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人教版数学八年级上册期末复习讲义(三)轴对称

1、期末复习(三) 轴对称, 01 本章结构图)轴 对 称 轴 对 称 轴 对 称 的 识 别 及 画 图关 于 坐 标 轴 对 称 的 点 的 坐 标 的 关 系 )线段 的 垂 直 平 分 线 的 性 质 与 判 定等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定等 边 三 角 形 的 性 质 与 判 定含 30角 的 Rt 的 性 质最 短 路 径 问 题 )02 重难点突破重难点 1 轴对称与轴对称图形【例 1】 (绵阳中考)下列图案中,轴对称图形是(D)1下列图案中,是轴对称图形的有(C)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2如图,ABC 与ABC 关于直线 l 对称,C30,则A 的度数为

2、 603如图,ABC 的顶点坐标分别为 A(4,6),B(5,2),C(2,1),作出ABC 关于 y 轴对称的ABC,并写出点 A 的对应点 A的坐标解:如图,A(4,6)重难点 2 线段的垂直平分线【例 2】 已知,如图所示,在 RtABC 中,ACB90,D 是 AB 上一点,BDBC ,过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E,CD 交 BE 于点 F.求证:BE 垂直平分 CD.【思路点拨】 先根据 HL 证明 RtEBC 与 RtEBD 全等,可得 EDEC,即点 E 在 CD 的垂直平分线上又由 BD BC 可知点 B 在 CD 的垂直平分线上最后根据两点确定一条直线得证 B

3、E 就是线段 CD 的垂直平分线证明:BDBC,点 B 在线段 CD 的垂直平分线上又ACB90,DEAB,EDBACB90.在 RtEBC 与 RtEBD 中, BE BE,BC BD, )Rt EBCRtEBD(HL)ECDE.点 E 在线段 CD 的垂直平分线上两点确定一条直线,BE 垂直平分 CD.【方法归纳】 证明某条直线垂直平分某条线段时,只要分别证明该直线上任意两点到该线段两端点的距离相等即可4如图,在 RtABC 中, C90,B30.AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交 BC 于点 E,则下列结论不正确的是(B)AAEBEBACBECCEDEDCAEB5如图所示,

4、已知 AD 是BAC 的平分线,EF 垂直平分 AD,垂足是 E,交 BC 的延长线于 F,求证:BCAF.证明:AD 是BAC 的平分线,BADDAC.EF 垂直平分 AD,AFDF.DAF ADF.DAF DACADFBAD.BCAF.重难点 3 等腰三角形的性质与判定【例 3】 如图,在ABC 中,ABAC,AE 是 BC 边上的高,BD 是ABC 的平分线,与 AE 相交于点D,求证:点 D 在ACB 的平分线上【思路点拨】 连接 CD,可证明ABDACD , ABDACD,由 BD 是ABC 的平分线,即可证明其结论证明:连接 CD.ABAC ,AE 是 BC 边上的高,BAECAE

5、.在BAD 和CAD 中, AB AC, BAE CAE,AD AD, )BADCAD.ABDACD.ABAC ,ABCACB.BD 是ABC 的平分线,ABD ABC.12ACD ACB.12点 D 在ACB 的平分线上【方法归纳】 等腰三角形“三线合一”的性质既涉及角相等,又涉及线段相等或垂直,为证明线段和角的关系增添了新的理论根据6如图:已知等边ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上的一点,且 CECD ,DM BC ,垂足为 M,求证:M 是 BE 的中点证明:连接 BD.在等边ABC 中,D 是 AC 的中点,DBC ABC 6030,ACB 60.12 12CEC

6、D,CDEE.ACBCDEE,E30.DBCE30.BDED,BDE 为等腰三角形又DMBC, M 是 BE 的中点7(河北中考改编)如图,AOB 120,OP 平分AOB,且 OP2.若点 M,N 分别在 OA,OB 上,当 M,N满足什么条件时,PMN 为等边三角形?解:当 OMON2 时,PMN 为等边三角形在 OA 上截取 OCOP 2.AOP 60 ,OCP 是等边三角形CP OP,OCPCPO60.MCOM 2,OMON2,CM ON.在MCP 和NOP 中,CMON,MCPNOP60,CPOP,MCPNOP(SAS)PM PN,MPCNPO.MPCMPONPO MPO,即CPO

7、MPN.MPN 60.PMN 是等边三角形03 备考集训一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1(北京中考)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式 ,下列甲骨文中,不是轴对称图形的是(D)A B C D2已知点 P(2,1),那么点 P 关于 x 轴对称的点 P的坐标是 (B)A(2,1) B(2,1)C(1,2) D(2,1)3如图,ABC 与ABC 关于直线 MN 对称,P 为 MN 上任一点,下列结论中错误的是(D)AAAP 是等腰三角形BMN 垂直平分 AA,CCCABC 与ABC面积相等D直线 AB、AB的交点不一定在 MN 上4(广安中考)等腰三角形的一边长为 6,另一边

8、长为 13, 则它的周长为(C)A25 B25 或 32C32 D195(十堰中考)如图,将ABC 沿直线 DE 折叠后,使得点 B 与点 A 重合,已知 AC5 cm,ADC 的周长为 17 cm,则 BC 的长为(C)A7 cm B10 cm C12 cm D22 cm6(聊城中考)如图,点 P 是AOB 外的一点,点 M,N 分别是AOB 两边上的点,点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上,点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上若 PM2.5 cm,PN3 cm,MN4 cm,则线段 QR 的长为(A)A4.5 cm B5.5 cm C 6.5 cm

9、D7 cm7如图,A15,ABBC CDDE EF ,则DEF 等于(D)A90 B75 C70 D608如图,A,B 两点在正方形网格的格点上,每个方格都是边长为 1 的正方形,点 C 也在格点上,且ABC 为等腰三角形,满足条件的点 C 有 (D)A6 个 B7 个 C8 个 D9 个9如图,BD 是ABC 的角平分线,DE BC ,DE 交 AB 于 E,若 ABBC,则下列结论中错误的是(C)ABDAC BA EDA C2ADBC DBEED10如图,在ABC 中,AB20 cm,AC12 cm,点 P 从点 B 出发以每秒 3 cm 的速度向点 A 运动,点 Q 从点A 同时出发以每

10、秒 2 cm 的速度向点 C 运动,其中一个动点到达端点时 ,另一个动点也随之停止运动,当APQ 是以 A 为顶角的等腰三角形时 ,运动的时间是( D)A2.5 秒 B3 秒C3.5 秒 D4 秒二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)11在ABC 中,AB AC,A100,则B40 12如图,ABC 与A 1B1C1 关于某条直线成轴对称, 则A 17513如图,在ABC 中,ABAC,点 E 在 CA 延长线上,EP BC 于点 P,交 AB 于点 F,若 AF2,BF 3,则 CE 的长度为 714如图,在等边ABC 中,AC9,点 O 在 AC 上,且 AO3,点 P 是 AB 上一

11、动点,连接 OP,以 O 为圆心,OP 长为半径画弧交 BC 于点 D,连接 PD,如果 POPD,那么 AP 的长是 615(江西中考)如图,在ABC 中,AB4,BC6,B60,将ABC 沿着射线 BC 的方向平移 2 个单位长度后,得到ABC,连接 AC,则ABC 的周长为 1216如图,点 P 是AOB 内部的一点,AOB 30, OP8 cm,M,N 是 OA,OB 上的两个动点,则MPN周长的最小值 8cm.三、解答题(共 52 分)17(10 分) 某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器如图,有三条两两相交的公路,你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离

12、相等,以便及时进行监控?解:作法:如图所示,A,B,C 代替三个路口连接 AB,BC.分别作线段 AB,BC 的垂直平分线交于点 P.则点 P 就是所求作的点18(10 分) 如图,已知 RtABC 中,ACB 90,CDAB 于 D,BAC 的平分线分别交 BC、CD 于 E、F.试说明CEF 是等腰三角形解:ACB90,BBAC90.CDAB ,CADACD90.ACDB.AE 是BAC 的平分线,CAEEAB.EABBCEA, CAEACD CFE,CFECEF.CFCE.CEF 是等腰三角形19(10 分) 如图,点 A,B,C 在平面直角坐标系中的坐标分别为(5 ,5),(3,2),

13、(6 ,3)(1)作ABC 关于直线 l:x1 对称的A 1B1C1,点 A,B,C 的对称点分别是 A1,B 1,C 1;(2)点 A1 的坐标为 (3,5),点 B1 的坐标为( 1,2),点 C1 的坐标为( 4,3)解:如图所示20(10 分) 如图,已知ABC 是等边三角形,E,D,G 分别在 AB,BC,AC 边上,且 AEBDCG.连接AD,BG,CE,相交于 F,M,N.(1)求证:ADCE;(2)求DFC 的度数;(3)试判断FMN 的形状,并说明理由解:(1)证明:ABC 是等边三角形 ,BACABC60,ABAC.又AEBD,AECBDA(SAS)ADCE.(2)由(1)

14、知AECBDA,ACEBAD.DFC FACACE FACBAD60.(3)FMN 为等边三角形,由(2)知DFC 60,同理可求得AMG60,BNF60.FMN 是等边三角形21(12 分)(北京中考 )在等边ABC 中;(1)如图 1,P,Q 是 BC 边上两点,APAQ,BAP20,求AQB 的度数;(2)点 P,Q 是 BC 边上的两个动点(不与点 B,C 重合) ,点 P 在点 Q 的左侧,且 APAQ ,点 Q 关于直线 AC的对称点为 M,连接 AM,PM.依题意将图 2 补全;小茹通过观察、实验,提出猜想:在点 P,Q 运动的过程中,始终有 PAPM,小茹把这个猜想与同学们进行

15、交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法 1:要证 PAPM,只需证 APM 是等边三角形想法 2:在 BA 上取一点 N,使得 BNBP,要证 PAPM,只需证ANP PCM.请你参考上面的想法,帮助小茹证明 PAPM(一种方法即可)解:(1)APAQ,APQAQP.APBAQC.又ABC 是等边三角形,BACB C60 .BAP CAQ. BAP 20,CAQ20.AQB CAQC 80.(2)如图利用想法 1 证明:首先根据(1)得到BAP CAQ ,然后由轴对称,得到CAQ CAM,进一步得到CAMBAP,根据BAC60,可以得到PAM 60,根据轴对称可知 AQAM,结合已知 APAQ,可知APM 是等边三角形,进而得到 PAPM.利用想法 2 证明:在 AB 上取一点 N,使 BNBP,连接 PN,CM.ABC 是等边三角形,B ACB 60,BABCAC.BPN 是等边三角形,ANPC,BPNP,BNP 60.ANP 120 .由轴对称知 CMCQ,ACMACB60,PCM120.由(1) 知,APB AQC,ABP ACQ(AAS)BPCQ. NPCM.ANPPCM(SAS)APPM.