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四省名校2018届高三第三次大联考理数试题(有答案)

1、12018 届四省名校高三第三次大联考试题理科数学第卷(共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1复数 满足 ( 为虚数单位) ,则 的虚部为( )ziz)1( zA B C D 2i21i212某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形,若该几何体的体积为 144 ,则 ( )2cmdA14 B13 C12 D11cmccmcm3设集合 ,则( )2|,20|xRxNxRMA B xN, M,C D0 x004 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题目:把 100 个面包分给 5 个人

2、,使每个人所得面包成等差数列,且较大的三份之和的 等于较小的两份之和,问最小的一份为( )71A B C D353106565对任意实数 ,有 ,若 ,则( )x 6210)( xaxaxa 2302aA2 B C D23986双曲线 的一条渐近线截圆 为弧长之比是 1:2 的两部分,则双曲线)0(12byx 042yx2的离心率为( )A B C2 D3237阅读如图所示的程序,若运行结果为 35,则程序中 的取值范围是( )aA B C D7,6(7,6)7,6)7,6(8设 ,则( )215,ln,23zyxA B C Dxyyxzxyz9设函数 , 为 的导函数,若函数 的)0)(3c

3、os()( f (f)f )()(xfg图象关于原点对称,则 ( )A B C D212212310近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷,无力偿还校园贷,跳楼自杀也偶有发生,一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况,对 城某大学的 10000S名(其中男生 6000 名,女生 4000 名)在校本科生,按性别采用分层抽样的方式抽取了 1000 名学生进行了问卷调查,其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计,通过整理得如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过 2000 元的女生有 150 人.根据上述数据和频率分布直方图,判

4、断下列说法正确的是( )参考数据与参考公式: .1305.7sin,258.01sin,73. 03A月消费金额超过 2000 元的女生人数少于男生人数 B所调查的同学中月消费金额不超过 500 元的共有 4 人 C样本数据的中位数约为 1750 元 D在犯错的概率不超过 0.1%的情况下认为月消费金额在 2000 元以上的大学生与性别有关11如图,已知抛物线 的焦点为 ,准线 与 轴交于 点,过点 的直线 与抛物线 相xyE4:2FlxKmE交于不同两点 ,且 ,连接 并延长准线 于 点,记 与 的面积为 ,BA,3|FBCAFBC21,S则 ( )21SA B C D7453210712设

5、函数 为自然常数), ,有下列命题:exf(xgln)( 有极小值 ;)(xff1 ,使得不等式 ( 为 的导函数)成立;,0 002)(xgxf)(gx若关于 的方程 无解,则 的取值范围为 ;x)(tft,e记 ,若 在 上有三个不同的极值点,则 的取值范围为 .)(xgF)(F)2,1(x)2,(e其中真命题的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4第卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13若变量 满足约束条件 , ,则 的最小值为 yx,05231yxyxz2z14设 为等比数列, 为其前 项和,若 ,则 nanS36a6S15已

6、知直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱) 各顶点都在同一球面上,且 ,1CBA 1ACB,若此球的表面积等于 ,则 012BAC2016如图,在 中,已知 , 为 上一点,且满足 ,若 的DB1PAmP94面积为 , ,则 的最小值为 .33|C三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17已知函数 .)sin3(cos2)(xxf(1)当 时,求 的值域;17,4x)f(2)在 中,若 ,求 的面积.ABCABCsin3si,1(BC18在如图所示的几何体中, 平面 ,四边形 为等腰梯形,EAD, , , , , .D/206EF/215(1)证明:

7、 ;CFAB(2)当二面角 的余弦值为 时,求线段 的长.DE10CF192018 年 6 月 14 日,第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜,每位球迷可从四支球队中选出一支球队,现有三人参与竞猜.(1)若三人中每个人可以选择任何一支球队,且选择每个球队都是等可能的,求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率;(2)若三人中有一名女球迷,假设女球迷选择德国队的概率为 ,男球迷选择德国队的概率为 ,记3152为三人中选择德国队的人数,求 的分布列和数学期望.20.如图,在平面直角坐标系中,已知点 ,过直线 : 左侧的动点 作

8、 于点 ,)0,1(Fl2xPlH的角平分线交 轴于点 ,且 ,记动点 的轨迹为曲线 .HPFxM|2|PH(1)求曲线 的方程;(2)过点 作直线 交曲线 于 两点,点 在 上,且 轴,试问:直线 是否恒过定点?mBA,Cl/BxAC请说明理由.21设函数 .)(1ln)1(Raxxf (1)当 时,求 的单调区间;af(2)若 对任意 恒成立,求实数 的取值范围;0)(xf ),x(3)当 时,试比较 与 的大小,并说明理由.2,ln(ta21)4t(22在极坐标系中,曲线 的极坐标方程化为 ,点 的极坐标为 ,以极点为坐标原点,Csin6P)4,2(极轴为 轴正半轴,建立平面直角坐标系.

9、x(1)求曲线 的直角坐标方程和点 的直角坐标;P6(2)过点 的直线 与曲线 相交于 两点,若 ,求 的值.PlCBA, |2|PB|A23.已知函数 , .|12|)(xaxf 156)(xg(1)当 时,解不等式 ;3a)(f(2)若对任意 ,都存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.25,1xRx2 )(21fa试卷答案一、选择题1-5:BCBAB 6-10:CACDD 11、12:CC二、填空题13 143 152 1634三、解答题17解:(1) )12(cossin2)( xxf71)62sin(x ,7,4 3x当 ,即 时, 取得最大值 3;266x)(xf当 ,即 时, 取

10、得最小值 ,故 的值域为 .34x127f1)(xf3,1(2)设 中角 所对的边分别为ABC, cba, ,)(f ,16sin ,即 ,B062B ,得 .23又 ,即 , ,即 ,CaAsin3siab3 3b由正弦定理得 ,解得BbAsini21si , ,306C .43213si21abSABC18.解:(1)由题知 平面 ,EABD平面 ,过点 作 于 点,在 中, , ,得 ,AHHRt06AB21HAB在 中,BC 3cos22CBA 2 且 ,AE 平面BCF又 平面8 .CFAB(2)以 为坐标原点, 分别为 轴,建立空间直角坐标系,AECB,zyx,设 ,)0(aAE则

11、 , , , ,,1B,),230(aF)0,231(D , , ,),0(aE),1(B),(aE),021(aDF设 为平面 的一个法向量,,zyxnEF则 ,令 得 , 023azyxBax)1,0(n同理可求得平面 的一个法向量 ,DEF),2(m,10|41|,cos| 22anm化简得 01542a解得 或二面角 为锐二面角,经验证 舍去,DEFB21a .1a作 于 点,则 为 中点,ACMAC .272919.解:(1)设恰好有两支球队被人选择为事件 ,由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支,有A种不同选择,34每种选择可能性相等,故恰好有两支球队被人选择有 种不同选择,24

12、3C所以 .1694)(32CAP由题知 ,且 ,,0256)3()0(P,18523)5()1(12, 47)(12CP 754)3(1)(2P 的分布列为 .157431522560)( E20、 (1)设 ,由题可知 ,),yxP|PFM所以 ,2|HF即 ,化简整理得 ,|)1(2xy12yx即曲线 的方程为 .12(2)由已知可得直线 的斜率不为 0,m可设直线 的方程为 ,nyx联立方程组 消去12得 , 恒成立,0)(2ny记 ,则 ,),(,21xBA),(2yC10则 ,1,21,2121 nyxyny直线 的斜率为 ,直线 的方程为 ,AC1xkAC)2(12xy即 ,)2

13、(211yxy又 ,21)(2)()(22121 ynyny直线 的方程为 ,AC)3(121 xx直线 过定点 .)0,23(N21.解:(1)当 时, ,a)(ln)(xxf,xfln)(设 )0(,g则 ,21)(x当 时, 单调递减,当 时, 单调递增, ,,0)(),1(x)(xg01)()(mingx , 在区间 上单调递增,无单调递减区间.)(ff),0((2) ,由(1)可知 在区间 上单调递增,axgax1ln )(x),则 ,即 在区间 上单调递增,且)(gx)(f),af21当 时, , 在区间 上单调递增,a0 满足条件;)1(fx当 时,设 ,则 ,2)1(lnxax

14、h 21)( xxh 在区间 上单调递增,且 ,)(xh),020aae 使得10ae0(x当 时, , 单调递减,即 时, ,不满足题意.),x)h)(f ),1(0x)1(f11综合上述,实数 的取值范围为 .a2,((3)由(2)可知,取 ,当 时, ,即 ,1x 0)1(ln)1(xxf 1lnx当 时, ,0 ,12ln1ln2xx又 ,tan)4ta(当 时, ;0)4tan()l(t2,10当 时, ;4tlta,ta当 时, ,21tn.)4a()ln(t122、 (1) ,即 ,si6sin62由 ,,coyx有 ,2曲线 的直角坐标方程为 ,C9)3(22yx点的直角坐标为

15、 .P)1,((2)设直线 的倾斜角为 ,l )0则直线 的参数方程是 ( 为参数) ,lsin1cotyxt将其代入 ,x62可得 ,04)si(co2tt记 为方程的两根,21,由 ,得 ,0),21t12 , 或 ,|2|PBA21t1t当 时, 或1t, 2,t ,3|21当 时,同理 ,2t2|AB .|AB23.解:(1)当 时, ,3a|12|3|)(xxf或 或621)(6)( xxxf 6x612)3(x解得 2即不等式解集为 .|(2) ,|1|2|12|)( axxaxf当且仅当 时,取等号,0) 的值域为)(xf|,|又 在区间 上单调递增,1256g23x25,1 ,即 的值域为 ,)()(fx)(g要满足条件,必有 ,|,|,a ,解得1|a02 的取值范围为 .,