义作出点 A、B 绕
34、点 C 逆时针旋转 90得到的对应点，再顺次连接可得；（2）根据弧长公式列式计算即可；根据（1）中所作图形可得【解答】解：（1）如图所示，ABC 即为所求；（2）AC 5，ACA90，点 A 经过的路径 的长为 ，故答案为： ；由图知点 B的坐标为（1，3），故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及弧长公式20图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m 时，水面宽 8m水面上升 3 米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种方法方法一 如图 1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为 x 轴，建立平
35、面直角坐标系 xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 y x2+2x ；当 y3 时，求出此时自变量 x 的取值，即可解决这个问题方法二 如图 2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为 y x2 ；当 y 1 时，求出此时自变量 x 的取值，即可解决这个问题【分析】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为 ya（x 4） 2+4，将（0，0）代入求出 a 的值即可得；方法二：设抛物线解析式为 yax 2，将点（4， 4）代入求得 a 的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨 3m 后，即 y1 时
36、x 的值即可得【解答】解：方法一、根据题意知，抛物线与 x 轴的交点为（0，0）、（8，0），其顶点坐标为（4，4），设解析式为 ya（x 4） 2+4，将点（0，0）代入，得：16a+40，解得：a ，则抛物线解析式为 y （x4） 2+4 x2+2x，故答案为：y x2+2x；方法二：由题意知，抛物线过点（4，4），设抛物线解析式为 yax 2，将点（4，4）代入，得：16a4，解得：a ，所以抛物线解析式为 y x2，当 y1 时， x2 1，解得：x2 或 x2，则水面的宽减少了 844（m），故答案为：y x2， 1【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平
37、面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式21有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是 50%，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率【分析】（1）设两盏节能灯分别记为灯 1，灯 2，通过列表即可得到所有可能情况；（2）由（1）可知所有可能的结果，即可求出至少有一盏灯可以发亮的概率【解答】解：（1）列表如下：灯 1灯 2亮 不亮亮 （亮，亮） （亮，不亮）不亮 （亮，不亮） （不亮，不亮）（2）由（1）可知：所有可能出现的情况共有 4 种，它们出现的可能性相等，至少有一盏灯可以发亮的情况有 3 种，所有 P（至少
38、有一盏灯可以发亮） 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y 2x3 与双曲线 交于 M（a，2），N（1， b）两点（1）求 k，a ，b 的值；（2）若 P 是 y 轴上一点，且MPN 的面积是 7，直接写出点 P 的坐标 （0，1）或（0，7） 【分析】（1）把 M、N 两点的坐标分别代入直线的解析式，求得 a、b 的值，再把 N点坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值；（2）设直线 y2x
39、 3 与 y 轴交于点 C，把 x 0 代入 y2x3 求出 y 的值，确定出 C 点坐标，根据 SMPN S MPC +SCPN ，由已知的面积求出 PC 的长，进而求出点P 的坐标【解答】解：（1）直线 y2x 3 过点 M（a，2），N（1，b），2a32，b23，a2.5，b5双曲线 过点 N（1， 5），k5；（2）如图，设直线 y 2x3 与 y 轴交于点 Cy2x3，x0 时，y3，即 C（ 0，3），OC 3 根据题意得：S MPN S MPC +SCPN PC2.5+ PC17，解得：PC4，C（ 0，3），P（0，3+4）或（0， 34），即 P（0，1）或（ 0，7）故答
40、案为（0，1）或（0，7）【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键23如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 CD 中点，点 P 在射线 AB 上，过点 P 作线段 AE 的垂线段，垂足为 F（1）求证：PAFAED；（2）连接 PE，若存在点 P 使PEF 与AED 相似，直接写出 PA 的长 1 或 【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应
41、关系分情况考虑：当PEF EAD 时，则得到四边形 ADEP 为矩形，从而求得 x 的值；当PEF AED 时，再结合（ 1）中的结论，得到等腰 APE再根据等腰三角形的三线合一得到 F 是 AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解【解答】（1）证明：正方形 ABCD，CDAB ，D90AED PAF，又PFAE，PFA D90PFA ADE（2）解：情况 1，当EFPADE ，且PEFEAD 时，则有 PEAD四边形 ADEP 为矩形PAED1；情况 2，当PFEADE，且PEFAED 时，PAF AED，PEF PAFPEPAPFAE，点 F 为 AE 的中点AE ，AF ，P
42、FA ADE， ， ，PA满足条件的 PA 的值为 1 或 故答案为 1 或 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型24如图，在ABC 中，C90，以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D，O 的切线DE 交 AC 于点 E（1）求证：E 是 AC 中点；（2）若 AB10，BC6，连接 CD，OE，交点为 F，求 OF 的长【分析】（1）连接 CD，根据切线的性质，就可以证出 AADE，从而证明AECE；（2）求出 OD，根据直角三角形斜边上中线性质求出 DE，根据勾股定理求出 OE，根据三角形面积公式求 DF，根据勾股定理求出 OF 即可【解答】（1）证明：连接 CD，