1、2018-2019 学年湖北省黄石市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D2要使方程（a3）x 2+（b+1）x+ c0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）Aa0 Ba3Ca 1 且 b1 Da3 且 b1 且 c03如果将抛物线 yx 2+2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）Ay（x1） 2+2 By （x+1） 2+2 Cy x 2+1Dy x 2+34若
2、方程（x 5） 219 的两根为 a 和 b，且 ab，则下列结论中正确的是（ ）Aa 是 19 的算术平方根 Bb 是 19 的平方根Ca 5 是 19 的算术平方根 Db+5 是 19 的平方根5若一元二次方程 x22 xm0 无实数根，则一次函数 y（m+1）x+m1 的图象不经过第（ ）象限A四 B三 C二 D一6下面对于二次三项式x 2+4x5 的值的判断正确的是（ ）A恒大于 0 B恒小于 0 C不小于 0 D可能为 07当 a0，b0，c 0 时，下列图象有可能是抛物线 yax 2+bx+c 的是（ ）A BC D8如图，ABD 是等边三角形，以 AD 为边向外作 ADE ，使A
3、ED30，且AE3，DE 2，连接 BE，则 BE 的长为（ ）A4 B C5 D9抛物线 y x2mxm 2+1 的图象过原点，则 m 为（ ）A0 B1 C1 D110如图 1，在ABC 中，ABBC，ACm，D，E 分别是 AB，BC 边的中点，点 P为 AC 边上的一个动点，连接 PD，PB，PE 设 APx，图 1 中某条线段长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是（ ）APD BPB CPE DPC二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11函数 y 2（x +1）
4、 2+1，当 x 时，y 随 x 的增大而减小12已知关于 x 的方程 x2+3x+k20 的一个根是1，则 k 13如图，O 是ABC 的外接圆，ACO45，则B 的度数为 14一种药品原价每盒 25 元，两次降价后每盒 16 元设两次降价的百分率都为 x，可列方程 15如图，含有 30的直角三角板ABC，BAC90，C30，将ABC 绕着点 A 逆时针旋转，得到 AMN，使得点 B 落在 BC 边上的点 M 处，过点 N 的直线 lBC，则1 16已知四边形 ABCD，ABC45，CD90，含 30角（P30）的直角三角板 PMN（如图）在图中平移，直角边 MNBC ，顶点 M、N 分别在
5、边AD、BC 上，延长 NM 到点 Q，使 QMPB 若 BC10，CD 3，则当点 M 从点A 平移到点 D 的过程中，点 Q 的运动路径长为 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8 分）解下列一元二次方程（1）x 28x+10；（2）2x 2+13x18（7 分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共 1560 件，求九（2）班有多少个同学？19（7 分）已知抛物线的顶点为（4，8），并且经过点（6，4），试确定此抛物线的解析式并写出对称轴方程20（7 分）如图，A
6、B 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，如果AB20，CD16，求线段 OE 的长21（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m 220（1）若该方程有两个实数根，求 m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为 x1，x 2，且（x 1x 2） 2+m221，求 m 的值22（8 分）如图所示，把一个直角三角尺 ACB 绕着 30角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重合（1）三角尺旋转了多少度 度；（2）连接 CD，试判断CBD 的形状； （3）求BDC 的度数 度23（8 分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱 24 元，规定售价不低于
7、进价现在的售价为每箱 36 元，每月可销售 60 箱市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价 1元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱牛奶降价 x 元（x 为正整数），每月的销量为 y 箱（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？24（9 分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径（1）如图 1，损矩形 ABCD，ABCADC90 ，则该损矩形的直径是线段 （2）在线段 AC 上确定一点 P，使损矩形的四个顶点都在以 P 为圆心的同一圆上（即损矩形的四
8、个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹（3）如图 2，ABC 中，ABC90，以 AC 为一边向形外作菱形 ACEF，D 为菱形ACEF 的中心，连接 BD，当 BD 平分ABC 时，判断四边形 ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由若此时 AB3，BD ，求 BC 的长25（10 分）如图，抛物线 y x2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）判断ABC 的形状，证明你的结论；（3）点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD
9、的值最小时，求 m 的值2018-2019 学年湖北省黄石市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论【解答】解：A 是中心对称图形；B 既是轴对称图形又是中心对称图形；C 是轴对称图形；D 既不是轴对称图形又不是中心对称图形故选：B【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称
10、及中心对称图形的特点是解题的关键2要使方程（a3）x 2+（b+1）x+ c0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）Aa0 Ba3Ca 1 且 b1 Da3 且 b1 且 c0【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0【解答】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为 0 得，a30，a3故选B【点评】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a0 的条件当 a0 时，上面的方程就不是一元二次方程了，当 b0 或c0 时，上面的方程在 a0 的条件下，仍是一元二次方程
11、，只不过是不完全的一元二次方程3如果将抛物线 yx 2+2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）Ay（x1） 2+2 By （x+1） 2+2 Cy x 2+1Dy x 2+3【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案【解答】解：抛物线 yx 2+2 向下平移 1 个单位，抛物线的解析式为 y x2+21，即 yx 2+1故选：C 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a| 个单位长度纵坐标要减|a|4若方程（x 5） 219 的两根为 a 和 b，且 ab，则下列结论中正确的是（ ）Aa 是 19 的算术平方根 Bb 是 19 的平方根Ca 5 是 19
12、 的算术平方根 Db+5 是 19 的平方根【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择【解答】解：方程（x 5） 219 的两根为 a 和 b，a5 和 b5 是 19 的两个平方根，且互为相反数，ab，a5 是 19 的算术平方根，故选：C 【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根记为根号 a5若一元二次方程 x22 xm0 无实数根，则一次函数 y（m+1）x+m1 的图象不经过第（ ）象限A四 B三 C二 D一【分析】根据判别式的意义得到（2） 2+4m0，解得
13、 m1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数 y（m+1 ）x+m1 图象经过的象限【解答】解：一元二次方程 x22x m0 无实数根，0，44（m）4+4m0，m1，m+111，即 m+10，m111，即 m12，一次函数 y（m+1 ）x+m1 的图象不经过第一象限，故选：D【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一次函数图象与系数的关系6下面对于二次三项式x 2+4x5 的值的判断正确的是（ ）A恒大于 0 B恒小于 0 C不小于 0 D可能为 0【分析】
14、根据式子中含有 x2 和 4x 还有一个常数，因此我们易想到凑成完全平方公式，因此我们先提一个负号，凑成（x2） 2+1，这时候我们就容易观察到中括号里面恒大于零，因此总体上就恒小于零【解答】解：x 2+4x5（x 24x+5 ）（x2） 2+10，原式恒小于 0故选：B【点评】这道题比较灵活，需要分解常数来凑完全平方公式再去判断大小，同时我们需要在分解常数时候需要注意到前面的负号7当 a0，b0，c 0 时，下列图象有可能是抛物线 yax 2+bx+c 的是（ ）A BC D【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知【解答】解：a0，抛物线开口向上；b0，对称轴为 x 0，抛物线的对称轴位于
15、 y 轴右侧；c0，与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上故选：A【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系8如图，ABD 是等边三角形，以 AD 为边向外作 ADE ，使AED30，且AE3，DE 2，连接 BE，则 BE 的长为（ ）A4 B C5 D【分析】如图， ，作 EFAE，且 EFDE，连接AF、DF ；然后根据三角形全等的判定方法，判断出 ADFBDE ，所以BEAF ；最后在直角三角形 AEF 中，根据勾股定理，求出 AF 的长度，即可求出BE 的长为多少【解答】解：如图，作 EFAE，且 EFDE ，连接 AF、DF，因为AEF 90，所以DEF 903060 ，DEEF
16、，所以DEF 是等边三角形，所以EDF 60，ADFBDE，因为 ADBD，DEEF ， ADFBDE，所以BDE ADF，所以 BEAF 故选：B【点评】此题主要考查了全等三角形的判断方法和性质，以及等边三角形的特征、勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：BDEADF ，进而判断出 BE 的长等于 AF 的长9抛物线 y x2mxm 2+1 的图象过原点，则 m 为（ ）A0 B1 C1 D1【分析】把原点坐标代入抛物线 yx 2mxm 2+1，即可求出【解答】解：根据题意得：m 2+10，所以 m1故选：D【点评】此题考查了点与函数的关系，点在图象上，将点代入函数解析式即可求
17、得10如图 1，在ABC 中，ABBC，ACm，D，E 分别是 AB，BC 边的中点，点 P为 AC 边上的一个动点，连接 PD，PB，PE 设 APx，图 1 中某条线段长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是（ ）APD BPB CPE DPC【分析】观察图 2，确定 x 为何值取得最小值即可一一判断【解答】解：A 错误，观察图 2 可知 PD 在 x 取得最小值B、错误观察图 2 可知 PB 在 x 取得最小值C、正确观察图 2 可知 PE 在 x 取得最小值D、错误观察图 2 可知 PC 在 xm 取得最小值为 0故选：C 【点评】本题主要考查
18、了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11函数 y 2（x +1） 2+1，当 x 1 时，y 随 x 的增大而减小【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小【解答】解：函数的对称轴为 x1，又二次函数开口向上，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，x1 时， y 随 x 的增大而减小，故答案为：x 1【点评】本题考查了二次函数的性质，能
19、根据解析式推知函数图象是解题的关键，另外要能准确判断出函数的对称轴12已知关于 x 的方程 x2+3x+k20 的一个根是1，则 k 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立把 x1 代入原方程即可得 k 的值【解答】解：把 x1 代入方程 x2+3x+k20 可得 13+k 20，解得 k22，k故本题答案为 k 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义此题要注意，k22，k ，漏掉一个 k 的值是易错点13如图，O 是ABC 的外接圆，ACO45，则B 的度数为 45 【分析】先根据 OAOC，AC
20、O45可得出 OAC45，故可得出AOC 的度数，再由圆周角定理即可得出结论【解答】解：连接 OA，如图，ACO45，OAOC，ACOCAO45，AOC90，B45故答案为：45【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键14一种药品原价每盒 25 元，两次降价后每盒 16 元设两次降价的百分率都为 x，可列方程 25（1x） 216 【分析】由两次降价的百分率都为 x 结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解【解答】解：设两次降价的百分率都为 x，根据题意，得25（1x） 2 16故
21、答案为：25（1x ） 2 16【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键15如图，含有 30的直角三角板ABC，BAC90，C30，将ABC 绕着点 A 逆时针旋转，得到AMN，使得点 B 落在 BC 边上的点 M 处，过点 N 的直线 lBC，则1 30 【分析】首先根据直角的性质求出B60，利用旋转的性质求出 ABM 是等边三角形，进而求出NMC60，再利用平行线的性质得到1+ANMNMC，结合ANMC30 ，即可求出1 的度数【解答】解：BAC 中，BAC90，C30，B903060，ABC 绕着点 A 逆时针旋转，得到AMN，ABA
22、M，ABM 是等边三角形，AMB60，AMN60，CMN 180606060，lBC，1+ ANMNMC，ANMC30，1+30 60，130故答案为：30【点评】本题主要考查了旋转的性质的知识，解答本题的关键是求出NMC60，利用平行线的性质即可解题，此题难度不大16已知四边形 ABCD，ABC45，CD90，含 30角（P30）的直角三角板 PMN（如图）在图中平移，直角边 MNBC ，顶点 M、N 分别在边AD、BC 上，延长 NM 到点 Q，使 QMPB 若 BC10，CD 3，则当点 M 从点A 平移到点 D 的过程中，点 Q 的运动路径长为 7 【分析】当点 P 与 B 重合时，A
23、M AQ3 3，DMDQ103 ，易知点Q 的运动路径是 QMQ，AMQ ，MDQ都是等腰直角三角形，由此即可解决问题【解答】解：当点 P 与 B 重合时，AM AQ3 3，DMDQ103 ，易知点 Q 的运动路径是 QMQ，AMQ ，MDQ都是等腰直角三角形，QM +MQ （3 3）+ （103 ）7点 Q 的运动路径长点 P 的运动路径长 7 ，故答案为 7 【点评】本题考查平移变换、运动轨迹、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
24、17（8 分）解下列一元二次方程（1）x 28x+10；（2）2x 2+13x【分析】（1）利用配方法得到（x4） 215，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程【解答】解：（1）x 28 x1，x28x+1615，（x4） 215 ，x4 ，所以 x14+ ，x 24 ；（2）2x 23x+10，（2x1）（ x1）0，2x10 或 x10，所以 x1 ，x 21【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样
25、也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）18（7 分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共 1560 件，求九（2）班有多少个同学？【分析】设九（2）班有 x 个同学，则每个同学交换出（x 1）件小礼物，根据全班交换小礼物共 1560 件，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设九（2）班有 x 个同学，则每个同学交换出（x 1）件小礼物，根据题意得：x （x 1） 1560，解得：x 140 ，x 239（不合题意，舍去）答：九（2）班有 40 个同学【点评】本题考查了一元
26、二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键19（7 分）已知抛物线的顶点为（4，8），并且经过点（6，4），试确定此抛物线的解析式并写出对称轴方程【分析】根据题意可以设出该抛物线的顶点式，然后根据该抛物线过点（6，4），即可求得 a 的值，本题得以解决【解答】解：抛物线的顶点为（4，8），可设抛物线解析式为 ya（x 4） 28，将点（6，4）代入，得：4a84，解得：a1，则此抛物线的解析式为 y（x 4） 28x 28x+8，其对称轴方程为 x4【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，设出相应的函数解析式20（7 分）如图，AB 是O 的直
27、径，弦 CDAB，垂足为 E，如果AB20，CD16，求线段 OE 的长【分析】连接 OD，由直径 AB 与弦 CD 垂直，根据垂径定理得到 E 为 CD 的中点，由CD 的长求出 DE 的长，又由直径的长求出半径 OD 的长，在直角三角形 ODE 中，由 DE 及 OD 的长，利用勾股定理即可求出 OE 的长【解答】解：连接 OD，如图所示：弦 CDAB，AB 为圆 O 的直径，E 为 CD 的中点，又 CD16，CEDE CD8，又 OD AB10，CDAB ，OED 90，在 Rt ODE 中，DE8，OD10，根据勾股定理得：OE 2+DE2OD 2，OE 6，则 OE 的长度为 6【
28、点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题21（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m 220（1）若该方程有两个实数根，求 m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为 x1，x 2，且（x 1x 2） 2+m221，求 m 的值【分析】（1）利用判别式的意义得到（2m+1） 24（m 22）0，然后解不等式得到 m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到 x1+x2（2m+1），x 1x2m 22，再利用（x 1x 2）2+m2 2
29、1 得到（2m+1） 24（m 22）+m 221，接着解关于 m 的方程，然后利用（1）中 m 的范围确定 m 的值【解答】解：（1）根据题意得（2m+1） 24 （m 22）0，解得 m ，所以 m 的最小整数值为2；（2）根据题意得 x1+x2（2m+1），x 1x2m 22，（x 1x 2） 2+m221，（x 1+x2） 24x 1x2+m221，（2m+1） 24（m 22）+ m221，整理得 m2+4m120，解得 m12，m 26，m ，m 的值为 2【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1
30、x2 也考查了根的判别式22（8 分）如图所示，把一个直角三角尺 ACB 绕着 30角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重合（1）三角尺旋转了多少度 150 度；（2）连接 CD，试判断CBD 的形状； 等腰三角形 （3）求BDC 的度数 15 度【分析】根据等腰三角形的定义判断根据 30的直角三角形的性质及CBE180，通过角的和差关系进行计算【解答】解：（1）三角尺旋转的度数即为一条边旋转后与原边组成的角，三角尺的斜边 AB 旋转到 EB 后 AB 与 BE 所组成的角ABE180ABC18030150（2）图形旋转前后两图形全等，CBDB，故CBD 为等腰
31、三角形（3）三角形 CBD 中DBE 为CBA 旋转以后的角，DBE CBA30 ，故DBC180DBE18030150，又BCBD，BDCBCD 15【点评】此题根据等腰三角形的性质，即图形旋转后与原图形全等解答23（8 分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱 24 元，规定售价不低于进价现在的售价为每箱 36 元，每月可销售 60 箱市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价 1元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱牛奶降价 x 元（x 为正整数），每月的销量为 y 箱（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少
32、元？【分析】（1）根据价格每降低 1 元，平均每月多销售 10 箱，由每箱降价 x 元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；（2）由利润（售价成本）销售量列出函数关系式，求出最大值【解答】解：（1）根据题意，得：y60+10 x，由 36x24 得 x12，1x12，且 x 为整数；（2）设所获利润为 W，则 W（ 36x 24）（10 x+60）10x 2+60x+72010（x 3） 2+810，a0函数开口向下，有最大值，当 x3 时， W 取得最大值，最大值为 810，答：超市定价为 33 元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是 810 元【点评】本题主要考查二次函数的应用，由
33、利润（售价成本）销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键24（9 分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径（1）如图 1，损矩形 ABCD，ABCADC90 ，则该损矩形的直径是线段 AC （2）在线段 AC 上确定一点 P，使损矩形的四个顶点都在以 P 为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹（3）如图 2，ABC 中，ABC90，以 AC 为一边向形外作菱形 ACEF，D 为菱形ACEF 的中心，连接 BD，当 BD 平分
34、ABC 时，判断四边形 ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由若此时 AB3，BD ，求 BC 的长【分析】（1）根据题中给出的定义，由于DAB 和DCB 不是直角，因此 AC 就是损矩形的直径（2）根据直角三角形斜边上中线的特点可知：此点应是 AC 的中点，那么可作 AC 的垂直平分线与 AC 的交点就是四边形外接圆的圆心（3）本题可用面积法来求解，具体思路是用四边形 ABCD 面积的不同表示方法来求解，四边形 ABCD 的面积三角形 ABD 的面积+ 三角形 BCD 的面积三角形 ABC 的面积+三角形 ADC 的面积；三角形 ABD 的面积已知了 AB 的长，那么可过 D 作 AB 边
35、的高，那么这个高就应该是 BDsin45，以此可得出三角形 ABD 的面积；三角形BDC 的面积也可用同样的方法求解，只不过 AB 的长，换成了 BC；再看三角形ABC 的面积，已知了 AB 的长，可用含 BC 的式子表示出 ABC 的面积；而三角形ACD 的面积，可用正方形面积的四分之一来表示；而正方形的边长可在直角三角形ABC 中，用勾股定理求出因此可得出关于 BC 的方程，求解即可得出 BC 的值【解答】解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径因此 AC 是该损矩形的直径；（2）作图如图：点 P 为 AC 中点，PAPC ACABC
36、ADC90，BPDP AC，PAPBPCPD，点 A、B 、C、D 在以 P 为圆心， AC 为半径的同一个圆上；（3）菱形 ACEF，ADC90，AE2AD，CF2CD，四边形 ABCD 为损矩形，由（2）可知，点 A、B、C、D 在同一个圆上BD 平分 ABC，ABD CBD45 ， ，AD CD，四边形 ACEF 为正方形BD 平分 ABC，BD ，点 D 到 AB、BC 的距离 h 为 4，S ABD ABh2AB6，SABC ABBC BC，SBDC BCh2BC，S ACD S 正方形 ACEF AC2 （BC 2+9），S 四边形 ABCDS ABC +SADC S ABD +S
37、BCD BC+ （BC 2+9）6+2BCBC5 或 BC3（舍去），BC5【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，圆的内接四边形等知识点（3）中如果无法直接求出线段的长，可通过特殊的三角形用面积法来求解25（10 分）如图，抛物线 y x2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）判断ABC 的形状，证明你的结论；（3）点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD 的值最小时，求 m 的值【分析】（1）把 A 点的坐标代入抛物线解析式，求 b 的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式
38、，即可求出顶点坐标；（2）根据直角三角形的性质，推出 AC2OA 2+OC25，BC 2OC 2+OB220，即AC2+BC225 AB 2，即可确定ABC 是直角三角形；（3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C，则 C（0，2），OC 2连接 CD 交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求 m 的值【解答】解：（1）点 A（1，0）在抛物线 y x2+bx2 上， （1 ） 2+b（1）20，解得 b抛物线的解析式为 y x2 x2y x2 x2 （ x23x 4 ） （x ） 2 ，顶点 D 的坐标为
39、 （ ， ）（2）当 x0 时 y2， C （0，2），OC2当 y0 时， x2 x2 0，x 11，x 24，B （4，0）OA 1，OB4，AB 5AB 225，AC 2OA 2+OC25，BC 2OC 2+OB2 20，AC 2+BC2 AB2ABC 是直角三角形（3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C，则 C（0，2），OC 2，连接 CD 交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小解法一：设抛物线的对称轴交 x 轴于点 EED y 轴，OCM EDM ，COMDEMC OMDEM ，m 解法二：设直线 CD 的解析式为 ykx +n，则 ，解得： 当 y0 时， ， 【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形