1、课时达标 第 12 讲解密考纲 考查圆周运动的参量之间的关系、匀速圆周运动的周期性问题、水平面内圆周运动临界问题、竖直平面内圆周运动的绳模型和杆模型问题1明代出版的天工开物一书中就有牛力齿轮翻车的图画(如图) ，记录了我们祖先的劳动智慧若 A、B、C 三齿轮半径的大小关系如图，则( D )A齿轮 A 的角速度比 C 的大B齿轮 A 与 B 角速度大小相等C齿轮 B 与 C 边缘的线速度大小相等D齿轮 A 边缘的线速度比 C 边缘的大解析 由图可知 rArBrC，A 齿轮边缘与 B 齿轮边缘线速度大小是相等的，即vA vB，由 v r，可得 ，则 AvC，综上所述可知 vA vBvC， B CA
2、，故选项 A、B、C 错误，D 正确2如图所示，在倾角为 30的光滑斜面上，有一根长为 L0.8 m 的细绳，一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m0.2 kg 的小球，沿斜面做圆周运动若要小球能通过最高点 A(g10 m/s 2，空气阻力不计)，则小球在最低点 B 的最小速度是 ( C )A2 m/s B2 m/s 10C2 m/s D2 m/s5 2解析 小球恰好通过 A 点，受力分析如图所示有 F 向 mgsin .则通过 A 点mv2AL的最小速度 vA 2 m/s.根据机械能守恒定律得 mv mv 2mgLsin ，解gLsin 12 2B 12 2A得 vB2 m/s，选项 C
3、正确53. 如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端 O 处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上，并用细线分别连接 Oa 和 ab，且 Oaab，已知 b 球质量为 a 球质量的 3 倍当轻杆绕 O 轴在水平面内匀速转动时，Oa 和 ab 两线的拉力之比为( D )A13 B16C43 D76解析 对 a 球，F TO aF Tab m2Oa；对 b 球，F Tab3m 2(Oaab) 由以上两式得，Oa 和 ab 两线的拉力之比为 76，选项 D 正确4(多选) 变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度挡，如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中 A 轮有 48 齿，B
4、 轮有 42 齿，C 轮有 18 齿，D 轮有 12 齿下列说法正确的是( BCD )A该车可变换 3 种不同挡位B该车可变换 4 种不同挡位CA 与 D 轮组合时，是行驶速度最快挡DB 与 D 轮组合时，两轮的角速度之比 B D27解析 齿轮有 AC、AD、BC、BD 四种组合，则可变换 4 种不同挡位；B 与 D 轮组合时，线速度相等，两轮的角速度之比等于齿数反比，即 BD2 7；行驶速度最快挡为齿数比最大的组合，即 A 与 D 轮组合故选项 A 错误，B 、 C、D 正确5(2017山西太原模拟)用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一以角速度 旋转的光滑锥顶上，如图所示，设小
5、球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为 ，线的张力为 FT，则 FT 随 2 变化的图象是( C )解析 设线长为 L，锥面与竖直方向夹角为 ，当 0 时，小球静止，受重力 mg、支持力 FN 和线的拉力 FT 而平衡，F Tmgcos 0，所以选项 A、B 错误； 增大时，F T增大，F N 减小，当 FN0 时，角速度为 0.当 0 时，小球离开锥面，线与竖直方向夹角变大，设为 ，由牛顿第二定律得FTsin m 2Lsin ，所以 FTmL 2，可知 FT 2 图线的斜率变大，所以选项 C 正确，选项 D 错误6如图所示，一根细线下端拴一个金属小球 P，细线的上端固定在金属块 Q 上，Q放在
6、带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动 (圆锥摆)现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中 P位置) ，两次金属块 Q 都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断中正确的是( C )A细线所受的拉力变 0 小B小球 P 运动的角速度变小CQ 受到桌面的静摩擦力变大DQ 受到桌面的支持力变大解析 设细线与竖直方向的夹角为 ，细线的拉力大小为 FT，细线的长度为 L.P 球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有 FT ，mgtan mgcos m 2Lsin ，得角速度 ，周期 T ，使小球改到一个更高一些的水平面上
7、gLcos 2做匀速圆周运动时， 增大， cos 减小，则细线拉力 FT 增大，角速度增大，周期 T 减小对 Q 球，由平衡条件得， Q 受到桌面的静摩擦力变大，故选项 A、B 错误，C 正确；金属块 Q 保持在桌面上静止，根据平衡条件知， Q 受到桌面的支持力等于其重力，保持不变故选项 D 错误7(多选) 质量为 m 的小球由轻绳 a、b 分别系于一轻质木架上的 A 和 C 点，绳长分别为 la、l b，如图所示，当轻杆绕轴 BC 以角速度 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳 a 在竖直方向，绳 b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳 b 被烧断的同时轻杆停止转动，则( BC
8、)A小球仍在水平面内做匀速圆周运动B在绳 b 被烧断瞬间，a 绳中张力突然增大C若角速度 ，小球在垂直于平面 ABC 的竖直平面内摆动2glaD若角速度 ，小球能在竖直平面 ABC 内做完整的圆周运动2gla解析 绳 b 被烧断后，小球在竖直平面内做圆周运动，烧断瞬间具有向上的加速度，处于超重状态，则选项 B 正确；小球恰好到最高点的速度 v ，从最低点到最高点，由gR机械能守恒定律得 m(la)2 2mgla mv2，则最小角速度 ，故选项 A、D 错误；12 12 5gla小球恰好到 A 的等高处，此时速度 v0，从最低点到此处，由机械能守恒定律得，m(la)2mgl a mv 2，则最小
9、角速度 ，故选项 C 正确12 12 2gla8(2017甘肃兰州质检)如图所示，可视为质点的木块 A、B 叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴 OO匀速转动，木块 A、B 与转轴 OO的距离为 1 m，A 的质量为 5 kg， B 的质量为 10 kg.已知 A 与 B 间的动摩擦因数为 0.2，B 与转台间的动摩擦因数为 0.3，如木块 A、B 与转台始终保持相对静止，则转台角速度 的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取 g10 m/s 2)( B )A1 rad/s B rad/s2C rad/s D3 rad/s3解析 A 与 B 间的动摩擦因数为 0.2，B 与转台间的
10、动摩擦因数为 0.3，知逐渐增大转台角速度时 B 与 A 先发生相对滑动，由牛顿第二定律 1mAgm A2r，得 rad/s.选项2B 正确9(2017宁夏银川诊断)如图所示，小球 m 可以在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是( B )A小球通过最高点的最小速度至少为 v gRB小球通过最高点的最小速度可以为 0C小球在水平线 ab 以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力D小球在水平线 ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力解析 此题为杆模型，小球在最高点的速度可以为零，选项 A 错误，选项 B 正确；小球在水平线 ab 以下管道中运动时，内侧管壁对小球没
11、有作用力，外侧管壁对小球一定有作用力，选项 C 错误；小球在水平线 ab 以上管道运动时，内侧管壁对小球有没有作用力，要视小球的速度情况而定，选项 D 错误10(2017上海青浦调研)如图甲所示，轻杆一端与质量为 1 kg、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最高点开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度 v 随时间 t 的变化关系如图乙所示，A 、B、C 三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵坐标分别是 1、0、5.g 取 10 m/s2，不计空气阻力下列说法中正确的是 ( D )A轻杆的长度为
12、 0.5 mB小球经最高点时，杆对它作用力方向竖直向下CB 点对应时刻小球的速度为 3 m/sD曲线 AB 段与坐标轴所围图形的“面积”为 0.6 m解析 设杆的长度为 L，小球从 A 到 C 的过程中机械能守恒，得mvA2 2mgL mv ，所以 L m0.6 m故选项 A 错误；若小球在12 12 2C v2C v2A4g 52 1240A 点恰好对杆的作用力是 0，则 mgm ，临界速度 vo m/svA1 m/s.由于小球v20L gL 6在 A 点的速度小于临界速度，所以小球做圆周运动需要的向心力小于重力，杆对小球的作用力的方向向上，是竖直向上的支持力，故选项 B 错误；小球从 A
13、到 B 的过程中机械能守恒，得mv mgL mv ，所以 vB m/s，故选项 C 错误；由于 y 轴表示的12 2A 12 2B v2A 2gL 13是小球在水平方向的分速度，所以曲线 AB 段与坐标轴所围图形的面积表示 A 到 B 的过程小球在水平方向的位移，大小等于杆的长度，即 0.6 m，故选项 D 正确11小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地，如图所示已知握绳的手离地面高度为 d，手与球之间的绳长为 d，重力加速度为 g，忽略手的运动半径和空气阻
14、力34(1)求绳断时球的速度大小 v1 和球落地时的速度大小 v2；(2)求绳能承受的最大拉力；(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？解析 (1)设绳断后球飞行时间为 t，由平抛运动规律得竖直方向 d gt2，14 12水平方向 dv 1t，解得 v1 .2gd在竖直方向上有 v 2g d，则2 (1 34)v v 2g d，2 21 (1 34)解得 v2 .52gd(2)设绳能承受的最大拉力大小为 FT，这也是球受到绳的最大拉力大小球做圆周运动的半径为 R d，34对小球在最低点由牛顿第二定律得FT mg
15、 ，mv21R解得 FT mg.113(3)设绳长为 l，绳断时球的速度大小为 v3，绳承受的最大拉力不变由牛顿第二定律得FT mg ，mv23l解得 v3 ，83gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为 dl，水平位移为 x，时间为 t1，则竖直方向 dl gt ，12 21水平方向 xv 3t1，解得 x4 ，ld l3当 l 时，x 有极大值， xmax d.d2 233答案 (1) (2) mg (3) d2gd52gd 113 d2 23312如图甲所示，在同一竖直平面内的两正对的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，现在最高点 A 与最低点 B 各放一个压
16、力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离 x 的关系图象如图乙所示，g 取 10 m/s2，不计空气阻力(1)求小球的质量；(2)若小球在最低点 B 的速度为 20 m/s，为使小球能沿轨道运动，x 的最大值为多少？解析 (1)小球从 A 点到 B 点，由能量守恒定律得mv mg(2 Rx) mv ，12 2B 12 2A对 B 点：F N1 mgm ，v2BR对 A 点：F N2 mgm ，v2AR由牛顿第三定律可得两点压力差FNF N1F N26mg ，2mgxR由题图得纵轴截距 6mg3 N，m0.05 kg.(2)因为图线的斜率 k 1 N/m ，得 R1 m ，2mgR在 A 点小球不脱离轨道的条件为 vA ，Rg结合(1)解得 xm17.5 m.答案 (1)0.05 kg (2)17.5 m