1、期末复习(三) 轴对称, 01 本章结构图)轴 对 称 轴 对 称 轴 对 称 的 识 别 及 画 图关 于 坐 标 轴 对 称 的 点 的 坐 标 的 关 系 )线段 的 垂 直 平 分 线 的 性 质 与 判 定等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定等 边 三 角 形 的 性 质 与 判 定含 30角 的 Rt 的 性 质最 短 路 径 问 题 )02 重难点突破重难点 1 轴对称与轴对称图形【例 1】 (绵阳中考)下列图案中，轴对称图形是(D)1下列图案中，是轴对称图形的有(C)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2如图，ABC 与ABC 关于直线 l 对称，C30，则A 的度数为
2、 603如图，ABC 的顶点坐标分别为 A(4，6)，B(5，2)，C(2，1)，作出ABC 关于 y 轴对称的ABC，并写出点 A 的对应点 A的坐标解：如图，A(4，6)重难点 2 线段的垂直平分线【例 2】 已知，如图所示，在 RtABC 中，ACB90，D 是 AB 上一点，BDBC ，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E，CD 交 BE 于点 F.求证：BE 垂直平分 CD.【思路点拨】 先根据 HL 证明 RtEBC 与 RtEBD 全等，可得 EDEC，即点 E 在 CD 的垂直平分线上又由 BD BC 可知点 B 在 CD 的垂直平分线上最后根据两点确定一条直线得证 B
3、E 就是线段 CD 的垂直平分线证明：BDBC，点 B 在线段 CD 的垂直平分线上又ACB90，DEAB，EDBACB90.在 RtEBC 与 RtEBD 中， BE BE，BC BD， )Rt EBCRtEBD(HL)ECDE.点 E 在线段 CD 的垂直平分线上两点确定一条直线，BE 垂直平分 CD.【方法归纳】 证明某条直线垂直平分某条线段时，只要分别证明该直线上任意两点到该线段两端点的距离相等即可4如图，在 RtABC 中， C90，B30.AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，则下列结论不正确的是(B)AAEBEBACBECCEDEDCAEB5如图所示，
4、已知 AD 是BAC 的平分线，EF 垂直平分 AD，垂足是 E，交 BC 的延长线于 F，求证：BCAF.证明：AD 是BAC 的平分线，BADDAC.EF 垂直平分 AD，AFDF.DAF ADF.DAF DACADFBAD.BCAF.重难点 3 等腰三角形的性质与判定【例 3】 如图，在ABC 中，ABAC，AE 是 BC 边上的高，BD 是ABC 的平分线，与 AE 相交于点D，求证：点 D 在ACB 的平分线上【思路点拨】 连接 CD，可证明ABDACD ， ABDACD，由 BD 是ABC 的平分线，即可证明其结论证明：连接 CD.ABAC ，AE 是 BC 边上的高，BAECAE
5、.在BAD 和CAD 中， AB AC， BAE CAE，AD AD， )BADCAD.ABDACD.ABAC ，ABCACB.BD 是ABC 的平分线，ABD ABC.12ACD ACB.12点 D 在ACB 的平分线上【方法归纳】 等腰三角形“三线合一”的性质既涉及角相等，又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系增添了新的理论根据6如图：已知等边ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点，且 CECD ，DM BC ，垂足为 M，求证：M 是 BE 的中点证明：连接 BD.在等边ABC 中，D 是 AC 的中点，DBC ABC 6030，ACB 60.12 12CEC
6、D，CDEE.ACBCDEE，E30.DBCE30.BDED，BDE 为等腰三角形又DMBC， M 是 BE 的中点7(河北中考改编)如图，AOB 120，OP 平分AOB，且 OP2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上，当 M，N满足什么条件时，PMN 为等边三角形？解：当 OMON2 时，PMN 为等边三角形在 OA 上截取 OCOP 2.AOP 60 ，OCP 是等边三角形CP OP，OCPCPO60.MCOM 2，OMON2，CM ON.在MCP 和NOP 中，CMON，MCPNOP60，CPOP，MCPNOP(SAS)PM PN，MPCNPO.MPCMPONPO MPO，即CPO
7、MPN.MPN 60.PMN 是等边三角形03 备考集训一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1(北京中考)甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式 ，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是(D)A B C D2已知点 P(2，1)，那么点 P 关于 x 轴对称的点 P的坐标是 (B)A(2，1) B(2，1)C(1，2) D(2，1)3如图，ABC 与ABC 关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任一点，下列结论中错误的是(D)AAAP 是等腰三角形BMN 垂直平分 AA，CCCABC 与ABC面积相等D直线 AB、AB的交点不一定在 MN 上4(广安中考)等腰三角形的一边长为 6，另一边
8、长为 13， 则它的周长为(C)A25 B25 或 32C32 D195(十堰中考)如图，将ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合，已知 AC5 cm，ADC 的周长为 17 cm，则 BC 的长为(C)A7 cm B10 cm C12 cm D22 cm6(聊城中考)如图，点 P 是AOB 外的一点，点 M，N 分别是AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上若 PM2.5 cm，PN3 cm，MN4 cm，则线段 QR 的长为(A)A4.5 cm B5.5 cm C 6.5 cm
9、D7 cm7如图，A15，ABBC CDDE EF ，则DEF 等于(D)A90 B75 C70 D608如图，A，B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C 也在格点上，且ABC 为等腰三角形，满足条件的点 C 有 (D)A6 个 B7 个 C8 个 D9 个9如图，BD 是ABC 的角平分线，DE BC ，DE 交 AB 于 E，若 ABBC，则下列结论中错误的是(C)ABDAC BA EDA C2ADBC DBEED10如图，在ABC 中，AB20 cm，AC12 cm，点 P 从点 B 出发以每秒 3 cm 的速度向点 A 运动，点 Q 从点A 同时出发以每
10、秒 2 cm 的速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点时 ，另一个动点也随之停止运动，当APQ 是以 A 为顶角的等腰三角形时 ，运动的时间是( D)A2.5 秒 B3 秒C3.5 秒 D4 秒二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)11在ABC 中，AB AC，A100，则B40 12如图，ABC 与A 1B1C1 关于某条直线成轴对称， 则A 17513如图，在ABC 中，ABAC，点 E 在 CA 延长线上，EP BC 于点 P，交 AB 于点 F，若 AF2，BF 3，则 CE 的长度为 714如图，在等边ABC 中，AC9，点 O 在 AC 上，且 AO3，点 P 是 AB 上一
11、动点，连接 OP，以 O 为圆心，OP 长为半径画弧交 BC 于点 D，连接 PD，如果 POPD，那么 AP 的长是 615(江西中考)如图，在ABC 中，AB4，BC6，B60，将ABC 沿着射线 BC 的方向平移 2 个单位长度后，得到ABC，连接 AC，则ABC 的周长为 1216如图，点 P 是AOB 内部的一点，AOB 30， OP8 cm，M，N 是 OA，OB 上的两个动点，则MPN周长的最小值 8cm.三、解答题(共 52 分)17(10 分) 某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离
12、相等，以便及时进行监控？解：作法：如图所示，A，B，C 代替三个路口连接 AB，BC.分别作线段 AB，BC 的垂直平分线交于点 P.则点 P 就是所求作的点18(10 分) 如图，已知 RtABC 中，ACB 90，CDAB 于 D，BAC 的平分线分别交 BC、CD 于 E、F.试说明CEF 是等腰三角形解：ACB90，BBAC90.CDAB ，CADACD90.ACDB.AE 是BAC 的平分线，CAEEAB.EABBCEA， CAEACD CFE，CFECEF.CFCE.CEF 是等腰三角形19(10 分) 如图，点 A，B，C 在平面直角坐标系中的坐标分别为(5 ，5)，(3，2)，
13、(6 ，3)(1)作ABC 关于直线 l：x1 对称的A 1B1C1，点 A，B，C 的对称点分别是 A1，B 1，C 1；(2)点 A1 的坐标为 (3，5)，点 B1 的坐标为( 1，2)，点 C1 的坐标为( 4，3)解：如图所示20(10 分) 如图，已知ABC 是等边三角形，E，D，G 分别在 AB，BC，AC 边上，且 AEBDCG.连接AD，BG，CE，相交于 F，M，N.(1)求证：ADCE；(2)求DFC 的度数；(3)试判断FMN 的形状，并说明理由解：(1)证明：ABC 是等边三角形 ，BACABC60，ABAC.又AEBD，AECBDA(SAS)ADCE.(2)由(1)
14、知AECBDA，ACEBAD.DFC FACACE FACBAD60.(3)FMN 为等边三角形，由(2)知DFC 60，同理可求得AMG60，BNF60.FMN 是等边三角形21(12 分)(北京中考 )在等边ABC 中；(1)如图 1，P，Q 是 BC 边上两点，APAQ，BAP20，求AQB 的度数；(2)点 P，Q 是 BC 边上的两个动点(不与点 B，C 重合) ，点 P 在点 Q 的左侧，且 APAQ ，点 Q 关于直线 AC的对称点为 M，连接 AM，PM.依题意将图 2 补全；小茹通过观察、实验，提出猜想：在点 P，Q 运动的过程中，始终有 PAPM，小茹把这个猜想与同学们进行
15、交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1：要证 PAPM，只需证 APM 是等边三角形想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BNBP，要证 PAPM，只需证ANP PCM.请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PAPM(一种方法即可)解：(1)APAQ，APQAQP.APBAQC.又ABC 是等边三角形，BACB C60 .BAP CAQ. BAP 20，CAQ20.AQB CAQC 80.(2)如图利用想法 1 证明：首先根据(1)得到BAP CAQ ，然后由轴对称，得到CAQ CAM，进一步得到CAMBAP，根据BAC60，可以得到PAM 60，根据轴对称可知 AQAM，结合已知 APAQ，可知APM 是等边三角形，进而得到 PAPM.利用想法 2 证明：在 AB 上取一点 N，使 BNBP，连接 PN，CM.ABC 是等边三角形，B ACB 60，BABCAC.BPN 是等边三角形，ANPC，BPNP，BNP 60.ANP 120 .由轴对称知 CMCQ，ACMACB60，PCM120.由(1) 知，APB AQC，ABP ACQ(AAS)BPCQ. NPCM.ANPPCM(SAS)APPM.