1、,第21章：一元二次方程,人教版九年级上册,21.2 解一元二次方程,21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系,1.一元二次方程的解法,2.求根公式,一、知识回顾,学习目标：1.理解并掌握根与系数关系：x1 + x2 = - , x1 x2 = 2.会用根的判别式及根与系数关系解题.,二、目标展示,问题：你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2，与x1 x2系数有什么规律？猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2,2 1,3,2,-1 3,2,-3,1 4,5,4,三、导入新课,-2,x1+ x2，x1x2与系数有什么规律?,如果一元二次方程ax2+bx+c=
2、0（a、b、c是常数且a0） 的两根为x1、x2，则： x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系.,探究新知：,任何一个一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么x1 + x2= , x1 x2=,-,（韦达定理）,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,例1、不解方程，求下列方程两根的和与积.,例题讲解：,在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；在使用x1+x2= 时，注意“ ”不要漏写.,例2、设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.,关于两根几种常见的求值,例3、求一个一元二次
3、方程，使它的两个根是2和3，且二 次项系数为1.变式：且二次项系数为5,例4、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）,且关于y的方程的两根分别是关于方程（1）的两根,的平方.,求关于y的方程.,的倒数.,的相反数.,比,都大2.,例5、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2。你知道原来的方程是什么吗？,1.甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。则这个一元二次方程为_,x2-5x+6=0,课堂练习：,2、如果1是方程的一个根，2x2-x+m=0则另一
4、个根是_ =_。,（还有其他解法吗？),-3,3、已知3是方程 x2-mx-3=0的一根，求m及另一根.,例7、方程x2+px+q=0 的两根同为正数，求p、q的取值范围.,四、求方程中的待定系数,4、方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围.,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,一正根，一负根,0 X1X20,两个正根,0 X1X20 X1+X20,两个负根,0 X1X20 X1+X20,5、 已知方程 的两个实数根是 且 求k的值。,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,1、一元二次方程根与系数的关系？,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,课堂小结与反思
5、：,（1）教材p16练习.（2）教材p17习题第7题,布置作业：,已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是,解法(一):设两数分别为x,y则:,解得:,x=2y=1,或,x1 y=2,解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:,求得,两数为2,*已知两个数的和与积，求两数,*求未知系数的取值范围,*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根.(2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?,分析:,(1)列出的代数式,证其恒大于零 (2)(x1-1)(x2-1)0方程总有两个不相等的实数根,(2)由题意得:,解得:,
6、当 时方程的一根大于1,另一根小于1,练习,返回,练习:,*1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根? *2.已知:x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根,问x1,x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由.,返回,*题9 在ABC中a,b,c分别为A, B,C的对边,且c= ,若关于x的方程有两个相等的实数根,又方程的两实数根的平方和为6,求ABC的面积.,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,