1、第 1 页，共 16 页 2017-2018学年山西省吕梁市孝义市八年级（下）期中数学试卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（本大题共 10小题，共 30.0分） 1. 二次根式 3有意义的条件是（ ） A. a3 B. a0 C. a 13 D. a0 2. 下列计算正确的是（ ） A. 4+ 9=4+ 9 B. 322 = 3 C. 147=72 D. 243=23 3. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的对应边相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 4. 我国古代的数学家很早就
2、发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾投定理作理论的证明最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽赵爽创制了一幅 “ 勾股圆方图 ” ，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明后人称它为 “ 赵爽弦图 ” ， “ 赵爽弦图 ” 是赵爽在注解哪部著作中提到的？（ ） A. 几何原本 B. 九章算术 C. 周髀算经 D. 海岛算经 5. 如图， ABCD中， ABC和 BCD的平分线交于 AD边上一点 E，且 BE=4， CE=3，则 AB 的长是（ ） A. 52 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点 O，且AB=6， BC=8，
3、则 ABO的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 7. 我们先学习了平行四边形的性质定理和判定定理，再通过平行四边形边角的特殊化获得了特殊的平行四边形 -矩形、菱形和正方形根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A. 转化 B. 分类讨论 C. 数形结合 D. 由一般到特殊 8. 将矩形纸片 ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形 AECF若 AD=23，则菱形 AECF 的面积为（ ） 第 2 页，共 16 页 A. 163 B. 83 C. 43 D. 23 9. 如图，正方形 ABCD的连长为
4、4，点 E 在边 AB 上， AE=1，若点 P 为对角线 BD上的一个动点，则 PAE 周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图， ABC称为第 1 个三角形，它的周长是 1，以它的三边中点为顶点组成第 2 个三角形，再以第 2 个三角形的三边中点为顶点组成第 3 个三角形，以此类推，则第 2018个三角形的周长为（ ） A. 122019 B. 122018 C. 122017 D. 122016 二、填空题（本大题共 6小题，共 18.0分） 11. 若 y= 12+12 -6，则 xy=_ 12. 若一直角三角形两边长分别为 6 和 8，则斜边长为 _
5、 13. 用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 _ 14. 九章算术中的 “ 折竹抵地 ” 问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈 =10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 x尺，则可列方程 _ 15. 已知 x-1=6，则 x+1的值为 _ 16. 如图，在四边形 ABCD 中， ADC=ABC=90， AD=CD，DPAB于 P若四边形 ABCD的面积是 18，则 DP 的长是_ 第 3
6、 页，共 16 页 三、计算题（本大题共 1小题，共 10.0分） 17. 计算： （ 1）（ 613-0.5） -（ 18-27） （ 2）（ 2+5）（ 2-5） -（ 3-2） 2 四、解答题（本大题共 5小题，共 42.0分） 18. 请阅读下列材料： 问题：现有 5 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 ，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形 小东同学的做法是：设新正方形的边长为 x（ x 0），依题意，割补前后图形的面积相等，有 x2=5，解得 x=5，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形
7、组成的矩形对角线的长，于是，画出如图 所示的分割线，拼出如图 所示的新正方形请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 ，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图 中画出分割线，并在图 的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为 1）中用实线画出拼接成的新正方形（说明：直接画出图形，不要求写分析过程） 19. 已知，如图，在 ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长CD 至点 F，使得 BE=DF，连接 EF，与对角线 AC交于点 O，则线段 AC与 EF 有什么关系？请说明理由 第 4 页，共 16 页 20. 观察下列各式及其验证过程：
8、验证： 223=2+ 23； 验证： 223=233 =(232)+2221 = 2(221)+2221 =2+ 23； 验证： 338=3+ 38； 验证： 338=338 =(333)+3321 = 3(321)+3321 =3+ 38 （ 1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 415的变形结果并进行验证； （ 2）针对上述各式反映的规律，写出用 n（ n 为任意自然数，且 n2）表示的等式，并给出证明 21. 如图，某港口 P 位于南北方向的海岸线上，甲、乙两艘渔船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，若甲船每小时航行 12 海里，乙船每小时航行 16海里，它们离开港口 2
9、小时后分别位于点 Q、 R处，且相距 40 海里，如果知道甲船沿北偏东 75方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由 第 5 页，共 16 页 22. 综合与探究 问题情境： 在综合实践课上，李老师让同学们根据如下问题情境，写出两个数学结论：如图（ 1），正方形 ABCD的对角线交于点 O，点 O又是正方形 OEFG的一个顶点（正方形 OEFG的边长足够长），将正方形 OEFG绕点 O做旋转实验， OE 与 BC交于点 M， OG与 DC交于点 N “ 兴趣小组 ” 写出的两个数学结论是： SOMC+SONC=14S 正方形 ABCD； BM2+CM2=2OM2 问题解决： （ 1）请
10、你证明 “ 兴趣小组 ” 所写的两个结论的正确性 类比探究： （ 2）解决完 “ 兴趣小组 ” 的两个问题后，老师让同学们继续探究，再提出新的问题； “ 智慧小组 “ 提出的问题是：如图（ 2），将正方形 OEFG在图（ 1）的基础上旋转一定的角度，当 OE 与 CB 的延长线交于点 M， OG 与 DC的延长线交于点 N，则 “ 兴趣小组 ” 所写的两个结论是否仍然成立？请说明理由 第 6 页，共 16 页 答案和解析 1.【答案】 B 【解析】 解：由 题 意，得 3a0， 解得 a0， 故 选 ：B 根据被开方数是非 负 数，可得答案 本 题 考 查 了二次根式有意 义 的条件，利用被开
11、方数是非 负 数得出不等式是解题 关 键 2.【答案】 C 【解析】 解： ，故 选项 A错误 ， ，故 选项 B错误 ， ，故 选项 C 正确， ，故 选项 D错误 ， 故 选 ：C 根据各个 选项 中的式子可以 计 算出正确的 结 果，从而可以解答本 题 本 题 考 查 二次根式的混合运算，解答本 题 的关 键 是明确二次根式的混合运算的 计 算方法 3.【答案】 C 【解析】 解：两直 线 平行，同位角相等的逆命 题 是同位角相等，两直 线 平行，正确， A有逆定理； 全等三角形的 对应边 相等的逆命 题 是 对应边 相等的两个三角形全等，正确，B有逆定理； 全等三角形的 对应 角相等的
12、逆命 题 是 对应 角相等的两个三角形全等， 错误 ，C 没有逆定理； 在角的内部，到角的两 边 距离相等的点在角的平分 线 上的逆命 题 是角的平分第 7 页，共 16 页 线 上的点到角的两 边 距离相等，正确， D有逆定理； 故 选 ：C 写出各个定理的逆命 题 ，判断是否正确即可 本 题 考 查 的是命 题 的真假判断、逆定理的概念，正确的命 题 叫真命 题 ，错误的命 题 叫做假命 题 判断命 题 的真假关 键 是要熟悉 课 本中的性 质 定理 4.【答案】 C 【解析】 解：在周髀算 经 中 赵 爽提 过 ”“赵 爽弦 图 ”， 故 选 ：C 在周髀算 经 中 赵 爽提 过 ”“赵
13、 爽弦 图 ”； 本 题 考 查 勾股定理， 记 住 “赵 爽弦 图 ”是 赵 爽在周髀算 经 提到 过 5.【答案】 A 【解析】 解： 四 边 形 ABCD是平行四 边 形， ABC、BCD的角平分 线 的交点 E落在AD边 上， BEC= 180=90， BE=4，CE=3， BC= =5， ABE=EBC，AEB=EBC，DCE=ECB，DEC=ECB， ABE=AEB，DEC=DCE， AB=AE，DE=DC，即 AE=ED= AD= BC= ， 由 题 意可得： AB=CD，AD=BC， AB=AE= ， 故 选 ：A 根据平行四 边 形的性 质 可 证 明 BEC是直角三角形，利
14、用勾股定理可求出 BC的 长 ，利用角平分 线 的性 质 以及平行 线 的性 质 得出 ABE=AEB，DEC=DCE，进 而利用平行四 边 形 对边 相等 进 而得出答案 第 8 页，共 16 页 此 题 主要考 查 了平行四 边 形的性 质 以及平行 线 的性 质 和角平分 线 的性 质 ，勾股定理等知 识 ，正确把握平行四 边 形的性 质 是解 题 关 键 6.【答案】 A 【解析】 解： 四 边 形 ABCD是矩形， OA= AC，OB= BD，AC=BD，ABC=90， AC= =10，OA=OB， OA=OB= AC=5， ABO 的周 长 =OA+OB+AB=3+5+8=16；
15、故 选 ：A 由矩形的性 质 得出 OA=OB，由勾股定理求出 AC，得出 OA=OB= AC=5，即可求出 ABO 的周 长 本 题 考 查 了矩形的性 质 、勾股定理；熟 练 掌握矩形的性 质 ，由勾股定理求出AC 是解决 问题 的关 键 7.【答案】 D 【解析】 解： 这 种研究方法主要体 现 的数学思想是由一般到特殊 故 选 ：D 依据探究 过 程并 结 合 选项 可作出判断 本 题 主要考 查 的是正方形、矩形、菱形、平行四 边 形的性 质 ，读 懂 题 意是解 题的关 键 8.【答案】 B 【解析】 解：由翻折的性 质 得， DAF=OAF，OA=AD=2 ， 在菱形 AECF
16、中， OAF=OAE， OAE= 90=30， AE=AOcos30=2 =4， 第 9 页，共 16 页 菱形 AECF 的面 积 =AEAD=8 故 选 ：B 根据翻折的性 质 可得 DAF=OAF，OA=AD，再根据菱形的 对 角 线 平分一 组对 角可得 OAF=OAE，然后求出 OAE=30，然后解直角三角形求出 AE，再根据菱形的面 积 公式列式 计 算即可得解 本 题 考 查 了翻折 变换 的性 质 ，菱形的性 质 ，熟 记 翻折前后 图 形能 够 重合并求出 OAE=30是解 题 的关 键 9.【答案】 D 【解析】 解： 连 接 AC、CE，CE交 BD 于 P，连 接 AP
17、、PE， 四 边 形 ABCD是正方形， OA=OC，ACBD，即 A和 C 关于 BD对 称， AP=CP， 即 AP+PE=CE，此 时 AP+PE的 值 最小， 所以此 时 PAE周 长 的 值 最小， 正方形 ABCD的 连长为 4，点 E在 边 AB 上， AE=1， ABC=90，BE=4-1=3， 由勾股定理得： CE=5， PAE的周 长 的最小 值 是 AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6， 故 选 ：D 连 接 AC、CE，CE交 BD 于 P，此 时 AP+PE的 值 最小，求出 CE长 ，即可求出答案 本 题 考 查 了勾股定理， 轴对 称的性 质 ，正方形的性 质
18、 ，能找出符合的 P 点的位置是解此 题 的关 键 第 10 页，共 16 页 10.【答案】 C 【解析】 解：根据三角形中位 线 定理可得第 2个三角形的各 边长 都等于第 1个三角形各边 的一半， 第 1 个三角形的周 长 是 1， 第 2 个三角形的周 长 =第 1 个三角形的周 长 1 = ， 第 3 个三角形的周 长为 =第 2 个三角形的周 长 =（ ）2， 第 4 个三角形的周 长为 =第 3 个三角形的周 长 （ ）2 =（ ）3， 第 2018 个三角形的周 长 （ ）2017= 故 选 ：C 根据三角形的中位 线 等于第三 边 的一半可得中点三角形的周 长 等于原三角形的
19、周 长 的一半，然后根据指数的 变 化 规 律求解即可 本 题 考 查 了三角形的中位 线 平行于第三 边 并且等于第三 边 的一半，熟 记 定理并判断出后一个三角形的周 长 等于上一个三角形的周 长 的一半是解 题 的关键 11.【答案】 -3 【解析】 解：由 题 意可知： ， 解得： x= ， y=0+0-6=-6， xy=-3， 故答案 为 ：-3 根据二次根式有意 义 的条件即可求出 x与 y的 值 本 题 考 查 二次根式有意 义 的条件，解 题 的关 键 是正确理解二次根式有意 义 的条件，本 题 属于基 础题 型 第 11 页，共 16 页 12.【答案】 10 或 8 【解析
20、】 解：分两种情况： 当 8 是直角 边时 ，斜 边长 = =10； 当 8 是斜 边时 ，斜 边长 =8； 故答案 为 ：10 或 8 由于没有明确直角，所以 应 考 虑 两种情况： 8 是直角 边 或 8 是斜 边 根据勾股定理 进 行 计 算 本 题 考 查 了勾股定理；熟 练 掌握勾股定理，在解答此 题时 要 进 行分 类讨论 ，不要漏解 13.【答案】 对角线相等的平行四边形是矩形 【解析】 解： 先 测 量两 组对边 是否分 别 相等，可判定是否是平行四 边 形，然后 测 量两条 对角 线 是否相等可判定是否是矩形， 所以 这样 做的依据是： 对 角 线 相等的平行四 边 形是矩形
21、， 故答案 为 ：对 角 线 相等的平行四 边 形是矩形 根据矩形和平行四 边 形的判定方法填空即可 本 题 主要考 查 了矩形的定 义 和判定，牢 记 判定定理及定 义 是解答本 题 的关键 14.【答案】 x2+42=（ 10-x） 2 【解析】 解： 设 竹子折断 处 离地面 x尺， 则 斜 边为 （10-x）尺， 根据勾股定理得： x2+42=（10-x）2 故答案 为 x2+42=（10-x）2 竹子折断后 刚 好构成一直角三角形， 设 竹子折断 处 离地面 x尺， 则 斜 边为（10-x）尺，利用勾股定理解 题 即可 第 12 页，共 16 页 此 题 考 查 了勾股定理的 应 用
22、，解 题 的关 键 是利用 题 目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解 题 15.【答案】 10 【解析】 解： x- = ， （x- ）2=6 =6， =10， x = ， 故答案 为 ： 根据 x- = ，可以求得 的 值 ，进 而求得 的 值 ，从而可以求得所求式子的 值 本 题 考 查 分式的混合运算、完全平方公式，解答本 题 的关 键 是明确分式混合运算的 计 算方法 16.【答案】 32 【解析】 解：如 图 ，过 点 D作 DEDP 交 BC 的延 长线 于 E， ADC=ABC=90， 四 边 形 DPBE是矩形， CDE+CDP=90，ADC=90， ADP+CDP=90，
23、 ADP=CDE， DPAB， APD=90， APD=E=90， 在 ADP 和 CDE中， ， ADPCDE（AAS）， DE=DP，四 边 形 ABCD的面 积 =四 边 形 DPBE的面 积 =18， 第 13 页，共 16 页 矩形 DPBE是正方形， DP= =3 故答案 为 ：3 过 点 D作 DEDP 交 BC 的延 长线 于 E，先判断出四 边 形 DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出 ADP=CDE，再利用 “角角 边 ”证 明 ADP 和 CDE全等，根据全等三角形 对应边 相等可得 DE=DP，然后判断出四 边 形 DPBE是正方形，再根据正方形的面 积 公式解答即
24、可 本 题 考 查 了正方形的判定与性 质 ，全等三角形的判定与性 质 ，熟 记 各性 质 并作 辅 助 线 构造出全等三角形和正方形是解 题 的关 键 17.【答案】 解：（ 1）原式 =23-22 -24 +33 =53-324 ； （ 2）原式 =4-5-（ 3-43+4） =-1-7+43 =43-8 【解析】 （1）先把二次根式化 为 最 简 二次根式，然后去括号后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式 计 算 本 题 考 查 了二次根式的混合运算：先把二次根式化 为 最 简 二次根式，然后 进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能 结 合题 目特点，灵
25、活运用二次根式的性 质 ，选择 恰当的解 题 途径，往往能事半功倍 18.【答案】 解：所画图形如图所示 第 14 页，共 16 页 说明：图 1 与图 2 中所画图形正确各得（ 2 分）分割方法不唯一，正确者相应给分 【解析】 参考小 东 同学的做法，可得新正方形的 边长为 ，由此可知新正方形的 边长 等于三个小正方形 组 成的矩形 对 角 线 的 长 于是，画出分割 线 ，拼出新正方形即可 此 题 主要考 查对 正方形与三角形之 间 关系的灵活掌握 19.【答案】 证明：线段 AC与 EF 互相平分理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， AB=CD， OA=OC， BE=
26、DF， AB+BE=CD+DF，即 AE=CF， ABCD， AECF， E=F， OAE=OCF， 在 AOE 和 COF 中， = = = ， AOECOF（ ASA）， OE=OF 又 OA=OC， 线段 AC与 EF 互相平分 【解析】 由平行四 边 形的性 质 得出 ABCD，AB=CD，证 出 AE=CF，E=F，OAE=OCF，由 ASA证 明 AOECOF，即可得出 结论 本 题 考 查 了平行四 边 形的性 质 、全等三角形的判定与性 质 、平行 线 的性 质 ；熟练 掌握平行四 边 形的性 质 ，证 明三角形全等是解决 问题 的关 键 20.【答案】 解：（ 1） 4 41
27、5 = 4+ 415验证如下： 左边 =42415 =434+4421 =4(421)+4421 =4+ 415=右边， 故猜想正确； （ 2） 21 = + 21证明如下： 左边 =221=3+21 =(21)+21 =+ 21=右边 【解析】 第 15 页，共 16 页 （1）通 过观 察，不 难发现 ：等式的 变 形 过 程利用了二次根式的性 质 a=（a0），把根号外的移到根号内；再根据 “同分母的分式相加，分母不 变 ，分子相加 ”这 一法 则 的倒用来 进 行拆分，同 时 要注意因式分解 进 行 约 分，最后 结 果中的被开方数是两个数相加，两个加数分 别 是左 边 根号外的和根号
28、内的； （2）根据上述 变 形 过 程的 规 律，即可推广到一般表示左 边 的式子 时 ，注意根号外的和根号内的分子、分母之 间 的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去 1 此 题 是一个找 规 律的 题 目，主要考 查 了二次根式的性 质 观 察 时 ，既要注意观 察等式的左右两 边 的 联 系， 还 要注意右 边 必 须 是一种特殊形式 21.【答案】 解：由题意可得： APQ=75， PQ=122=24（海里）， PR=162=32（海里）， 在 PQR 中， PQ2+PR2=242+322=1600， QR2=402=1600， PQ2+PR2=QR2， PQ
29、R 是直角三角形，且 QPR=90， BPR=180-APQ-QRP=180-75-90=15， 乙船沿南偏东 15方向航行 【解析】 直接利用勾股定理逆定理得出 PQR是直角三角形， 进 而得出方向角 此 题 主要考 查 了勾股定理的 应 用以及方向角，正确得出 PQR是直角三角形是解 题 关 键 22.【答案】 解：（ 1） 正方形 ABCD的对角线相交于 O， SBOC=14S 正方形 ABCD， OB=OC， BOC=90， OBM=OCN， 四边形 OEFG 是正方形， MON=90， BOC-MOC=MON-MOC， BOM=COM， BOMCON， SBOM=SCON， SOMC
30、+SONC=SOMC+SBOM=14S 正方形 ABCD； 由 知， BOMCON， OM=ON， BM=CN， 在 RtMCN中， MN2=CM2+CN2=CM2+BM2， 第 16 页，共 16 页 在 RtMON中， MN2=OM2+ON2=2OM2， BM2+CM2=2OM2； （ 2）结论 不成立， 理由： 正方形 ABCD的对角线相交于 O， SBOC=14S 正方形 ABCD， OB=12BD， OC=12AC， AC=BD， ACBD， ABC=BCD=90， AC平分 BCD， BD平分 ABC， OB=OC， BOC=90， OBC=OCD=45， OBM=OCN=135，
31、 四边形 OEFG 是正方形， MON=90， BOM=CON， BOMCON， SBOM=SCON， SOMC-SBOM=SOMC-SCON=SBOC=14S 正方形 ABCD， 结论 不成立； 结论 成立，理由： 如图（ 2） 连接 MN， BOMCON， OM=ON， BM=CN， 在 RtMCN中， MN2=CM2+CN2=CM2+BM2， 在 RtMON中， MN2=OM2+ON2=2OM2， BM2+CM2=2OM2， 结论 成立 【解析】 （1）利用正方形的性 质 判断出 BOMCON，利用面 积 和差即可得出 结论 ； 先得出 OM=ON，BM=CN，再用勾股定理即可得出 结论 ； （2）同（ 1）的方法即可得出 结论 此 题 是四 边 形 综 合 题 ，主要考 查 了正方形的性 质 ，全等三角形的判定和性 质 ，勾股定理，等式的性 质 ，判断出 BOMCON 是解本 题 是关 键