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7.5 第2课时《三角形的外角》课件

1、7.5 三角形内角和定理,第七章 平行线的证明,第2课时 三角形的外角,八年级数学北师版,学习目标,1.了解并掌握三角形的外角的定义(重点) 2.掌握三角形的外角的性质,利用外角的性质进行简单的证明和计算(难点),导入新课,复习引入,1.在ABC中,A=80, B=52,则C= .,3.什么是三角形的内角?其内角和等于多少?,48 ,三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角,,它们的和是180 .,2.如图,在ABC中, A=70, B=60,则ACB= ,ACD= .,50 ,130,B,D,C,A,O,40 ,70 ,?,问题:发现懒洋洋独自在O处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式,先从A前进到

2、C处,然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路,红太狼则直接在A处拦截懒洋洋,已知BAC=40 , ABC=70.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处?,利用“三角形的内角和为180”来求BCD,你会吗?,思考:像BCD这样的角有什么特征吗?猜想它的性质. 这节课让我们一起来探讨吧.,B,D,C,A,O,40 ,70 ,?,由三角形内角和易得BCA=180ACBA=70, 所以BCD=180BCA=110.,讲授新课,定义 如图,把ABC的一边BC延长,得到ACD,像这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.,ACD是ABC的一个外角,C,B,A,D,问题1 如图,延长AC

3、到E,BCE是不是ABC的一个外角?DCE是不是ABC的一个外角?,E,在三角形每个顶点处都有两个外角.,ACD 与BCE为对顶角,ACD =BCE;,BCE是ABC的一个外角,DCE不是ABC的一个外角.,问题2 如图,ACD与BCE有什么关系?在三角形的每个顶点处有多少个外角?,画一画 画出ABC的所有外角,共有几个呢?,每一个三角形都有6个外角每一个顶点相对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角.,三角形的外角应具备的条件:,角的顶点是三角形的顶点; 角的一边是三角形的一边; 另一边是三角形中一边的延长线.,ACD是ABC的一个外角,每一个三角形都有6个外角,总结归纳,F,A,B,C,D,

4、E,如图, BEC是哪个三角形的外角?AEC是哪个三角形的外角?EFD是哪个三角形的外角?,BEC是AEC的外角;,AEC是BEC的外角;,EFD是BEF和DCF的外角.,练一练,问题1 如图,ABC的外角BCD与其相邻的内角 ACB有什么关系?,BCD与ACB互补.,问题2 如图,ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(A,B)有什么关系?,A+B+ACB=180,BCD+ACB=180, A+B=BCD.,你能用作平行线的方法证明此结论吗?,D,证明:过C作CE平行于AB,,A,B,C,1= B, (两直线平行,同位角相等),2= A ,(两直线平行,内错角相等),ACD= 1+ 2= A+

5、 B.,已知:如图,ABC,求证:ACD=A+B.,验证结论,如图 ,试比较2 、1的大小;,如图 ,试比较3 、2、 1的大小.,图,图,解:2=1+B, 21.,解:2=1+B,3=2+D, 321.,拓展探究,性质1:三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和.,性质2:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.,三角形外角的性质:,B+C=CAD,CAD B, CAD C,归纳总结,练一练:说出下列图形中1和2的度数:,1=40 , 2=140 ,1=18 , 2=130 ,例1 如图,在ABC中,AD平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC.,典例精析,例题是运用了定理“内

6、错角相等,两直线平行”得到了证实.,证法一:EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),B=C (已知), C= EAC(等式的性质). AD平分 EAC(已知). DAC= EAC(角平分线的定义). DAC=C(等量代换). ADBC(内错角相等,两直线平行).,证法二:推理可得: DAC=C (已证), BAC+B+C =180(三角形内角和定理). BAC+B+DAC =180 (等量代换). ADBC(同旁内角互补,两直线平行).,这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.,例2 如图,P是ABC内一点,连接PB,PC.B= C. 求证:BPCA.

7、,证明:如图,延长BP,交AC于点D. BPC是PDC的一个外角(外角定义), BPCPDC(三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角). PDC是ABD的一个外角 (外角定义), PDCA (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). BPCA .(不等式的性质),A,B,C,P,D,还有其他证明方法吗?,1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定,C,2.如图所示,若A=32,B=45,C=38,则DFE等于( )A.120 B.115 C.110 D.105,B,练一练,例3 如图,A=42

8、,ABD=28,ACE=18,求BFC的度数., BEC是AEC的一个外角,, BEC= A+ ACE,,A=42 ,ACE=18,, BEC=60., BFC是BEF的一个外角,, BFC= ABD+ BEF,, ABD=28 ,BEC=60,, BFC=88.,解:,F,A,C,D,E,B,典例精析,例4 如图,P为ABC内一点,BPC150,ABP20,ACP30,求A的度数,解析:延长BP交AC于E或连接AP并延长,构造三角形的外角,再利用外角的性质即可求出A的度数,E,解:延长BP交AC于点E, 则BPC,PEC分别为PCE,ABE的外角, BPCPECPCE, PECABEA, P

9、ECBPCPCE15030120. APECABE12020100.,【变式题】 (一题多解)如图,A=51,B=20, C=30,求BDC的度数.,思路点拨:添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.,解法一:连接AD并延长于点E. 在ABD中,1+ABD=3, 在ACD中,2+ACD=4. 因为BDC=3+4,BAC=1+2, 所以BDC=BAC+ABD+ACD=51 +20+30=101.,E,),),1,2,),3,),4,你发现了什么结论?,E,),1,解法二:延长BD交AC于点E. 在ABE中,1=ABE+BAE, 在ECD中,BDC=1+ECD. 所以BDC =BAC+ABD

10、+ACD=51 +20+30=101.,解法三:连接延长CD交AB于点F(解题过程同解法二).,),2,F,例5 如图, BAE, CBF, ACD是ABC的三个外角,它们的和是多少?,解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得 BAE= 2+ 3, CBF= 1+ 3, ACD= 1+ 2. 又知1+ 2+ 3=180 , 所以BAE+ CBF+ ACD =2(1+ 2+ 3)=360 .,你还有其他解法吗?,解法二:如图,BAE+1=180 , CBF +2=180 , ACD +3=180 , 又知1+ 2+ 3=180 , + + 得 BAE+ CBF+ ACD +(1+

11、2+ 3)=540 , 所以BAE+ CBF+ ACD=540 -180=360.,解法三:过A作AM平行于BC,,3 4,B,C,1,2,3,A,2 BAM,,所以 1 2 3 1 4 BAM=360,2 3 4BAM,,结论:三角形的外角和等于360.,思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗?,D,E,F,当堂练习,1.判断下列命题的对错. (1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. ( ) (2)三角形的外角和等于它的内角和的2倍. ( ) (3)三角形的一个外角等于两个内角的和. ( ) (4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.( ) (5)三角形的一个外角大于任何

12、一个内角. ( ) (6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.( ),2.如图,AB/CD,A37, C63,那么F等于 ( ),F,A,B,E,C,D,A.26 B.63 C.37 D.60,A,3.(1)如图,BDC是_的外角,也是 的外角;(2)若B=45 , BAE=36 , BCE=20 ,试求AEC的度数.,A,B,C,D,ADE,ADC,解:根据三角形外角的性质有 ADC= B+ BCE, AEC= ADC+ BAE. 所以AEC= B+BCE+ BAE=45 +20 +36 =101 .,解:因为ADC是ABD的外角.,4 .如图,D是ABC的BC边上一点,B=BAD

13、, ADC=80,BAC=70,求: (1)B 的度数;(2)C的度数.,在ABC中,,B+BAC+C=180,,C=180-40-70=70.,所以ADC=B+BAD=80.,又因为B=BAD,,A,B,C,D,1,2,F,G,解:1是FBE的外角,1=B+ E,同理2=A+D.,在CFG中, C+1+2=180,A+ B+C+ D+E = 180.,5.如图,求A+ B+ C+ D+ E的度数.,能力提升:,B,A,C,P,N,M,D,E,F,6.如图,试求出ABCDEF =_.,360,课堂小结,三角形的外角,定义,角一边必须是三角形的一边,另一边必须是三角形另一边的延长线,性质,1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的外角和,三角形的外角和等于360 ,2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角,