1、7.5 三角形内角和定理,第七章 平行线的证明,第2课时 三角形的外角,八年级数学北师版,学习目标,1.了解并掌握三角形的外角的定义（重点） 2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算（难点）,导入新课,复习引入,1.在ABC中，A=80, B=52,则C= .,3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？,48 ,三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，,它们的和是180 .,2.如图，在ABC中， A=70, B=60,则ACB= ，ACD= .,50 ,130,B,D,C,A,O,40 ,70 ,？,问题：发现懒洋洋独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到
2、C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知BAC=40 ， ABC=70.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？,利用“三角形的内角和为180”来求BCD，你会吗？,思考：像BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 这节课让我们一起来探讨吧.,B,D,C,A,O,40 ,70 ,？,由三角形内角和易得BCA=180ACBA=70， 所以BCD=180BCA=110.,讲授新课,定义 如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.,ACD是ABC的一个外角,C,B,A,D,问题1 如图，延长AC
3、到E,BCE是不是ABC的一个外角？DCE是不是ABC的一个外角？,E,在三角形每个顶点处都有两个外角.,ACD 与BCE为对顶角，ACD =BCE；,BCE是ABC的一个外角，DCE不是ABC的一个外角.,问题2 如图，ACD与BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？,画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?,每一个三角形都有6个外角每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.,三角形的外角应具备的条件：,角的顶点是三角形的顶点； 角的一边是三角形的一边； 另一边是三角形中一边的延长线.,ACD是ABC的一个外角,每一个三角形都有6个外角,总结归纳,F,A,B,C,D,
4、E,如图, BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪个三角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？,BEC是AEC的外角;,AEC是BEC的外角;,EFD是BEF和DCF的外角.,练一练,问题1 如图，ABC的外角BCD与其相邻的内角 ACB有什么关系？,BCD与ACB互补.,问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(A，B)有什么关系？,A+B+ACB=180，BCD+ACB=180， A+B=BCD.,你能用作平行线的方法证明此结论吗？,D,证明：过C作CE平行于AB，,A,B,C,1= B， （两直线平行，同位角相等）,2= A ，（两直线平行，内错角相等）,ACD= 1+ 2= A+
5、 B.,已知：如图，ABC，求证：ACD=A+B.,验证结论,如图 ，试比较2 、1的大小；,如图 ，试比较3 、2、 1的大小.,图,图,解：2=1+B, 21.,解：2=1+B,3=2+D, 321.,拓展探究,性质1：三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和.,性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.,三角形外角的性质：,B+C=CAD,CAD B， CAD C,归纳总结,练一练：说出下列图形中1和2的度数：,1=40 , 2=140 ,1=18 , 2=130 ,例1 如图,在ABC中,AD平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC.,典例精析,例题是运用了定理“内
6、错角相等,两直线平行”得到了证实.,证法一:EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),B=C (已知), C= EAC(等式的性质). AD平分 EAC(已知). DAC= EAC(角平分线的定义). DAC=C(等量代换). ADBC(内错角相等,两直线平行).,证法二:推理可得: DAC=C (已证), BAC+B+C =180(三角形内角和定理). BAC+B+DAC =180 (等量代换). ADBC(同旁内角互补,两直线平行).,这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.,例2 如图,P是ABC内一点，连接PB，PC.B= C. 求证:BPCA.
7、,证明:如图，延长BP，交AC于点D. BPC是PDC的一个外角(外角定义), BPCPDC(三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角). PDC是ABD的一个外角 (外角定义), PDCA (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). BPCA .（不等式的性质）,A,B,C,P,D,还有其他证明方法吗？,1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定,C,2.如图所示,若A=32,B=45,C=38,则DFE等于( )A.120 B.115 C.110 D.105,B,练一练,例3 如图,A=42
8、,ABD=28,ACE=18,求BFC的度数., BEC是AEC的一个外角，, BEC= A+ ACE，,A=42 ，ACE=18，, BEC=60., BFC是BEF的一个外角，, BFC= ABD+ BEF，, ABD=28 ，BEC=60，, BFC=88.,解：,F,A,C,D,E,B,典例精析,例4 如图，P为ABC内一点，BPC150，ABP20，ACP30，求A的度数,解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出A的度数,E,解：延长BP交AC于点E， 则BPC，PEC分别为PCE，ABE的外角， BPCPECPCE， PECABEA， P
9、ECBPCPCE15030120. APECABE12020100.,【变式题】 (一题多解)如图，A=51，B=20， C=30，求BDC的度数.,思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.,解法一：连接AD并延长于点E. 在ABD中，1+ABD=3， 在ACD中，2+ACD=4. 因为BDC=3+4，BAC=1+2， 所以BDC=BAC+ABD+ACD=51 +20+30=101.,E,),),1,2,),3,),4,你发现了什么结论？,E,),1,解法二：延长BD交AC于点E. 在ABE中，1=ABE+BAE， 在ECD中，BDC=1+ECD. 所以BDC =BAC+ABD
10、+ACD=51 +20+30=101.,解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.,),2,F,例5 如图， BAE, CBF, ACD是ABC的三个外角，它们的和是多少？,解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 BAE= 2+ 3， CBF= 1+ 3, ACD= 1+ 2. 又知1+ 2+ 3=180 ， 所以BAE+ CBF+ ACD =2(1+ 2+ 3)=360 .,你还有其他解法吗？,解法二：如图，BAE+1=180 ， CBF +2=180 ， ACD +3=180 ， 又知1+ 2+ 3=180 ， + + 得 BAE+ CBF+ ACD +(1+
11、2+ 3)=540 ， 所以BAE+ CBF+ ACD=540 -180=360.,解法三：过A作AM平行于BC，,3 4,B,C,1,2,3,A,2 BAM，,所以 1 2 3 1 4 BAM=360,2 3 4BAM，,结论：三角形的外角和等于360.,思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？,D,E,F,当堂练习,1.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何
12、一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）,2.如图，AB/CD，A37, C63，那么F等于 （ ）,F,A,B,E,C,D,A.26 B.63 C.37 D.60,A,3.（1）如图，BDC是_的外角,也是 的外角；(2)若B=45 ， BAE=36 , BCE=20 ,试求AEC的度数.,A,B,C,D,ADE,ADC,解：根据三角形外角的性质有 ADC= B+ BCE, AEC= ADC+ BAE. 所以AEC= B+BCE+ BAE=45 +20 +36 =101 .,解：因为ADC是ABD的外角.,4 .如图，D是ABC的BC边上一点,B=BAD
13、, ADC=80，BAC=70，求： （1）B 的度数；（2）C的度数.,在ABC中，,B+BAC+C=180，,C=180-40-70=70.,所以ADC=B+BAD=80.,又因为B=BAD，,A,B,C,D,1,2,F,G,解：1是FBE的外角,1=B+ E,同理2=A+D.,在CFG中, C+1+2=180,A+ B+C+ D+E = 180.,5.如图，求A+ B+ C+ D+ E的度数.,能力提升：,B,A,C,P,N,M,D,E,F,6.如图，试求出ABCDEF =_.,360,课堂小结,三角形的外角,定义,角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线,性质,1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的外角和,三角形的外角和等于360 ,2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角,