1、第二十三章 旋转231 图形的旋转1了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题2通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题3旋转的基本性质重点旋转及对应点的有关概念及其应用难点旋转的基本性质一、复习引入(学生活动) 请同学们完成下面各题1将如图所示的四边形 ABCD 平移，使点 B 的对应点为点 D，作出平移后的图形2如图，已知ABC 和直线 l，请你画出ABC 关于 l 的对称图形ABC.3圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？(口述)老师点评并总结：(1)平移的有关概念及性质
2、(2)如何画一个图形关于一条直线( 对称轴)的对称图形并口述它具有的一些性质(3)什么叫轴对称图形？二、探索新知我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究1请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋转围绕什么点呢？从现在到下课时针转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？(口答)老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时钟的中心从现在到下课时针转了_度，分针转了_度，秒针转了_度2再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动如何转到新的位置？(老师点评略)3第 1，2 两题有什么共同特点呢？共同特点是如果我们把时钟、风车风轮
3、当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度像这样，把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点下面我们来运用这些概念来解决一些问题例 1 如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB，它绕 O 点按顺时针方向旋转得到OEF，在这个旋转过程中：(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？(2)经过旋转，点 A，B 分别移动到什么位置？解：(1)旋转中心是 O，AOE，BOF 等都是旋转角(2)经过旋转，点 A 和点 B 分别移动到点 E 和点 F 的位置自主探究：请
4、看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点 O 作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(ABC)，然后围绕旋转中心 O 转动硬纸板 ，在黑板上再描出这个挖掉的三角形( ABC) ，移去硬纸板(分组讨论) 根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)1线段 OA 与 OA，OB 与 OB，OC 与 OC有什么关系？2AOA，BOB，COC有什么关系？3ABC 与ABC 的形状和大小有什么关系？老师点评：1.OAOA，OBOB，OCOC，也就是对应点到旋转中心的距离相等2AOABOBCOC，我们把这三个相等的角 ，即对应点与旋转中心所连线段的
5、夹角称为旋转角3ABC 和ABC 形状相同和大小相等，即全等综合以上的实验操作得出：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等例 2 如图，ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D，试确定顶点 B 的对应点的位置，以及旋转后的三角形分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即BCBACD ， 又由对应点到旋转中心的距离相等，即 CBCB ，就可确定 B的位置，如图所示解：(1)连接 CD；(2)以 CB 为一边作BCE，使得 BCE ACD；(
6、3)在射线 CE 上截取 CBCB，则 B即为所求的 B 的对应点；(4)连接 DB，则DBC 就是ABC 绕 C 点旋转后的图形三、课堂小结(学生总结，老师点评)本节课应掌握：1对应点到旋转中心的距离相等；2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3旋转前、后的图形全等及其它们的应用四、作业布置教材第 6263 页 习题 4，5，6.232 中心对称232.1 中心对称1正确认识什么是中心对称、对称中心，理解关于中心对称图形的性质特点2能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形重点中心对称的概念及性质难点中心对称性质的推导及理解复习引入问题：作出下图的两个图形绕点 O
7、旋转 180后的图案，并回答下列的问题：1以 O 为旋转中心，旋转 180后两个图形是否重合？2各对应点绕 O 旋转 180后，这三点是否在一条直线上？老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕 O 旋转 180后都是重合的，即甲图与乙图重合，OAB 与COD 重合像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点探索新知(老师)在黑板上画一个三角形 ABC，分两种情况作两个图形：(1)作ABC 一顶点为对称中心的对称图形；(2)作关于一定点 O 为对称中心的对称图形第一步
8、，画出ABC.第二步，以ABC 的 C 点( 或 O 点)为中心，旋转 180画出 ABC 和ABC，如图(1)和图(2)所示从图(1)中可以得出ABC 与 ABC 是全等三角形；分别连接对称点 AA，BB ，CC，点 O 在这些线段上且 O 平分这些线段下面，我们就以图(2)为例来证明这两个结论证明：(1)在ABC 和ABC中，OAOA ，OBOB ，AOBAOB，AOB AOB，AB AB，同理可证：ACAC，BC BC ，ABCAB C；(2)点 A是点 A 绕点 O 旋转 180后得到的，即线段 OA 绕点 O 旋转 180得到线段OA，所以点 O 在线段 AA上，且 OAOA ，即点
9、 O 是线段 AA的中点同样地，点 O 也在线段 BB和 CC上，且 OBOB ，OCOC，即点 O 是 BB和 CC的中点因此，我们就得到1关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分2关于中心对称的两个图形是全等图形例题精讲例 1 如图，已知ABC 和点 O，画出DEF，使DEF 和ABC 关于点 O 成中心对称分析：中心对称就是旋转 180，关于点 O 成中心对称就是绕 O 旋转 180，因此，我们连 AO，BO，CO 并延长，取与它们相等的线段即可得到解：(1)连接 AO 并延长 AO 到 D，使 ODOA，于是得到点 A 的对称点 D，如图所示(2)同样
10、画出点 B 和点 C 的对称点 E 和 F.(3)顺次连接 DE，EF，FD ， 则DEF 即为所求的三角形例 2 (学生练习，老师点评)如图，已知四边形 ABCD 和点 O，画四边形 ABCD，使四边形 ABCD和四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称 (只保留作图痕迹，不要求写出作法)课堂小结(学生总结，老师点评 )本节课应掌握：中心对称的两条基本性质：1关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；2关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用作业布置教材第 66 页 练习23.2.2 中心对称图形了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握
11、这两个概念的应用复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其他的运用重点中心对称图形的有关概念及其它们的运用难点区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形一、复习引入1(老师口问)口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？(老师口述) ：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心 ，而且被对称中心所平分关于中心对称的两个图形是全等图形2(学生活动)作图题(1)作出线段 AO 关于 O 点的对称图形，如图所示(2)作出三角形 AOB 关于 O 点的对称图形，如图所示延长 AO 使 OCAO，延长 BO 使 ODBO，连接 CD， 则COD
12、即为所求，如图所示二、探索新知从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段 AB 绕它的中点旋转 180，因为OAOB ，所以，就是线段 AB 绕它的中点旋转 180后与它本身重合上面的(2)题，连接 AD，BC，则刚才的关于中心 O 对称的两个图形就成了平行四边形，如图所示AOOC，BOOD，AOBCODAOBCODABCD也就是，ABCD 绕它的两条对角线交点 O 旋转 180后与它本身重合因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心(学生活动) 例 1 从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外
13、 ，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形老师点评：老师边提问学生边解答的特点(学生活动) 例 2 请说出中心对称图形具有什么特点？老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点例 3 求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分证明：如图，O 是四边形 ABCD 的对称中心，根据中心对称性质，线段 AC，BD 必过点 O，且 AOCO，BODO ，即四边形 ABCD 的对角线互相平分，因此，四边形 ABCD是平行四边形三、课堂小结(学生归纳，老师点评 )本节课应掌握：1中心对称图形
14、的有关概念；2应用中心对称图形解决有关问题四、作业布置教材第 70 页 习题 8，9，10.23.2.3 关于原点对称的点的坐标理解点 P 与点 P关于原点对称时它们的横纵坐标的关系，掌握 P(x，y) 关于原点的对称点为 P(x， y) 的运用复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用重点两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点的对称点P( x，y) 及其运用难点运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题一、复习引入(学生活动) 请同学们完成下面三题1已知点 A 和直线 l，如图，请画出点 A 关
15、于 l 对称的点 A.2如图，ABC 是正三角形，以点 A 为中心，把ABC 顺时针旋转 60，画出旋转后的图形3如图ABO，绕点 O 旋转 180，画出旋转后的图形老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评(略)二、探索新知(学生活动) 如图，在直角坐标系中，已知 A(3，1) ，B(4，0) ，C(0，3)，D(2，2)，E(3，3) ，F( 2，2)，作出 A，B，C ，D ，E，F 点关于原点 O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？老师点评：画法：(1)连接 AO 并延长 AO；(2)在射线 AO 上截取 OAOA；(3)过 A 作 ADx
16、 轴于点 D，过 A作 ADx 轴于点 D.ADO 与ADO 全等 ，ADAD，OAOA，A(3，1)，同理可得 B，C，D，E，F 这些点关于原点的中心对称点的坐标(学生活动) 分组讨论( 每四人一组) ：讨论的内容：关于原点作中心对称时，它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题老师点评：(1)从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等， 纵坐标与纵坐标的绝对值相等(2)坐标符号相反，即 P(x，y) 关于原点 O 的对称点 P(x，y)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点 O
17、 的对称点为 P(x，y) 例 1 如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段 AB 关于原点对称的图形分析：要作出线段 AB 关于原点的对称线段，只要作出点 A、点 B 关于原点的对称点A， B即可解：点 P(x，y)关于原点的对称点为 P(x，y)，因此，线段 AB 的两个端点 A(0，1)，B(3，0) 关于原点的对称点分别为 A(0，1)，B(3，0) 连接 AB.则就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 AB.(学生活动) 例 2 已知ABC，A(1，2) ，B(1，3)，C( 2，4) ，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出ABC 关于原点对称的图形老师点评分析：先在直
18、角坐标系中画出 A，B，C 三点并连接组成ABC，要作出ABC 关于原点 O 的对称三角形 ，只需作出ABC 中的 A，B，C 三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的ABC.三、巩固练习教材第 69 页 练习四、课堂小结点 P(x，y)关于原点的对称点为 P(x，y)五、作业布置教材第 70 页 习题 3，4.233 课题学习 图案设计利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案重点设计图案难点如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或
19、它们的组合得出图案一、复习引入(学生活动) 请同学们独立完成下面的各题1如图，已知线段 CD 是线段 AB 平移后的图形，D 是 B 点的对称点，作出线段AB，并回答 AB 与 CD 有什么位置关系,第 2 题图) ,第 3 题图)2如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于对称轴 l 的对称线段 CD，并说明 CD 与对称线段 CD之间有什么关系？3如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于 D 点旋转 90的旋转后的图形，并说明这两条线段之间有什么关系？老师点评：1AB 与 CD 平行且相等；2过 D 点作 DEl，垂足为 E 并延长，使 EDED ，同理作出 C点，连接 CD，则CD即为
20、所求CD 的延长线与 CD的延长线相交于一点 ，这一点在 l 上并且 CDCD.3以 D 点为旋转中心，旋转后 CDCD，垂足为 D，并且 CDCD.二、探索新知请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或几种组合完成下面的图案设计例 1 (学生活动)学生亲自动手操作题按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案(1)准备一张正三角形纸片(课前准备 )(如图 a)；(2)把纸片任意撕成两部分(如图 b，如图 c)；(3)将撕好的如图 b 沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形；(4)将(3)得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图(d)( 如图 c 保持不动) ；(5)把如图(d)平移到如图(c)的右边，得到如图(e)；(6)对如图(e)进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图(f)的图案老师必要时可以给予一定的指导三、课堂小结本节课应掌握：利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案