1、2.4 用因式分解法求解 一元二次方程,第二章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.了解因式分解法的解题步骤,会用因式分解法解一元二次方程. （重点） 2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法.（难点）,学习目标,导入新课,情境引入,我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x5）=0的解吗？,问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等, 这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得,可得方程 x2 = 3x,由方程
2、 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0 因此 x1 = 0, x2 = 3. 所以这个数是0或3.,小颖的思路：,小明的思路：,方程 x2 = 3x 两边同时约去x, 得x = 3 .所以这个数是3.,讲授新课,小亮的思路：,由方程 x2 = 3x ,得x2 - 3x = 0即 x (x - 3) = 0 于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0.因此 x1 = 0 , x2 = 3所以这个数是0或3,小亮想：如果ab= 0,那么 a=0 或 b=0,问题：他们做得对吗？为什么？,要点归纳,因式分解法的概念,因式分解法的基本步骤,一移-方程的右边=0;,二分-方程的左边因式分解;,
3、三化-方程化为两个一元一次方程;,四解-写出方程两个解;,简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解,当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.,例1：解下列方程：（1）5x2 = 4x ; （2）x 2 = x (x - 2).,解：5x2 - 4x = 0,x (5x - 4) = 0.x = 0 或 5x 4 =0. x1 = 0 , x2= .,解：(x - 2) x (x - 2) = 0,(x - 2) (1 - x) = 0.x 2 = 0 或 1 x = 0. x1 = 2
4、 , x2=1.,（1）对于一元二次方程（x - p）（x - q）=0,那么它的两个实数根分 别为p，q. （2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个一元二次方程可以写成（x - p）(x - q )=0的形式.,拓展提升,解下列方程： （1）（2x + 3）2 = 4 (2x + 3) ; （2）(x - 2) 2 = (2x + 3) 2.,解：（2x + 3）2 - 4 (2x + 3) =0 ,(2x + 3) (2x + 3 - 4) = 0,(2x + 3) (2x - 1) = 0. 2x + 3 = 0 或 2x - 1 = 0.,解：（x - 2）2 - (2
5、x + 3) 2 =0, ( x -2+ 2x+ 3) (x -2 - 2x - 3)=0,(3x + 1)(x + 5) = 0. 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0.,典例精析,例2 用适当的方法解方程： （1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1；,分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.,分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = 1.解得, x 1= 0 , x2
6、=,（3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1；,分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快. 解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62,即 (x - 6)2 = 40.开平方,得解得 x1= , x2=,分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 解：化为一般形式3x2 - 4x + 1 = 0.=b2 - 4ac = 28 0,填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.,拓展提升,x2 + px + q = 0 （p2 - 4q 0）,(x+m)2n（n 0）,ax2 + bx +c = 0(a0 , b2
7、- 4ac0),(x + m) （x + n）0,1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.,要点归纳,解法选择基本思路,1.快速说出下列方程的解 （1）（4x - 1）(5x + 7) = 0; x1 =（ ）, x2= ( ). （2） (x - 2)(x - 3) = 0; x
8、1 =（ ）, x2 = ( ). （3）（2x + 3）(x - 4) = 0; x1 =（ ）, x2 = ( ). 2.将下面一元二次方程补充完整. （1）（2x- ）( x + 3) = 0; x1= , x2= - 3. （2） (x- )(3x - 4) = 0; x1= 2 , x2= . （3）（3x+_）(x + ) = 0; x1= , x2= -5.,5,1,2,-1,5,当堂练习,解：化为一般式为,因式分解，得,x22x+1 = 0.,( x1 )( x1 ) = 0.,有 x 1 = 0 或 x 1 = 0，,x1=x2=1.,解：因式分解，得,( 2x + 11 )( 2x 11 ) = 0.,有 2x + 11 = 0 或 2x 11= 0，,3.解方程：,5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径,解：设小圆形场地的半径为r，,根据题意 ( r + 5 )2=2r2.,因式分解，得,于是得,答：小圆形场地的半径是,课堂小结,因式分解法,概念,步骤,简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解,如果a b=0，那么a=0或b=0.,原理,将方程左边因式分解，右边=0.,因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 2ab+b2=(a b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).,